2025年浙江省杭州市高考数学一模试卷【含答案】

这是一份2025年浙江省杭州市高考数学一模试卷【含答案】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，，则A∩B＝（ ）
A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}
2．（5分）函数是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既非奇函数也非偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
3．（5分）已知直线y＝2x是双曲线的一条渐近线，则C的离心率等于（ ）
A．B．C．D．或
4．（5分）将函数y＝sinx的图像向左平移φ（0＜φ＜2π）个单位，得到函数y＝g（x）的图像，则“y＝g（x）是偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知向量，若，则t＝（ ）
A．1或B．﹣2或C．﹣1或2D．﹣2或1
6．（5分）设f（x）＝ex+lnx，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函数f（x）存在零点x0，则（ ）
A．x0＜aB．x0＞aC．x0＜cD．x0＞c
7．（5分）已知，则λ＝（ ）
A．1B．C．D．2
8．（5分）对∀x∈[1，+∞），不等式（（lnax）2﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，则（ ）
A．若，则b≤eB．若，则b＞e
C．若，则ab＝eeD．若，则ba＝ee
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），则（ ）
A．若f（x）min＝f（1），则a＝1
B．若f（x）min＝f（1），则
C．若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减
D．若，则f（x）在（1，3）上单调递增
（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（f（x）+yz）＝x+f（y）f（z），则（ ）
A．f（1）＝0B．f（f（x））＝x
C．f（xy）＝f（x）f（y）D．f（x+y）＝f（x）f（y）
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）曲线y＝lnx在点M（e，1）处切线的方程为 ．
13．（5分）已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①；②|z1z2|＝2，则z1＝ ，z2＝ ．（写出满足条件的一组z1和z2）
14．（5分）已知双曲线C1，C2都经过点（1，1），离心率分别记为e1，e2，设双曲线C1，C2的渐近线分别为y＝±k1x和y＝±k2x．若k1k2＝1，则＝ ．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知在△ABC中，．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若点D在AB边上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面积．
16．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为．
（1）求C的方程；
（2）若点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点在C上，求k的值．
17．一设随机变量X所有可能的取值为x1，x2，⋯，xn，P（X＝xi）＝pi＞0（i＝1，2，⋯，n），且p1+p2⋯+pn＝1．定义事件X＝xi的信息量为Hi＝﹣lnpi，称X的平均信息量H（X）＝﹣（p1lnp1+p2lnp2+⋯+pnlnpn）为信息熵．
（1）若n＝3，pk+1＝2pk（k＝1，2），求此时的信息熵；
（2）最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大．信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定．证明：H（X）≤lnn，并解释等号成立时的实际意义．
（参考不等式：若f（x）＝lnx，则
18．已知函数f（x）＝axlnx﹣x3﹣1．
（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；
（2）若0≤a≤3，求证：f（x）＜0；
（3）若使得h（x1）＝h（x2）＝b，求证：be+1＜|x1﹣x2|＜b+1．
19．已知正项有穷数列A：a1，a2，⋯，aN（N≥3），设，记T的元素个数为P（T）．
（1）若数列A：1，2，4，16，求集合T，并写出P（T）的值；
（2）若A是递增数列或递减数列，求证：“P（T）＝N﹣1”的充要条件是“A为等比数列”；
