【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题8 立体几何（50题竞赛真题强化训练）原卷版

这是一份【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题8 立体几何（50题竞赛真题强化训练）原卷版，共8页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2018·四川·高三竞赛）在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.
2．（2018·辽宁·高三竞赛）四面体ABCD中，已知，，则异面直线AC与BD所成角的正弦值是_____.
3．（2018·湖南·高三竞赛）四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为__________.
4．（2018·湖南·高三竞赛）在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.
5．（2018·湖南·高三竞赛）正方体中，E为AB的中点，F为的中点.异面直线EF与所成角的余弦值是_____.
6．（2020·江苏·高三竞赛）在长方体中，，，是的中点，是的中点．若异面直线与所成的角为，距离为，则__________．
7．（2021·全国·高三竞赛）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的有__________面数．
8．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝4，PC＝3，∠APB＝∠APC＝60°，∠BPC＝90°.则三棱锥P-ABC的体积为_______.
9．（2018·全国·高三竞赛）已知长方体的长、宽、高分别为1、2、3，为平面内的一点，则长的最小值为_________.
10．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥的三个侧面及底面的面积分别为5、12、13、15，且侧面的斜高相等，则三棱锥的体积为___________．
11．（2020·浙江·高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从点匀速朝移动；乙从点匀速出发朝移动，到达后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当甲到达时，乙恰好在到达后折返到，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为__________.
12．（2021·全国·高三竞赛）在棱长为3的正方体上，点为中点，从点发出的光线经侧面内部（不含边界）一点反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点所组成区域的面积为___________.
13．（2021·全国·高三竞赛）已知正三棱锥高为2，底面边长为3，现在将三棱锥切去一部分，得到一个顶点为，底面在内的正四棱锥，则该四棱锥的体积最大为___________.
14．（2021·全国·高三竞赛）正四面体中，点G为面的中心，点M在线段上，且，则___________.
15．（2021·全国·高三竞赛）是半径为1的球面上的4个点，若，则四面体体积的最大值是__．
16．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥的底面为正三角形，点A在侧面上的射影H是的垂心，二面角的大小为，且，则此三棱锥的体积为_________．
17．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知正方体的棱长为2，P为空间一点，且满足，则的最小值为_______．
18．（2021·全国·高三竞赛）四面体中，，平面与平面成的二面角，则点B到平面的距离为___________．
19．（2021·全国·高三竞赛）已知正三棱锥，M是侧棱的中点，．若N是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．
20．（2021·全国·高三竞赛）正方体中，P是线段上一点，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则的最小值为________．
21．（2021·全国·高三竞赛）在三棱锥中，，则这个三棱锥的体积为________.
22．（2021·全国·高三竞赛）在三棱锥中，．若三侧面与顶面所成二面角均为，则三棱锥的体积为__________．
23．（2021·全国·高三竞赛）已知正方形是边的中点．将和分别沿和折起，使得与重合．记与重合后的点为，则平面与平面所成的二面角的大小为__________．
24．（2021·全国·高三竞赛）在菱形中，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为__________.
25．（2021·全国·高三竞赛）如图，棱长为1的正四面体的底面在平面上，现将正四面体绕棱逆时针旋转，当直线与平面第一次成角时，点A到平面的距离为_______．
26．（2019·江西·高三竞赛）P是正四棱锥V－ABCD的高VH的中点若点P到侧面的距离为3，到底面的距离为5，则该正四棱锥的体积为____________ .
27．（2019·吉林·高三竞赛）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E､F分别是AC､BC的中点，，则球O的表面积为____________ .
28．（2019·上海·高三竞赛）边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为________.
29．（2018·甘肃·高三竞赛）已知空间四点满足，且是三棱锥的外接球上的一个动点，则点到平面的最大距离是______．
30．（2018·天津·高三竞赛）半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是________
31．（2018·河南·高三竞赛）一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______．
32．（2018·河北·高三竞赛）已知棱长的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱体积的最大值为_____.
33．（2018·河北·高二竞赛）若的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.
34．（2018·江西·高三竞赛）四棱锥的底面是一个顶角为的菱形，每个侧面与底面的夹角都是，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为______．
35．（2018·福建·高三竞赛）如图，在三棱锥中，、都是边长为6的等边三角形．若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的面积为______．
36．（2018·全国·高三竞赛）在正方体中，已知棱长为1，点E在上，点F在CD上，，.则三棱锥的体积为__________．
37．（2019·全国·高三竞赛）已知四面体ABCD的四个面的面积分别为12、21、28、37，顶点D到面的距离为h.则h=__________．
38．（2018·全国·高三竞赛）在四面体ABCD中，已知，△ADB、△BDC、△CDA的面积分别为、2、1．则此四面体体积为________．
39．（2018·全国·高三竞赛）在金属丝制作的3×4×7的长方体框架中放置一个球，则该球的半径的最大值为________．
40．（2018·安徽·高三竞赛）在边长为1的长方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相切，则小球半径的最大值=___________.
41．（2021·全国·高三竞赛）把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为___________．
42．（2019·浙江·高三竞赛）如图，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC=2.在AC边上取一点D(不含A、C)，将△ABD沿线段BD折起，得到△PBD.当平面PBD垂直平面ABC时，则P到平面ABC距离的最大值为____________.
43．（2019·贵州·高三竞赛）若半径的空心球内部装有四个半径为r的实心球，则r所能取得的最大值为____________.
44．（2019·四川·高三竞赛）已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，先在内放入一个内切球O1，然后依次放入球，使得后放入的各球均与前一个球及的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为_____ .
45．（2019·山东·高三竞赛）空间有4个点A、B、C、D，满足.若∠ABC=∠BCD=∠CDA=36°，那么直线AC与直线BD所成角的大小是______ .
46．（2019·重庆·高三竞赛）已知正四面体可容纳10个半径为1的小球则正四面体棱长的最小值为_______ .
二、解答题
47．（2019·甘肃·高三竞赛）已知三棱锥P－ABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若点M为棱PA上一点且，求二面角P－BC－M的余弦值.
48．（2018·广东·高三竞赛）如图①，已知矩形ABCD满足AB=5，，沿平行于AD的线段EF向上翻折（点E在线段AB上运动，点F在线段CD上运动），得到如图②所示的三棱柱.
⑴若图②中△ABG是直角三角形，这里G是线段EF上的点，试求线段EG的长度x的取值范围；
⑵若⑴中EG的长度为取值范围内的最大整数，且线段AB的长度取得最小值，求二面角的值；
⑶在⑴与⑵的条件都满足的情况下，求三棱锥A-BFG的体积.
49．（2021·全国·高三竞赛）空间中的个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数互不相同的组，且，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形，要使这种三角形的总数最大，各组的点数应是多少?
50．（2021·全国·高三竞赛）证明：如下构造的空间曲线的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线的构造：作周长为的圆，在圆上取使的长度，并以为轴将旋转得弧，在圆上取，使的长度的长度，并以为轴将旋转度得弧，这样，由弧组成的曲线便是空间曲线．（如图所示）