2025届陕西省榆林市高三上学期二模物理试题（原卷版+解析版）

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1．本试共8页，满分100分，时同90分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本部分共10题，每题3分，共30分。在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1. 某电场的电场线分布如图中实线所示，图中虚线为某带电粒子在只受该电场力作用下的运动轨迹，、、是轨迹上的三个点。关于这个带电粒子，下列说法中正确的是（ ）
A. 粒子带正电
B. 粒子一定是从点运动到点
C. 粒子在点的加速度大于在点的加速度
D. 粒子在点的动能大于在点的动能
【答案】C
【解析】
【详解】A．带电粒子只在该电场力作用下运动，根据曲线运动的条件可知，电场力方向指向轨迹的凹侧，因此粒子受到的电场力与场强方向相反，则粒子带负电，A错误；
B．粒子不一定是从点运动到点，也可能是从点运动到点，B错误；
C．根据电场线的疏密程度可知，点的场强大于点的场强，则粒子在点受到的电场力大于在点受到的电场力，粒子在点的加速度大于在点的加速度，C正确；
D．假设粒子从运动到，根据粒子带负电所受电场力的方向和运动方向之间的夹角大于可知，此过程中电场力做负功，所以动能应该减少，D错误。
故选C。
2. 如图所示，示波管内的电子枪（图中未画出）射出的电子束射向荧光屏，若不加电场和磁场，电子束将沿图中虚直线垂直打在荧光屏上。现在于示波管的正下方放置一条形磁体，使磁体与虚直线在同一竖直平面（纸面）内，且条形磁体的极靠近示波荧光屏管，示波管中的电子束将（ ）
A. 向纸外偏转B. 向纸内偏转C. 向上偏转D. 向下偏转
【答案】B
【解析】
【详解】示波管下方磁体极靠近时，电子束通过的路径上有竖直向上的磁场；电子束由左向右运动，由左手定则可知，电子束受到的洛伦兹力方向垂直纸面向里，即电子束向纸面内侧偏转。
故选B。
3. 榆林一住宅小区变压器给住户供电的电路原理示意图如图所示，变压器可视为理想变压器，所有电表均可视为理想电表，原线圈接入如图所示的正弦交流电，图中为输电线的总电阻。用电高峰期（住户使用的用电器增加）与用电低谷期（住户使用的用电器较少）相比，下列说法中正确的是（ ）
A. 电流表示数减小B. 电压表示数减小
C. 电压表示数减小D. 变压器原线圈的输入功率减小
【答案】C
【解析】
【详解】A．当用电器增加时，电路中总的电阻减小，所以变压器副线圈的电流要变大，根据
可知，将变大，即电流表A示数变大，A错误；
B．由于原、副线圈的匝数不变，原线圈输入有效值恒定的正弦式交流电压，根据
可知，变压器副线圈两端电压不变，即电压表示数不变，B错误；
C．用电高峰期，住户使用的用电器增加时，副线圈电流变大，输电线电阻两端的电压变大，又因为的示数不变， 根据
可知示数减小，C正确；
D．由于变压器的输入的功率和输出的功率相等，又副线圈所接的负载电阻减小了，输出的功率变大了，所以原线圈的输入的功率也要变大，D错误。
故选C。
4. 如图所示，固定的通电长直导线与固定的圆形闭合金属线框位于同一竖直面（纸面）内，长直导线中通以水平向右且随时间均匀增加的电流。下列说法中正确的是（ ）
A. 圆形线框所受安培力的合力方向竖直向下
B. 垂直纸面向里观察，圆形线框中产生顺时针方向的电流
C. 圆形线框所围的面积有扩大的趋势
D. 通电长直导线不会受到圆形线框的相互作用
【答案】A
【解析】
【详解】AB．当直导线内电流增大时，金属线框所在处水平向里的磁感应强度变大，根据楞次定律，圆形线框中会产生逆时针方向的电流阻碍穿过线圈磁通量的变化，直导线下方有水平向里的磁场，越靠近通电直导线，磁感应强度越大，所以线圈上半部分受力大于下半部分，上半部分受力由左手定则可知向下，故圆形线框所受安培力的合力方向垂直于直导线向下，A正确，B错误；
