新高考数学一轮复习重难点练习10空间距离与体积问题（2种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考法1：距离问题
考法2：体积问题
二、命题规律与备考策略
一.求点到平面的距离的四步骤
二、常见几何体体积的四种求法
1.直接法求体积（也称公式法）
直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。
可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到
2.等体积法求三棱锥体积
1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。
2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。
【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。
3.多面体割补法求体积
1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，
再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；
【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥
多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”
2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；
常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；
（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；
（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；
（4）将台体补成锥体等等。
【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。
4.两部分体积比例法（转移法）
利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。
【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。
三、题型方法
考法1：距离问题
1．（2023•新乡一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为32，△DEF的面积为4，求B到平面DEF的距离．
2．（2023•陈仓区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD＝AD＝1，PD⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EF⊥PB．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求点F到平面EDB的距离．
3．（2023•贵州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，E，F分别是棱BC，PA的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD．
（2）若AB＝1，AD＝PD＝2，CD＝3，∠PDC＝120°，求点C到平面DEF的距离．
4．（2023•天津模拟）如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．
（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；
（2）求二面角E一BC一F的正弦值；
（3）求直线AD到平面EBC的距离．
5．（2023•喀什地区模拟）如图，已知三角形P′AB是等腰三角形，P′A＝AB＝2，P′A⊥AB，C，D分别为P′B，P′A的中点，将△P′CD沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E．
（1）求证：CE∥平面PAD；
（2）求点B到面ACE的距离．
6．（2023•安康模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．
（1）证明：PE∥平面BFG；
（2）若AB＝2，求点C到平面BFG的距离．
7．（2023•凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝PA＝2，且直线PD与底面ABCD所成的角为．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求点C到平面PBD的距离．
8．（2023•江西模拟）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，P为BB1的中点，M为B1C1的中点，
（1）求证：D1M∥平面A1DP；
（2）若AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，求M到平面A1DP的距离．
9．（2023•郑州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝4，AB＝AD＝2．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）求点D到平面PBC的距离．
10．（2023•甘肃模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB＝PD．
（1）证明：BD⊥PC；
（2）若，PB＝AB＝BD＝2，求点A到平面PCD的距离．
11．（2023•阿勒泰地区三模）在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB＝2BC＝2CD，如图①，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，如图②．
（1）证明：CP⊥DE；
（2）若CE⊥平面DEP，且AB＝2，求点C到平面PBD的距离．
12．（2023•射洪市模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝2CD＝2，△APD为​等边三角形，E为棱PB的中点．
（1）证明：CE∥平面PAD；
（2）当PB＝时，求证：平面PAD⊥平面ABCD．并求点E与到平面PCD的距离．
13．（2023•河南模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝2，，，△PAD为等边三角形，∠PDC＝∠ADC＝45°．
（1）证明：平面PDC⊥平面PBC；
（2）求点C到平面PAB的距离．
14．（2023•新疆模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面ABCD是长方形，2AD＝CD＝PD＝2，PA＝，∠PDC＝120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上，且AF＝．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求点C到平面DEF的距离．
15．（2023•榆林一模）如图．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝，AB＝2CD＝2．
（1）证明：AD⊥PB．
（2）求点A到平面PBC的距离．
16．（2023•呼和浩特模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．
（1）证明：PC∥平面EFG；
（2）若PC＝PD＝CD＝2，AC＝AD＝AP＝2，求点C到平面EFG的距离．