（3）若N＝2n+1，数列A由2，4，8，⋯，2n，4n这n+1个数组成，且这n+1个数在数列A中每个至少出现一次，求P（T）的取值个数．
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置。
1．【解答】解：因为A＝{1，2，3}，＝{x|﹣1≤x≤1}，
所以A∩B＝{1}．
故选：A．
2．【解答】解：根据题意，函数，
当x≥0时，f（x）＝x﹣1，则f（﹣x）＝﹣x﹣1＝f（x），
当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣1，则f（﹣x）＝x﹣1＝f（x），
综上可得，f（﹣x）＝f（x），
即函数f（x）为偶函数．
故选：B．
3．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
直线y＝2x是双曲线的一条渐近线，
因此，故b＝1，
故离心率为．
故选：A．
4．【解答】解：将函数y＝sinx的图像向左平移φ（0＜φ＜2π）个单位，得到函数y＝g（x）的图像，
则g（x）＝sin（x+φ），
由y＝g（x）是偶函数可得，且0＜φ＜2π，
当k＝0时，，当k＝1时，，
所以由y＝g（x）是偶函数可得或，故充分性不满足；
当时，可得为偶函数，故必要性满足；
所以“y＝g（x）是偶函数“是““的必要不充分条件．
故选：B．
5．【解答】解：向量，
则，，
∵，
∴，即（t+2）（﹣2+2t）+（﹣t+1）（2+t）＝t2+t﹣2＝0，
∴（t+2）（t﹣1）＝0，
∴t＝﹣2或t＝1．
故选：D．
6．【解答】解：易知f（x）的定义域为（0，+∞）且y＝ex，y＝lnx均为单调递增函数，
所以函数f（x）＝ex+lnx在x∈（0，+∞）上单调递增，
因为0＜a＜b＜c，
所以f（a）＜f（b）＜f（c），
满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），
所以f（a），f（b），f（c）中有1个是负数一定是f（a），两个正数或3个负数，
因为f（x）存在零点，
所以x0＞a．
故选：B．
7．【解答】解：，
则＝＝＝＝＝＝．
故选：C．
8．【解答】解：根据题干（（lnax）2﹣1）（ex﹣b）≥0可得（lnax﹣1）（lnax+1）（ex﹣b）≥0，
对于A、B选项，如果，可使，那么不等式可化为（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0，
当x∈[1，e]时，lnx﹣3＜0，lnx﹣1≤0，
要使（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，则需ex﹣b≥0，即b≤ex恒成立，
所以b≤（ex）min＝e，
当x∈[e3，+∞）时，lnx﹣3≥0，lnx﹣1＞0，
要使（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，那么需ex﹣b≥0，即b≤ex恒成立，
所以，
当x∈（e，e3）时，lnx﹣3＜0，lnx﹣1＞0，
要使（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，则需ex﹣b≤0，即b≥ex恒成立，
所以b≥（ex）max，
所以，
综上可得，不存在b使得不等式（lnx﹣3）（lnx﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，选项A、B错误．
对于选项C、D，若，
因为x∈[1，+∞）
所以，
所以lnax+1≥0，
要使不等式（lnax﹣1）（lnax+1）（ex﹣b）≥0恒成立，则需（lnax﹣1）（ex﹣b）≥0，
因为函数y＝lnax﹣1，y＝ex﹣b在[1，+∞）为增函数，
所以函数y＝lnax﹣1，y＝ex﹣b有相同的零点，
由lnax﹣1＝0得，由ex﹣b＝0得，x＝lnb，
所以，即e＝alnb，
所以lnee＝lnba，
所以ba＝ee，选项D正确．
故选D．
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9．【解答】解：对于A，设正方体棱长为2，MN与OP所成角为θ，
则tanθ＝＝，不满足MN⊥OP，故A错误；
对于B，如图，作出空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则M（0，2，2），N（2，2，0），P（0，0，1），O（1，1，0），
∴＝（2，0，﹣2），＝（﹣1，﹣1，1），
∴＝﹣4，不满足MN⊥OP，故B错误；
对于C，如图，作出空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则M（2，2，2），N（0，2，0），O（1，1，0），P（0，0，1），
∴＝（﹣2，0，﹣2），＝（﹣1，﹣1，1），
∴＝0，满足MN⊥OP，故C正确；
对于D，如图，作出空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则M（0，0，2），N（0，2，0），P（0，0，1），O（1，1，0），
∴＝（0，2，﹣2），＝（﹣1，﹣1，1），