C．由楞次定律“增缩减扩”可知，磁感应强度增加，线圈有收缩的趋势，C错误；
D．由牛顿第三定律可知，通电直导线会受到圆形线框的相互作用，D错误。
故选A。
5. 如图所示的甲、乙两个电路，电感线圈的自感系数足够大，直流电阻为；两白炽灯泡和定值电阻的阻值也均为。先闭合开关，待电路达到稳定后，灯泡均能发光，再将开关断开，最终两灯都熄灭。对于开关闭合、断开后灯泡亮度变化情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 同时闭合开关，甲、乙电路中的灯泡同时亮起
B. 同时闭合开关，甲电路中灯泡先闪亮一下再稳定发光
C. 断开开关，甲、乙两电路中灯泡都先闪亮一下再延迟熄灭
D. 断开开关，甲电路中灯泡延迟熄灭、乙电路中灯泡先闪亮一下再延迟熄灭
【答案】D
【解析】
【详解】AB．甲电路闭合开关，由于线圈的自感现象，灯泡缓慢变亮，乙电路闭合开关，灯泡瞬间变亮，AB均错误。
CD．甲电路在开关闭合稳定后，通过灯泡的电流与通过电感线圈的电流相等，再断开开关，由于线圈的自感作用，灯泡延迟熄灭；乙电路在开关闭合稳定后，通过的电流大于通过灯泡的电流，再断开开关，将阻碍电流变化，通过的电流将流经灯泡，使得断开后瞬间，通过灯泡的电流变大，所以灯泡先闪亮再延迟熄灭， C错误， D正确。
故选D。
6. 有三根通电长直导线分别位于等边三角形的三个顶点，三角形各边与其中垂线的交点分别为、、，为三角形的中心点。已知三根长直导线均垂直于三角形所在平面，其中的电流大小相等、电流方向如图所示。关于点的合磁场下列说法中正确的是（ ）
A. 方向垂直指向边B. 方向由指向
C. 方向由指向D. 磁感应强度大小为0
【答案】A
【解析】
【详解】三根导线到点的距离相等，三根导线在点处产生的磁场磁感应强度的大小均相等，设为，根据右手螺旋定则，判断出导线A在点产生的磁场方向垂直与向左，导线在点产生的磁场方向垂直于指向边，导线在点产生的磁场方向垂直于指向边，如图所示
将点的三个分磁场矢量叠加，最终的合磁场为点的实际磁场，方向垂直指向边。
故选A。
7. 内部光滑的一截直铜管竖直静置在水平桌面而上，直径略小于铜管内径的圆柱形磁体从铜管上端由静止开始下落，磁体在铜管内下落的过程中不与管壁接触，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A. 磁体在铜管内做匀加速直线运动
B. 磁体下落过程中安培力对铜管做正功
C. 磁体下落过程中铜管产生的焦耳热等于磁体动能的减少量
D. 在磁体下落过程中，铜管对桌面的压力大于铜管所受的重力
【答案】D
【解析】
【详解】A．磁体在铜管内下落过程中做加速运动，由于速度增加，阻碍作用增强，所以不是匀变速直线运动，故A错误；
B．磁体下落过程中，对铜管的作用力向下，但铜管没有位移，所以安培力对铜管不做功，故B错误；
C．磁体下落过程中铜管产生的焦耳热等于磁体机械能的减少量，故C错误；
D．磁体下落过程中，磁场对铜管始终有竖直向下的安培力，由平衡条件和力的作用相互性可知，铜管对桌面的压力始终大于铜管所受的重力，故D正确。
故选D。
8. 如图所示，其空中两个等量正点电荷位于圆的直径上的、两点，直径垂直于，且。下列说法中正确的是（ ）
A. 圆弧是等势面
B. 、两点的电场强度相同
C. 将一带负电的点电荷在点由静止释放后，它在间将做往复运动
D. 将带正电的点电荷从点沿直线移到点的过程中，该电荷的电势能先增大后减小
【答案】C
【解析】
【详解】A．等量正点电荷周围的电场线和电势面的分布如图所示
由图可知，圆弧不是等势面，故A错误；
B．由等量正点电荷电场线的分布图可知，、两点电场强度大小相等，方向相反，因电场强度为矢量，故B错误；
C．根据负电荷的受力特征以及运动的对称性，负电荷在点静止释放后将沿直线先做加速运动，过点后再做减速运动，运动到点速度减为0，再沿直线做加速运动，过点后沿直线做减速运动，运动到点速度减为0，即在间做往复运动，故C正确；