17．（2023•驻马店三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为CC1上一点，AB＝CE＝2，AA1＝3，D为BB1上一点，三棱锥D﹣A1B1C1的体积为．
（1）求证：平面A1DE⊥平面ABB1A1；
（2）求点E到平面A1C1D的距离．
18．（2023•新余二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PBC；
（2）求点P到平面AEF的距离．
19．（2023•郑州模拟）在几何体ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝，AC＝3，点D，E在棱AC上，且AD＝DE＝EC，三棱柱DBE﹣A1B1C1是直三棱柱．
（1）求证：平面A1BE⊥平面ABB1；
（2）若A1D＝2，求点A1到平面AB1C的距离．
20．（2023•贵阳模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在BC上且 ＝2，求点M到平面PAB的距离．
21．（2023•徐汇区校级三模）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝AD＝1，D1D＝CD＝2，AB⊥AD．
（1）求证：BC⊥平面D1DB；
（2）求点D到平面BCD1的距离．
考法2：体积问题
1．（2023•吴忠模拟）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，FA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，DE∥AF，且FA＝3DE＝3．
（1）在线段AB上是否存在点M，使得ME∥平面BCF；
（2）求三棱锥A﹣EFC的体积．
2．（2023•九江三模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为CC1的中点，．
（1）求证：平面AB1C⊥平面ABD；
（2）若，求三棱锥B1﹣ABD的体积．
3．（2023•遵义模拟）如图，棱台ABCD﹣A'B'C'D'中，AA'＝BB'＝CC'＝DD'＝，底面ABCD是边长为4的正方形，底面A′B′C′D′是边长为2的正方形，连接AC′，BD，DC′．
（1）证明：AC′⊥BD．
（2）求三棱锥D﹣BCC′的体积．
4．（2023•河南模拟）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E是B1D1的中点．
（1）证明：CE⊥BD；
（2）求三棱锥A﹣B1CE的体积．
5．（2023•商洛三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC＝2AB＝2AD＝2，，PC⊥底面ABCD，M为棱AP上的一点．
（1）证明：AB⊥CM；
（2）若三棱锥P﹣CDM的体积为，求的值．
6．（2023•重庆模拟）如图，在正三棱锥S﹣ABC中，E是高SO上一点，，直线AE与底面所成角的正切值为．
（1）求证：AE⊥平面EBC；
（2）求三棱锥E﹣ABC外接球的体积．
7．（2023•江西模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC．
（1）证明：四边形ABCD是正方形；
（2）若PA＝AB＝3，M为PC上一点，且满足PC＝3PM，求三棱锥P﹣ABM的体积．
8．（2023•重庆模拟）如图，EA⊥平面ABCD，EA∥FC，AC＝EA＝2FC＝2，四边形ABCD为菱形．
（1）证明：FA⊥平面EBD；
（2）若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为，求三棱锥E﹣BDF的体积．
9．（2023•河南模拟）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，A1A＝A1B＝A1C＝2，∠BAC＝90°，E是BC的中点，F是线段A1C1上一点．
（1）求证：AB⊥EF；
（2）设P是棱AA1上的动点（不包括边界），当△PBC的面积最小时，求棱锥P﹣ABC的体积．
10．（2023•湖南模拟）如图，四边形ABCD为正方形，四边形ADEF是梯形，AF∥DE，AD＝DE＝3AF，平面ADEF⊥平面ABCD，且ED⊥BD，点P是线段FC上的一点（不包括端点）．
（1）证明BD⊥FC；
（2）若AF＝1，且直线EC与平面PBD所成角的大小为45°，求三棱锥C﹣PBD的体积．
11．（2023•安阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点．
（1）证明：AD∥平面C1EF；
（2）若2AA1＝3AB＝3，求三棱锥A﹣C1DE的体积．
12．（2023•保定二模）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝，DH⊥平面ABCD，EH＝2，DH＝3，AD＝4．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）求三棱锥 F﹣BDG的体积．
13．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点．
（1）求证：CD⊥ME；
（2）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值．
14．（2023•乌鲁木齐模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上，且PF＝2FC．
（1）证明：DF∥平面PAB；
（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．
15．（2023•开封三模）如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB＝4，BC＝6．
（1）证明：BF⊥平面EPF；
（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B﹣EPF的体积．
16．（2023•咸阳模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，侧面BB1C1C⊥侧面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中点．
（1）求证：平面GBC⊥平面BB1C1C；
（2）若P为线段BC的中点，求三棱锥A﹣PBG的体积．
17．（2023•河南三模）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，CD＝2，M是DD1的中点．
（1）证明：BC⊥B1M；
（2）若B1M⊥CM，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．
18．（2023•南宁一模）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA中点，过C，D，M的平面截四棱锥P﹣ABCD所得的截面为α．
（1）若α与棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明＝3．
（2）求多面体ABCDMF的体积．
19．（2023•平顶山模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，且满足AD＝DE＝2，CE＝1，将△ADE沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成四棱锥P﹣ABCE．
（1）若点F在线段AP上，且EF∥平面PBC，试确定点F的位置；
（2）若，求四棱锥P﹣ABCE的体积．
20．（2023•河南模拟）已知四棱锥P﹣ABCD，其中AD∥BC，AB⊥AD，CD＝，BC＝2AD＝2，平面PBC⊥平面ABCD，点E是PB上一点，CE⊥PB．
