厦门市2024—2025学年（上）高一质检数学试卷及参考答案

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考试时间120分钟，总分150分，2025.1
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A＝{x∈N|－2≤x≤2}，B＝{－1，1}，则A∪B＝( )
A.{0，1} B.{－1，1}
C.{－1，0，1，2} D.{－2，－1，0，1，2}
2.命题：x＞0， eq \r(x)＋1≥0的否定是( )
A.x＞0， eq \r(x)＋1≥0 B.x＞0， eq \r(x)＋1≥0
C.x＞0， eq \r(x)＋1≤0 D.x＞0， eq \r(x)＋1＜0
3.若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则( )
A. eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≥1 B. eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≤1
C. eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≥4 D. eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≤4
4.函数y＝x eq \s(\s(\f(2,3)))的大致图象为( )
A. B. C. D.
5.“sin(x－ eq \f(π,3))＝0”是“tanx＝ eq \r(3)”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.设a＝ eq \f(1,2)，b＝ eq \f(1,4lg3)，( eq \f(1,5))c＝a则( )
A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.c＜a＜b D.a＜c＜b
7.设a＞0，且a≠1，若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax－a，x≤1,－x2＋2ax，x＞1))的值域是R，则a的取值范围是( )
A.[2，＋∞) B.(0， eq \f(1,2)) C.[ eq \f(1,2)，1) D.(1，2]
8.设函数f(x)＝|x2－a|，g(x)＝a|x|＋1，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有3个交点，则a＝( )
A.－1 B.1 C.－1或1 D.2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知a＞b＞0＞c，则( )
A.lna＞lnb B.a2＞c2 C.bc＞ac D. eq \f(b－c,a－c)＞ eq \f(b,a)
10.已知、分别为第一、第三象限角，且tan＝tan＝2，则( )
A.cs(－)＝1 B.cs(＋)＝ eq \f(3,5) C.sin•sin＝－ eq \f(4,5) D.cs•cs＝ eq \f(1,5)
11.已知函数f(x)＝ln|x－1|－ln|x|，则( )
A.f(x)的定义域为{x|x≠0，且x≠1}
B.f(x)在区间(－∞，0)单调递增
C.f(x)的图象关于(1，0)对称
D.f(－ eq lg\s\d 3(2)3)＋f( eq \f(5,2))＜0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. eq \f(sin10°sin100°,sin20°)＝ .
13.设0＜a＜1，若lg(a2)＋(lga)2＝3，则a＝ .
14.如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合(齿的尺寸忽略不计)，其半径之比为1:2，当t＝0时，齿轮A上的点
P1(x1，y1)和齿轮B上的点P2(x2，y2)均与坐标原点重合，当两齿轮旋转时，P1和P2在相同时间内运动的弧
长相等，则P1，P2运动的角速度之比为 ，若y1＝sint，则x2关于t的一个函数解析式为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数f(x)＝2sin(2x－ eq \f(π,6)).
(1)补全下列表格，用“五点法”画出f(x)在区间[0，π]的大致图象；
(2)将f(x)的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间和对称中心的坐标.
16.(15分)
如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是12km，某城镇位于P的正东方向，且与P的距离为21km.
甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点M处(其中P，M之间的距离为16km)，再从M出发步行到达该城镇.已知小船的平均速度为v1 km/h,甲的步行速度为v2 km/h
(1)当v1＝8，v2＝5时，求甲从小岛到城镇所用时间；
(2)若v1＋v2＝15，求甲小岛到城镇所需的最短时间与相应的v1，v2.
17.(15分)
设函数f(x)＝x＋ eq lg\s\d 3(a)x，其中a＞0，且a≠1.
(1)当a＝2时，求f(x)的零点个数；
(2)若f(x)在区间(1，2)和(4，6)内均存在零点，写出一个满足题意的a(结果保留两位小数)，并说明理由.
参考数据：1.486＝10.509….
18.(17分)
已知函数f(x)＝ eq \f(2,ex＋1)－1.
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)解不等式f(x2)＋f(2x－1)≥0；
(3)当0＜a＜1时，若关于x的方程af(x)f(2x)＋bf(2x)－1＝0有解，证明：|b|＞1－a
19.(17分)
定义[a，b]∪[c，d](b＜c)的“区间长度”为d－c＋b－a，设函数f(x)＝(2sinx－t)(2tsinx＋1)的定义域为[0，2π].
(1)当t＝－1时，求关于x的不等式f(x)≤0解集的“区间长度”；
(2)已知 eq \f(1,2)＜t＜2，设关于x的不等式f(x)≥0解集的“区间长度”为I.
(i)若I＝π，求t；
(ii)求I的最大值.2x－ eq \f(π,6)
0
π
2π
x
f(x)