∴＝﹣4，不满足MN⊥OP，故D错误．
故选：C．
10．【解答】解：易知f（x）的定义域为[0，+∞），
可得f′（x）＝3x2﹣2x﹣a，
若f（x）min＝f（1），
所以x＝1是f（x）的极小值点，
此时f′（1）＝3﹣2﹣a＝0，
解得a＝1，
则f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1）（x≥0），
当0≤x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f（1），
则a＝1，故选项A正确，选项B错误；
若a＝1，
此时f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故选项C正确；
若，
此时，
当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故选项D正确．
故选：ACD．
11．【解答】解：令x＝y＝0，z＝1，则f（f（0））＝f（0）f（1），①
令x＝y＝z＝0，则f（f（0））＝f（0）f（0），②
由①②可得f（0）f（0）＝f（0）f（1），
所以f（0）＝0或f（1）＝f（0），
令x＝1，y＝z＝0，则f（f（1））＝1+f（0）f（0），
若f（1）＝f（0），
则f（f（0））＝1+f（0）f（0）≠f（0）f（0），与②矛盾，
所以f（0）＝0，则f（1）≠f（0）＝0，故A选项错误；
令y＝z＝0，则f（f（x））＝x+f（0）f（0）＝x，故B选项正确；
令x＝0，则f（f（0）+yz）＝f（yz）＝0+f（y）f（z）＝f（y）f（z），
用x替换z，得f（xy）＝f（x）f（y），故C选项正确；
由A、C选项中结论，令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）f（1），
又f（1）≠0，
则f（1）＝1，
令z＝1，则f（f（x）+y）＝x+f（y）f（1）＝x+f（y）＝f（f（x））+f（y），
即f（x+y）＝f（x）+f（y），D选项错误．
故选：BC．
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【解答】解：∵y＝lnx，∴，
∴曲线y＝lnx在点M（e，1）处切线的斜率k＝，
曲线y＝lnx在点M（e，1）处切线的方程为：
y﹣1＝），
整理，得x﹣ey＝0．
故答案为：x﹣ey＝0．
13．【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（abcd≠0，a，b，c，d∈R），
则，
z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i，
由，
即，
所以，
可取，
所以．
故答案为：．（答案不唯一，只要满足a2+b2＝4，c2+d2＝1，abcd≠0即可）
14．【解答】解：双曲线C1，C2都经过点（1，1），离心率分别记为e1，e2，设双曲线C1，C2的渐近线分别为y＝±k1x和y＝±k2x．k1k2＝1，
当k1＝k2＝1时，e1＝e2，不合题意，舍去；
当k1≠k2时，不妨设0＜k1＜1＜k2，
则C1：（y﹣k1x）（y+k1x）＝m，
∵双曲线C1经过点（1，1），
∴，
∴，
∵0＜k1＜1，∴，则双曲线C1的焦点在y轴上，
∴，
同理，
∵k2＞1，∴，则双曲线C2的焦点在x轴上，
∴，
∴e1＝e2，即，
综上所述，．
故答案为：1．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
由及正弦定理，
可得，故，
由余弦定理，可得，
由于A∈（0，π），故，
又2csB＝sinC，A+B＝π﹣C，
则，
化简可得，故，
由于B∈（0，π），故，
进而，
故三角形ABC为直角三角形；
（2）由（1）知：，，且△ABC为直角三角形，
设AB＝2x，则，
故在△ACD中，由余弦定理，
可得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcsA，
即，
解得，
故＝＝＝．
16．【解答】解：（1）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为．
则其半径为，
且△OFM外接圆的圆心一定在OF的垂直平分线上，
其中焦点，准线方程为，
所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为，
即，
所以C的方程为y2＝x．
（2）设点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点为（a，b），
则两点连线的中点坐标在直线y＝kx上，
即，
化简可得b＝k（a﹣1）﹣1①，
由对称性又可知，（﹣1，1）和（a，b）所在直线与y＝kx垂直，
则②，
联立①②可得，，
解得，
所以，
又因为（a，b）在抛物线y2＝x上，
则b2＝a，
即，
即k4+4k2﹣4k3+1﹣2（k2﹣2k）＝（k2+1）（k2+2k﹣1），
即3k3﹣k2﹣k﹣1＝0，
所以（3k2+2k+1）（k﹣1）＝0，
所以k﹣1＝0，