（1）求证：CE⊥平面PAB；
（2）若△CDE是等边三角形，当点A到直线PC距离最大时，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
21．（2023•江西模拟）在边长为4的等边△PCD（如图甲）中，已知点A，B分别为PD，PC的中点，现将△PAB沿直线AB翻折，使点P在底面ABCD的射影刚好为对角线AC与BD的交点H，连接PC，PD得到四棱锥P﹣ABCD（如图乙）．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD．
（2）求四棱锥P﹣HBC的体积．
22．（2023•四川模拟）如图所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，ED∥AB，AB＝2DE＝2BD＝2，AC＝BC，异面直线DE与AC所成角为45°．
（1）求证：平面ACE⊥平面BCD；
（2）若点F在CE上，当△AFB面积最小时，求三棱锥F﹣ABE的体积．
23．（2023•柳南区二模）某校积极开展社团活动，在一次活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍薨”（如图2）．
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（2）若∠AEB＝，求三棱锥A﹣BEF的体积．
24．（2023•江西模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BD⊥平面AB1C，其垂足D落在直线B1C上．
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）若P是线段AB上一点，BD＝1，BC＝AC＝2，三棱锥B1﹣PAC的体积为，求的值．
25．（2023•呼和浩特模拟）如图；在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证 AC⊥BC1；
（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDB1的体积．
26．（2023•赣州二模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，E为侧棱CC1的中点．
（1）证明：DE∥平面AB1C1；
（2）设∠BAC＝90°，，且异面直线DE与B1C1所成的角为30°，求三棱锥D﹣AB1C1的体积．
27．（2023•内江三模）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2），点E、M分别为棱BC、AC的中点．
（1）求证：CD⊥ME；
（2）在图2中，当三棱锥A﹣BCD的体积取最大值时，求三棱锥A﹣MDE的体积．
28．（2023•河南模拟）如图，四边形ABCD为菱形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，BD＝ED＝2FB．
（1）证明：平面EAC⊥平面FAC；
（2）记三棱锥A﹣EFC的体积为V1，三棱锥A﹣BFC的体积为V2，求．
29．（2023•南昌三模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD＝AB＝2BC＝2BE＝2，G为直线AF上一点，AG＝1．
（1）求证：BG∥平面DCE；
（2）若BF与CE所成的角为60，求多面体ABCDEF的体积．
30．（2023•德阳模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA'．
（1）△PDA沿PD翻折中是否会改变二面角C﹣BA'﹣P的大小，并说明理由；
（2）若PB＝CB＝2PD＝2，E是A'C的中点．求证：DE∥平面A'PB，并求当平面PDA'⊥平面PBCD时四棱锥A'﹣PBCD的体积．
31．（2023•唐山二模）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝1，∠BAD＝120°，PA⊥CD，PD⊥AC，点E是棱PD上靠近点P的三等分点．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）若平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
32．（2023•合肥模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点M为棱AA1的中点，P，Q分别为棱BB1，CC1上的点，且B1P＝CQ＝1，PQ交BC1于点N．
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）求多面体BDMPQ的体积．
33．（2023•五华区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为等边三角形，M为PA的中点，PD⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：平面CDM⊥平面PAB；
（2）若AD∥BC，AD＝2BC，AB＝2，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为，求三棱锥P﹣MCD的体积．
34．（2023•河南模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，2OH＝2PO＝DC＝2，PO⊥平面ABCD，H为DC的中点．
（1）求证：平面DPO⊥平面POC；
（2）求三棱锥H﹣POD体积的最大值．
35．（2023•郑州模拟）如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，C1E⊥平面ABCD，C1E＝4，点H在CC1上，且．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求证：EH∥平面AB1D1；
（2）若点F在BD上，EF∥BC，∠DBC＝90°，BC＝3，FB＝2，求四棱锥H﹣BCEF的体积．
36．（2023•山西模拟）如图①，在矩形ABCD中，，E为AD的中点，如图②，沿BE将△ABE折起，点P在线段AD上．
（1）若AP＝2PD，求证：AB∥平面PEC；
（2）若平面ABE⊥平面BCDE，是否存在点P，使得平面AEC与平面PEC的夹角为90°？若存在，求此时三棱锥C﹣APE的体积；若不存在，说明理由．
37．（2023•赤峰模拟）如图，一半圆的圆心为O，AB是它的一条直径，AB＝2，延长AB至C，使得BC＝OB，设该半圆所在平面为α，平面α外有一点P，满足平面POC⊥平面α，且OP＝CP＝，该半圆上点Q满足．
（1）求证：平面POQ⊥平面POC；
（2）若线段CQ与半圆交于R，求三棱锥O﹣PQR的体积．
38．（2023•赤峰三模）如图，在四棱锥P﹣ABMN中，△PNM是边长为2的正三角形，AN⊥NP，AN∥BM，AN＝3，BM＝1，，C，D分别是线段AB，NP的中点．
（1）求证：CD∥平面PBM；
（2）求四棱锥P﹣ABMN的体积．
39．（2023•西安模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，∠PAB＝∠BAC＝150°，PA＝AC＝4，AB＝4，E、F分别是PB、BC的中点．
（1）求证：AB⊥EF；
（2）求四棱锥A﹣PEFC的体积．
40．（2023•江西模拟）如图：在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为线段SA上一点，且2SM＝AM，平面CDM与侧棱SB交于点N．
（1）求；
（2）平面CDM将四棱锥S﹣ABCD分成了上下两部分，求四棱锥S﹣MNCD和多面体ABCDMN的体积之比．
41．（2023•南昌一模）已知直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且AB＝AD＝BD＝2，，点E为B1D1的中点．