D．在两点电荷中垂线上点电势最高，所以将带正电的试探电荷从点沿直线移到点的过程中，电势能减小，故D错误。
故选C。
9. 两点电荷、分别固定在和坐标原点处，若取无穷远处电势为，则两点电荷所形成电场的电势在轴正半轴上的分布如图所示，图线与轴交于处，处电势最低。现有一正点电荷从处由静止释放，其只在电场力作用下运动。下列说法中正确的是（ ）
A. 点电荷带正电、带负电
B. 处的电场强度为
C. 点电荷、所带电荷量大小之比为
D. 正点电荷沿轴正方向运动的过程中，电势能先大后减小
【答案】C
【解析】
详解】A．根据电势变化情况可知，自区域从左至右电势先降低后升高，所以场强方向先沿轴正方向后沿轴负方向，可知电荷带负电，电荷带正电，故A错误；
B．在图像中，斜率表示电场强度，在处的图像斜率不为零，则电场强度也不为零，故B错误；
C．处图像斜率为零，电场强度为，则满足
则电荷、所带电量大小之比为
故C正确；
D．一正电荷从处由静止释放，正电荷会向电势低的方向运动，正电荷沿轴正方向运动的过程中，电势先降低后升高，由于
因此正电荷的电势能先减小后增大，故D错误。
故选C。
10. 某电磁缓冲装置的原理如图所示，两足够长的平行光滑金属导轨置于同一水平面内，两导轨左端之间与一阻值为的定值电阻相连，直线右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为的金属杆垂直导轨放置，在直线的右侧有与其平行的两直线和，且与、与间的距离均为。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终金属杆恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为。导轨的电阻及空气阻力均可忽略不计，下列说法中正矶的是（ ）
A. 金属杆经过时的速度为
B. 在整个过程中，定值电阻产生的热量为
C. 金属杆经过和区域，其所受安培力的冲量不同
D. 若将金属杆的初速度变为原来的倍，则其在磁场中运动的最大距离大于原来的倍
【答案】A
【解析】
【详解】A．设平行金属导轨间距为，金属杆在区域向右运动的过程中切割磁感线有，
金属杆在区域运动的过程中，时间内，根据动量定理有
则
由于
则上面方程左右两边累计求和，可得
设金属杆经过的速度为，同理对金属杆在区域运动的过程中根据动量定理，同理可得
综上有
则金属杆经过的速度等于，A正确；
B．在整个过程中，根据能量守恒有
则在整个过程中，定值电阻产生的热量为
B错误；
C．金属杆经过与区域，金属杆所受安培力的冲量为
因金属杆经过与区域滑行距离均为，所以金属杆所受安培力的冲量相同，C错误；
D．根据A选项可得，金属杆以初速度在磁场中运动有
可见若将金属杆的初速度变为原来的倍，则金属杆在磁场中运动的最大距离等于原来的倍，D错误。
故选A。
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、非选择题：本部分共7题，共70分。
11. 如图所示为研究电容器的实验装置。
（1）如图1所示，保持平行板电容器所带的电荷量不变，固定板不动。保持板与板的正对面积不变，将板向左移动，静电计指针张角________（选填“变大”“变小”或“不变”）。
（2）利用如图2所示电路观察电容器的充、放电现象。开关未闭合时，电源两端的电压。实验操作时，单刀双掷开关S先跟相接，某时刻开关改接，经一段足够长的时间后，把开关再改接。实验中使用了电流传感器和电压传感器来采集电流、电压随时间的变化情况。开关S由改接后，电容器进行的是________（选填“充电”或“放电”）过程。下列图的四幅图中可能正确反映将S接后电容器两端电压随时间变化的图像是________（选填图像下面的序号）。
A． B． C． D．
（3）某同学利用图2所示装置进行实验，记录了电容器放电的电流随时间变化的图像如图所示，如果不改变电路其他参数，只减小电阻的阻值，则此过程的曲线与坐标轴所围成的总面积将________（选填“增大”“减小”或“不变”）。若实验中测得该电容器在整个放电过程中释放的电荷量，则该电容器的电容为________。
