2024年高考数学一轮复习第8章　8.3　圆的方程主干知识讲解课件

这是一份2024年高考数学一轮复习第8章　8.3　圆的方程主干知识讲解课件，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，＝6y－12，－2－4等内容，欢迎下载使用。
1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|0，解得a>0或a0.若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为___________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
方法一　设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二　设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三　设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，
∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
跟踪训练1　(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝4
根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为__________________.
例2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
设动点P的坐标为(x，y)，
整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
又点A在轨迹C上运动，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，
命题点1　利用几何性质求最值例3　(2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值.
命题点2　利用函数求最值
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
与圆有关的最值问题的求解方法
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
跟踪训练3　(1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是A.6 B.25 C.26 D.36
(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，
设过点(－1,0)的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，
1.(2023·六安模拟)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9
因为圆心为(1，－2)，半径为3，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
2.(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为
∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
3.若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，则△AOB外接圆的圆心坐标为A.(1，－1) B.(－1，－2)C.(1，－2) D.(－2,1)
由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点，设圆心坐标为(x，y)，
故所求圆心坐标为(1，－2).
4.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为A.x2＋y2－2y－3＝0 B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0 D.x2＋y2＋2y－15＝0
由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1,0)，半径为2，故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0,1)，半径为2，故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.
5.点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于
因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，
6.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0
由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示.
即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意.
7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为___________，半径为___.
由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.
∴a＝2不符合题意；当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
8.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为_________________________________.
x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))
设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(－1，－1).所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1)).
9.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上.线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程.
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
设点M(x，y)，Q(x0，y0).因为点P的坐标为(5,0)，
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
10.已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上.(1)求圆C1的方程；
∴AB的垂直平分线为y＝5－x，
即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标.
注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.
当且仅当M，N，P在线段C1C2上时取等号，此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
A.1 B.2 C.3 D.4
圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，依题意，点(2，－2)在直线ax－by－6＝0上，则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，
12.(多选)已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的可能取值为A.－12　　　B.－8　　　C.6　　　D.－1
由题意可得圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，
则圆心到与直线3x－4y－15＝0平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，
13.(多选)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是A.圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上B.圆M的面积的最大值为50πC.圆M的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M的半径之积为8
∵圆M与直线x＋y＋2＝0相切于A(0，－2)，∴直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，∴直线AM的斜率为1，则点M在直线y＝x－2，即x－y－2＝0上，故A正确；
∵圆M被x轴截得的弦长为2，
当a＝－5时，圆M的面积最大，为πr2＝50π，故B正确；