（1）证明：AE∥平面BDC1；
（2）求三棱锥E﹣BDC1的体积．
42．（2023•河南模拟）在如图所示的多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE∥CD，AE＝2CD＝2，CA＝CB＝3，AB＝2．
（1）证明：平面ABE⊥平面BDE；
（2）求多面体ABCDE的体积．
43．（2023•丹东模拟）如图，PA，PB是圆锥的母线，延长底面圆O直径AB到点C，使得BC＝OB，直线CE与圆O切于点D，已知AB＝2，二面角P﹣EC﹣A的大小为60°．
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）若平面PAE⊥平面PAC，求三棱锥P﹣AEC的体积．
44．（2023•四川模拟）如图，四棱台ABCD﹣EFGH中，底面ABCD是菱形，点M，N分别为棱BC，CD的中点，CG⊥MN，，AE＝EF＝1，AB＝2．
（1）证明：平面ABFE⊥平面ABCD；
（2）当时，求多面体ABMN﹣EFGH的体积．
45．（2023•遂宁模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，H为△ABC的内心，直线AH与BC交于M，∠PAB＝∠PAC，∠PCA＝∠PCB．
（1）证明：平面PAM⊥平面ABC；
（2）若AB⊥BC，PA＝AB＝3，BC＝4，求三棱锥M﹣PAC的体积．
46．（2023•广州三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，AB＝AP＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAC；
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E﹣ABG体积．
47．（2023•咸阳二模）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝8，AB＝4，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面C1DE；
（Ⅱ）求三棱锥N﹣C1DE的体积．
48．（2023•江西模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝B1A＝B1C，D是AC的中点，AB1⊥BD．
（1）证明：B1D⊥平面ABC；
（2）若，点B1到平面ACC1A1的距离为，求三棱锥C1﹣A1B1C的体积．
49．（2023•成都模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△A1B1C1与△AB1C1均是边长为2的正三角形，且AA1＝．
（Ⅰ）证明：平面AB1C1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BB1C1C的体积．
50．（2023•定西模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，OP＝，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
（1）求证：平面OEF∥平面PCD；
（2）求三棱锥O﹣PEF的体积．
51．（2023•广西一模）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝CD＝，BC＝2，E为AC的中点，F为AD的中点．
（1）证明：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求多面体BCDFE的体积．
52．（2023•柳州模拟）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．如图，四棱锥P﹣ABCD就是阳马结构，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，AB＝AD＝2，．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）若，求三棱锥G﹣DEF的体积．
53．（2023•宜宾模拟）圆柱O1O2中，四边形DEFG为过轴O1O2的截面，，DE＝16，△ABC为底面圆O1的内接正三角形，AB∥DE．
（1）证明：CO2⊥平面ABFG；
（2）求三棱锥G﹣BCF的体积．
54．（2023•河南模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，AB＝AC＝AD．
（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；
（2）若BD＝2，BC＝1，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥A﹣BCD的体积．
55．（2023•朝阳区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F．
（1）证明：F为PD的中点；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．
条件①：三角形BCF的面积为；
条件②：三棱锥P﹣BCF的体积为1．
56．（2023•铜仁市模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（I）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）设三棱锥B﹣EMN和四棱锥P﹣EBCD的体积分别为V1和V2，当N为BC中点时，求的值．
57．（2023•江西模拟）如图，在几何体ABCDE中，AB＝BC，AB⊥BC，已知平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥平面BCE，DE∥平面ABC，AD⊥DE．
（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）若AC＝2CD＝2，设M为棱BE上的点，且满足2BM＝ME，求当几何体ABCDE的体积取最大值时AM与CD所成角的余弦值．
58．（2023•湖北模拟）如图所示，六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠BAD＝，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且BB1⊥平面ABCD，AA1＝CC1，，平面BEF与平面ABCD的交线为l．
（1）证明：直线l⊥平面B1BDD1．
（2）已知EF＝2，三棱锥B1﹣BDF的体积＝，若D1F与平面BDD1所成角为θ，求sinθ的取值范围．
59．（2023•汕头一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD＝AB＝2BC＝2BE＝2．
（1）已知点G为AF上一点，且AG＝2，求证：BG与平面DCE不平行；
（2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求该多面体ABCDEF的体积．
60．（2023•福建模拟）如图，在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，∠DCB＝60°．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形．
（1）求证：BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH；
（2）设二面角A﹣BC﹣D的平面角为θ，求θ在区间[0，]变化的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；
（3）设λ＝（λ∈（0，1）），且平面ABC⊥平面BCD，则当λ为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为？