【答案】（1）变大 （2） ①. 放电 ②. C
（3） ①. 不变 ②. 400
【解析】
【小问1详解】
保持板不动，板向左移动，根据
可知，增大，电容变小，根据
知电荷量不变，则电势差增大，静电计指针张角变大。
【小问2详解】
①开关S接时，电源在给电容器充电，开关S改接后，电源断开，电容器处于放电过程。
②电容器通过电阻放电过程中，电容器相当于电源（且），随着放电时间的加长，电容器上的电荷量变少，其两端电压变小，根据放电特点可知，C正确。
【小问3详解】
①曲线与坐标轴所围成的总面积表示初始时刻电容器所带电荷量的多少，也表示在该段时间内，电容器所放出电荷量的总和；只减小电阻的阻值，对电容器所带的最大电荷量没有影响，所以初始时刻电容器所带电荷量不变，即曲线与坐标轴所围成的总面积将不变。
②由题意可知，电容器在该过程所放出的电荷为，由
可得
12. 榆林市一学习小组测量某金属丝的电阻率，所用电路实验器材如下：
A.待测金属丝（电阻约）
B.电流表（，内阻约）
C.电压表（，内阻约）
D.滑动变阻器（，）
E.电源（电动势）
F.开关，导线若干
（1）用螺旋测微器测量金属丝的直径时，测量结果如图所示，可知金属丝直径的测量值______。
（2）为使金属丝两端电压调节范围尽量大，并使测量结果尽量准确，图所示的四个电路中，应该选用的是______（选填电路图下面的序号）。
A. B.
C. D.
（3）实验时，调节滑动变阻器滑片，得到若干组电压与电流的测压值。根据实验数据在坐标纸上选择合适标度，利用电流和电压值描点作出图像如图所示，通过分析可得待测金属丝电阻的测量值______（保留位有效数字）。
（4）实验中用刻度尺测得金属丝接入电路中的长度为，结合以上测量结果可知，该金属丝电阻率的表达式______（结果用、、、表示）。
（5）该小组经过正确的操作与计算得到的电阻率的测量值比其真实值______（选填“偏大”或“偏小”）。
（6）实验结束后，小明对实验原理进行了深入的思考，提出了减小金属丝电阻值测量的系统误差的方法。他通过查阅资料得知了实验中使用的电压表的内阻为和电流表的内阻为，然后利用第（2）问中所选电路重新进行实验并记录了电压表的示数和电流表的示数，则此实验所得出的金属丝电阻率更精确的测量值的表达式______（结果用、、、、、、表示）。
【答案】（1）1.498（1.497~1.499） （2）C
（3）4.4（4.3~4.6）
（4）
（5）偏小 （6）
【解析】
【小问1详解】
根据螺旋测微器的读数规律，该读数为
【小问2详解】
题中要求使金属丝两端电压调节范围尽量大，可知，控制电路中滑动变阻器选择分压式接法。因题中已知待测金属丝的电阻约，则有
即电流表分流影响较大，测量电路应排除电流表分压影响，采用电流表外接法，可知，所给电路图第三个满足要求。
故选C。
【小问3详解】
图像的斜率表示电阻，则待测金属丝的电阻
【小问4详解】
根据电阻定律有
导线的横截面积
解得
【小问5详解】
因电流表外接法导致电流的测量值偏大，所以电阻的测量值偏小，结合上述可知，电阻率的测量值偏小。
【小问6详解】
根据欧姆定律有
流过电阻的电流
结合上述可知，电阻率为
解得
13. 如图所示，两根光滑金属导轨水平平行放置，间距，左端接有电阻，磁感应强度、方向竖直向下的匀强磁场分布在虚直线（与导轨垂直）右侧空间内，长度为、质量、电阻的导体垂直导轨放置。现给导体棒的初速度使其向右运动，进入磁场后，最终停在轨道上。若空气阻力和导轨电阻均可忽略不计，导体棒在运动过程中与导轨始终垂直且接触良好。求：
（1）导体棒刚进磁场的瞬间，流过导体棒的电流大小和方向；
（2）整个过程中，电阻上产生的焦耳热；
（3）当导体棒速度为时，导体棒两端的电压。
【答案】（1），通过导体棒的电流方向为由到
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
根据法拉第电磁感应定律有
