2025届河北省石家庄市第一中学高三下学期高考第一次模拟考试数学试题（含答案）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．
4．计算 csπ4−αsinα+csα 的值是( )
5．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．设 a=1.69 ， b=1.31.9 ， c=1+lg1024128 ，则（ ）
8．函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，，令，，则（ ）
A．与的单调区间相同B．与的单调区间相同
C．与有相同的最小值D．与有相同的最小值
10．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（ ）
附：随机变量服从正态分布，则，，.
A．该校学生的体能检测结果的期望为
B．该校学生的体能检测结果的标准差为
C．该校学生的体能达标率超过
D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等
11．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线关于原点对称B．曲线与轴恰有3个公共点
C．的周长最小值为4D．的面积最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为 .
13．用3种不同的颜色给两个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则两个区域颜色相同的概率是__________.
14．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．（15分）
记的内角的对边分别为，已知，.
(1)求及；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
17．（15分）
已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
18．（17分）
已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围．
19．（17分）
已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．
(1)求面积的最大值；
(2)求与面积之比的最大值．A． 2
B． −2
C． 22
D． −22
A． c＞b＞a
B． a＞c＞b
C． c＞a＞b
D． b＞a＞c