高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)第09讲　数列求和及其综合应用(2大考点+强化训练)(原卷版+解析)

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考点分类讲解
考点一：数列求和
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；
eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
2．错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列．
规律方法 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．
(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式．
考向1 分组转化法
【例1】（2024·河南南阳·一模）已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·甘肃·一模）已知函数（为自然对数的底），，记为从小到大的第个极值点，数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】2024·四川宜宾·二模）数列中，是数列的前项和，已知，数列为等差数列，则 .
【变式3】(2023·枣庄模拟)已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＋2an＝2n＋2.
(1)证明：{an－2n}为等比数列；
(2)已知bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,lg2an，n为偶数，))Tn为{bn}的前n项和，求T10.
考向2 裂项相消法
【例2】（2024·广东·模拟预测）令．则的最大值在如下哪个区间中（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A．B．C．D．
【变式3】(2023·沈阳质检)设n∈N*，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(n－1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(n－1,4n－1)，an＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)令bn＝an＋1－an，求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求证：eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)