根据闭合电路的欧姆定律有
解得导体棒的电流大小
根据右手定则可知，通过导体棒的电流方向为由到。
【小问2详解】
导体棒刚进入磁场速度为，最终停在轨道上，此过程根据能量守恒定律有
电阻上产生的热量
联立上述式子解得电阻上产生的焦耳热
【小问3详解】
当导体棒速度为时，导体棒产生的感应电动势
导体棒两端的电压
联立上述式子解得
14. 如图所示，一对竖直放置的平行正对金属板、，板的中间开有小孔，两板间的电压为。在板的右侧有一对水平放置平行正对带电金属极板、，极板长度为，板间存在着方向竖直向下、电场强度大小为的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。假设电场、磁场只存在于两板间。一质量为、电荷量为的带正电的粒子，从板的小孔进入两板间被加速后，以水平方向射出板的小孔从、两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向射入极板间，恰好沿图中虚线做匀速直线运动。粒子所受的重力、进入板小孔时的初速度以及空气阻力均可忽略不计。
（1）求粒子射出板的小孔时速度大小，以及匀强磁场磁感应强度的大小；
（2）若撤去磁场，粒子能从、极板间射出，求：
①粒子穿过电场的过程中沿电场方向移动的距离；
②粒子穿出电场时的速度大小。
【答案】（1），
（2）①②
【解析】
【小问1详解】
带电粒子通过、板间的加速过程，根据动能定理有
解得
带电粒子匀速通过、板间的场区时受到的电场力与洛伦兹力平衡，即
解得磁感应强度
小问2详解】
①粒子穿过电场的过程中沿电场方向移动的距离，，
解得
②粒子穿出电场时沿电场方向的速度大小 ，，
解得
粒子穿出电场时的速度大小
15. 如图所示，间距的两平行金属导轨固定在与水平面夹角的绝缘斜面上，金属导轨的顶端接有电动势、内阻的直流电源，导轨所在空间中存在方向垂直斜面向上、大小可以调节的匀强磁场。现把一个质量的导体棒放在金属导轨上，导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒恰好能在此位置保持静止状态。已知导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻，金导轨电阻可以忽略，取重力加速度大小，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）求通过导体棒的电流的大小和导体棒的电功率；
（2）若导轨光滑，求匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）若导轨的动摩擦因数，为使导体棒静止不动，磁感应强度的大小需要满足什么条件。
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
根据闭合电路的欧姆定律有
解得导体棒的电流
导体棒的电功率
小问2详解】
导体棒处于静止状态，根据沿斜面方向的平衡方程有
安培力的大小
解得磁场的磁感应强度
【小问3详解】
根据沿垂直于斜面的平衡方程有
导体棒的最大静摩擦力
当摩擦力最大并沿斜面向上时，导体棒所受的安培力最小，根据沿斜面方向的平衡方程有
最小安培力的大小
联立上述三式并代入数据解得磁感应强度最小值
当摩擦力最大并沿斜面向下时，导体棒的安培力最大，根据沿斜面方向的平衡方程有
最大安培力的大小
联立上述三式代入数据解得磁感应强度最大值
综上，磁感应强度应满足的条件是
16. 在现代科学研究中，常常会涉及到利用电场和磁场对带电粒子运动的控制与分析。如图所示，在一平面直角坐标系内，存在着这样的场环境：在的空间范围内有一宽度为的匀强电场区域，电场强度大小为、方向沿轴正方向；在电场右侧是一范围足够大的匀强磁场区域，磁场方向垂直于平面向外，磁感应强度大小为。现有一电荷量为、质量为的带正电的粒子，从坐标原点以初速度沿轴正方向进入电场。粒子通过电场后进入磁场，在磁场中运动一段时间后又再次进入电场。假设粒子所受重力及空气阻力均可忽略不计。
