陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了 将化成角度为， 设集合，函数的定义域为，则为， 已知，则的大小顺序为， 已知 ，下列不等式正确的是， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题共58分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 将化成角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用弧度制和角度值的转化关系即可.
【详解】，
故选：B
2. 设集合，函数的定义域为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数的定义域由解得，进而运用交集定义运算即可.
详解】要使有意义，需满足，解得，
所以，
又集合，所以.
故选：D．
3. 设函数的零点为，则所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数单调性以及零点存在性定理分析判断.
【详解】因为在定义域内单调递增，
可知在定义域内单调递增，且，
所以函数的唯一零点为.
故选：A.
4. 已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的单调性判断的单调性，结合分段函数的单调性建立不等式组，解之即可求解.
【详解】由题意知，当时，是单调递减函数，
所以在R上是单调递减函数.
则，解得，
即实数的取值范围为.
故选：A
5. 如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得到方程，得到.
【详解】由题意得，即，
.
故选：B
6. 已知，则的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性得，根据弧度所在象限，得，根据指数幂运算得，由此即可求解.
【详解】，因为，所以，
因为，所以，
，
所以.
故选：A
7. 关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式恒成立以及充分不必要条件的知识求得正确答案.
【详解】若不等式恒成立，
当时，恒成立，
当时，，解得，
当时，不等式不恒成立，
所以的取值范围是.
所以不等式恒成立的一个充分不必要条件是.
故选：A
8. 随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（ ）
A. 摩天轮的轮盘直径为60m
B. h关于t的函数解析式为
C. h关于t的函数解析式为
D. 在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m
【答案】D
【解析】
【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断A；依题意，分别求出得解析式，判断B，C；根据提议，令，求出的取值范围，判断D.
【详解】对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误；
对于B，设，则，
令时，则，，
又，解得，
所以，故B，C错误 ；
对于D，，
当距地面高度超过38m时，即，即，
即，解得，
又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确，
故选：D
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由作差法，不等式性质可判断选项正误；.
【详解】对于A，∵，∴，故A对；
对于B，∵，∴，故B对；
对于C，∵，有，则，故，故C错；
对于D， ∵，且，∴，故D对.
故选：ABD
10. 已知函数，则（ ）
A. 点是图象的一个对称中心B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增D.
【答案】AB
【解析】
【分析】通过代入验证法，判断选项中对称中心对称轴单调区间等结论是否成立.
【详解】函数，
，点是图象的一个对称中心，A选项正确；
，是函数最值，直线是图象的一条对称轴，B选项正确；
时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
，D选项错误.
故选：AB
11. 已知函数，其中，且．则（ ）
A. 当时，函数有且只有两个零点
B. 当时，函数有且只有一个零点
C. 当时，函数的图象是轴对称图形
D. 当时，函数的图象是中心对称图形
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件求解函数的零点可判断AB；根据函数的奇偶性可判断CD.
【详解】，定义域为，
∵，∴，
令，得，
∴，又，
∴当时，，方程无解，函数没有零点，故A错误；
当时，，解得，函数有且只有一个零点，故B正确；
当时，，，
∴偶函数，图象关于轴对称，故C正确；
当时，，，
∴是奇函数，图象关于原点对称，故D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______．
【答案】
【解析】
【分析】结合对数、指数运算法则及特殊角的三角函数值计算即可得.
【详解】由题意知．
故答案为：.
13. 若，则的值为___________.
【答案】-3
【解析】
【分析】根据诱导公式化简求值.
【详解】
故答案为：-3
14. 已知是定义域为的偶函数，，且当时，（是常数），则不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据以及奇偶性计算的值，然后根据奇偶性和单调性解不等式.
【详解】因为是偶函数，所以，
所以，所以；
又因为时是增函数且，
所以时是减函数且；
所以，解得，即不等式的解集为，
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知角的终边经过点，
（1）求值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，，利用诱导公式和同角三角函数关系得到；
（2）添加分母，齐次化，化弦为切，代入求值即可.
【小问1详解】
因为角的终边经过点，
所以，，，
故
；
【小问2详解】
.
16. 已知函数，函数与函数的图象关于直线对称.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间内的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由指数函数与对数函数的关系结合题设即可得解；
（2）由（1）结合得，再结合一元二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
因为函数与函数的图象关于直线对称，
所以函数与函数互为反函数，
又函数，所以.
小问2详解】
由（1），
令，若，则，
所以
又在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以当时，
所以函数在区间内的值域为.
17. 某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
（1）求函数的解析式；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）分别写出x≤6时和x＞6时出租自行车的总收入，减去管理费用即可得到出租自行车的日净收入，同时还要注意实际问题中自变量的取值范围.
（2）根据一次函数，二次函数的单调性分别求出分段函数在每段上的最大值，两者进行比较即可得出函数的最大值.
【小问1详解】
当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z；
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115，
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，又因为x∈Z，所以解得6＜x≤20，x∈Z.
∴.
【小问2详解】
当时，，显然当x＝6时，ymax＝185；
当时，，
当x＝11时，ymax＝270.
因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.
18. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求函数的对称中心和对称轴方程；
（2）先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线，再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求的取值集合.
【答案】（1）对称中心为；对称轴方程为.
（2）.
【解析】
【分析】（1）由条件可得函数的最小正周期，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数的对称中心和对称轴方程；
（2）根据函数图象变换结论求函数的解析式，利用正弦函数性质解不等式求的取值范围.
【小问1详解】
因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，
又，则，所以，
由得，
所以函数的对称中心为；
由得，
所以函数的对称轴方程为.
【小问2详解】
将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，
把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，
由得，
所以，
所以，
所以的取值集合为.
19. 已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求出使成立的的取值范围；
【答案】（1）函数为偶函数，证明见解析
（2）的取值范围是
【解析】
【分析】（1）根据对数运算法则将函数化简之后，根据函数奇偶性定义判断即可；
（2）根据复合函数单调性判断函数单调性，从而将不等式进行转化，即可得解.
【小问1详解】
函数为偶函数，证明如下：
函数，其定义域为，
又，则函数为偶函数．
【小问2详解】
设，则，
又由，则，，
故，
故函数在上为增函数,
所以函数在上为增函数；
又由，
则，即，
变形可得，解得，
即的取值范围是．