即k＝1．
17．【解答】解：（1）当n＝3时，p1+p2+p3＝1，且p2＝2p1，p3＝2p2，
∴，
∴；
（2）证明：令f（x）＝lnx，则pilnpi＝pif（pi），
∴H（X）＝﹣（p1lnp1+p2lnp2+...+pnlnpn）＝，
∴H（X）≤lnn，
当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的．
18．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣x3﹣1，x∈（0，+∞），
则f′（x）＝lnx+1﹣3x2，令m（x）＝f′（x），
则，
令m′（x）＞0，解得，
令m′（x）＜0，解得，
∴f′（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，
∴f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无增区间．
（2）证明：∵x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，f（x）＜0显然成立，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＝a（lnx+1）﹣3x2，令g（x）＝f′（x），
∴，
∴f′（x）在区间（1，+∞）上单调递减，∴f′（x）＜f′（1）＝a﹣3≤0，
∴f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（1）＝﹣2＜0，
综上所述，当0≤a≤3时，f（x）＜0．
（3）证明：h（x）＝xlnx，
∴h′（x）＝lnx+1，令h′（x）＜0，则，
∴h（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∵，
∴．
不妨设x1＜x2，则，，
先证：x2﹣x1＞be+1，设，B（1，0），
易知直线OA方程为y＝﹣x，直线AB方程为，
则直线OA，AB与直线y＝b交点的横坐标为x4＝﹣b，x5＝（e﹣1）b+1，
∴x5﹣x4＝be+1，
∵x4＝﹣b＝﹣x1lnx1＞x1，同理可证：x4＜x2，
∴x1＜x4＜x2，类似的可以证明x1＜x5＜x2，
∴x5﹣x4＜x2﹣x1，即be+1＜x2﹣x1；
再证：x2﹣x1＜b+1，
易知h（x）在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，该切线与直线y＝b的交点的横坐标为x3＝b+1，
令g（x）＝h（x）﹣（x﹣1）＝xlnx﹣x+1，则g′（x）＝lnx，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，此时g（x）＞g（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，y＝x﹣1图像在h（x）下方．
∴x3＞x2﹣x1，
∴x2﹣x1＜x3＜b+1；
综上，be+1＜|x1﹣x2|＜b+1，即得证．
19．【解答】解：（1）因为a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝16，
故，
所以T＝{2，4，8，16}，P（T）＝4；
（2）证明：充分性：
若A是等比数列，设公比为q．
不妨考虑数列A是递增数列，所以q＞1．
则当j＞i时，．
所以T＝{q，q2，q3，⋯，qN﹣1}，
故P（T）＝N﹣1，得证；
必要性：若P（T）＝N﹣1．
因为A是递增数列，
所以，
所以且互不相等，
又P（T）＝N﹣1，
所以，
又，
所以∈T，且互不相等．
所以，，…，．
所以＝＝＝…＝，
所以A为等比数列；
若A为单调递减数列，同理可证．
（3）因为数列A由2，4，8，⋯，2n，4n这n+1个数组成，任意两个不同的数作商（可相等），
比值只可能为，
共2n+2n﹣1＝4n﹣1个不同的值；
又因为2，4，8，⋯，2n，4n这n+1个数在数列A中共出现N＝2n+1次，
所以数列A中存在ai＝aj（i≠j），所以1∈T．
综上，P（T）≤4n﹣1，且P（T）≥2n．
设数列A0：2，22，⋯，2n﹣1，2n，22n，2n⋯，21，
此时，共2n+2n﹣1＝4n﹣1个元素，
所以P（T）＝4n﹣1．
现对数列A0分别作如下变换：
把前面的2n移动到22n和后面的2n之间，得到数列：2，22，⋯，2n﹣1，22n，2n，2n⋯，21，
此时，共2n﹣1+2n﹣1＝4n﹣2个元素，
所以P（T）＝4n﹣2．
再把前面的2n﹣1移动到2n﹣1和2n之间，得到数列：2，22，⋯，2n﹣2，22n，2n，2n，2n﹣1，2n﹣1，⋯，21，
此时，共2n﹣2+2n﹣1＝4n﹣3个元素，
所以P（T）＝4n﹣3．
……
依次类推，最后把前面的2移动到最后一项，得到数列：，
此时，共2n﹣1+1＝2n个元素，
所以P（T）＝2n，
综上，P（T）可以取到从2n到4n﹣1的所有2n个整数值，所以P（T）的取值个数为2n．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
B
A
B
D
B
C
D
C