（1）求粒子第一次进入磁场时的位置坐标，及其在磁场中做圆周运动的半径。
（2）求粒子从第一次出电场至第一次出磁场的过程中，洛伦兹力对粒子所施的冲量。
（3）要控制粒子第一次在磁场内运动的过程中始终在轴上方，请说明、、、和这几个物理量间应满足的条件是什么。
【答案】（1）
（2），方向水平向左
（3）
【解析】
【小问1详解】
粒子通过电场，根据动能定理
解得
粒子在电场中沿轴方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律
解得加速度
方向：，方向
则粒子第一次进入磁场时的坐标为。粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力
将代入可得
【小问2详解】
设粒子第一次进入磁场时水平方向速度为，第一次出磁场时速度为，则
粒子从第一次出电场至第一次出磁场的过程中，根据对称性可知冲量方向水平向左。设向左为正方向，在水平方向上根据动量定理有
则冲量大小
方向水平向左。
【小问3详解】
要控制粒子第一次在磁场内运动的过程中始终在轴上方，设粒子进入磁场时速度与轴正方向夹角为，则，
则、、、和这几个物理量间应满足的条件是
17. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，边长为，其中的等腰直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，在第一象限内的一个等腰直角三角形区域内有匀强电场，，平行轴。一带正电的粒子从A点沿轴正方向射入磁场，空气阻力及粒子所受的重力均可忽略不计，磁感应强度和电场强度的大小保持不变。
（1）若电场方向沿轴正方向，该粒子射入匀强磁场时的速度大小为，粒子恰好从点射出磁场并进入电场，最终从点射出电场，求匀强电场的电场强度与匀强磁场的磁感应强度的比值；
（2）若该粒子射入匀强磁场时速度大小为，匀强电场方向为沿轴负方向，求带电粒子从电场中射出时的位置坐标；
（3）若该粒子射入匀强磁场时速度大小变为，其中，匀强电场方向为沿轴负方向，求带电粒子从电场射出后打到轴的位置距坐标原点的最小距离。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
粒子从点离开磁场，作出运动轨迹，如图1所示
根据几何关系可知，粒子运动轨迹圆心为，则运动的轨道半径为，设粒子的质量为，电荷量为，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有
粒子在电场中做匀变速曲线运动，方向做匀速直线运动，则有
方向上做匀加速度直线运动，则有
根据牛顿第二定律有
解得
【小问2详解】
若入射速度大小变为，设带电粒子在磁场中运动轨道半径为，洛伦兹力提供向心力，则有
结合上述解得
根据几何关系可知，粒子沿轴正方向从点射出磁场并由点进入电场，作出运动轨迹如图2所示
因为电场方向变为沿轴负方向，粒子应从左侧点离开电场，由几何关系得射出时沿方向位移与沿方向上的位移相等，设为，其在电场中运动时间为，粒子在电场中做匀变速曲线运动，方向做匀速直线运动，则有
方向上做匀加速直线运动，则有
解得
根据几何关系可知，出射点的横坐标为
的纵坐标为
则出射点的坐标为。
【小问3详解】
若入射速度大小变为，设带电粒子在磁场中运动轨道半径为，洛伦兹力提供向心力，则有
结合上述解得
作出运动轨迹，如图3所示
根据几何关系可知，粒子沿轴正方向从点射出磁场并在点进入电场，因为电场方向沿轴负方向，粒子应从左侧点离开电场，打在轴上的点，由几何关系得射出时沿方向位移与沿方向上的位移相等，设为，其在电场中运动的时间为，粒子在电场中做匀变速曲线运动，方向做匀速直线运动，则有
方向上做匀加速度直线运动，则有
解得
设粒子射出电场时速度方向与轴正方向的夹角为，则有
在三角形中有
由几何关系得点距点的距离
根据数学函数规律可知，当时有最小值，代入得粒子打到轴上的点距坐标原点的最短距离为