2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题8.7抛物线【九大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题8.7抛物线【九大题型】特训(学生版+解析)，共46页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3092" 【题型1 抛物线的定义及其应用】 PAGEREF _Tc3092 \h 3
\l "_Tc20883" 【题型2 抛物线的标准方程】 PAGEREF _Tc20883 \h 4
\l "_Tc18866" 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 PAGEREF _Tc18866 \h 4
\l "_Tc11885" 【题型4 抛物线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc11885 \h 5
\l "_Tc25634" 【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】 PAGEREF _Tc25634 \h 5
\l "_Tc30148" 【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 PAGEREF _Tc30148 \h 5
\l "_Tc19785" 【题型7 抛物线的焦半径公式】 PAGEREF _Tc19785 \h 6
\l "_Tc29544" 【题型8 抛物线的几何性质】 PAGEREF _Tc29544 \h 6
\l "_Tc17718" 【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 PAGEREF _Tc17718 \h 7
1、抛物线
【知识点1 抛物线及其性质】
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程与几何性质
3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是00上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p=（ ）
A．12B．1C．2D．4
【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点2,−3，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．x2=−3yB．x2=−43yC．x2=−23yD．x2=−4y
【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=xB．y2=2xC．y2=4xD．y2=8x
【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若BC=2BF,AE=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=3x2B．y2=9x
C．y2=9x2D．y2=3x
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C的方程为 x=−116y2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）
A．(-4,0)B．−140C．(-2,0)D．−120
【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y=6x2，则C的准线方程为（ ）
A．y=−32B．y=32C．y=−124D．y=124
【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y2=−28x的焦点坐标为（ ）
A．0,−14B．0,−7C．−14,0D．−7,0
【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y2=mx的准线经过双曲线x2−y2=2的右焦点，则m的值为（ ）
A．−4B．4C．−8D．8
【题型4 抛物线的轨迹方程】
【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=−2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=8xD．y2=12x
【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（ ）
A．y2=8xB．y2=4xC．y2=2xD．y2=x
【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点Px,y满足(x−1)2+y2=x+1，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：x+22+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）
A．y2=8x B．y2=4x C．y2=−4x D．y2=−8x
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N4,0，则AN的最小值为（ ）
A．2B．22C．4D．23
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆x−52+y2=1上的点，则PQ的最小值是（ ）
A．2B．22C．23D．3
【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M是抛物线y²=4x上一点，圆C1:x−12+y−22=1关于直线y=x−1对称的圆为C2，N是圆C2上的一点，则MN的最小值为（ ）
A．22−1B．2−1C．112−1D．37
【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则MN+d的最小值为（ ）
A．1B．22C．332D．2
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=−2的距离为d，则AP+d的最小值为（ ）
A．1B．3C．10−1D．10+1
【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为x−52+y−12=1，设P为抛物线上的点， Q为圆上的一点，则PF+PQ的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F1,0，E−2,0，M2,2，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则PM+PF的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A2,6关于P的对称点为B，记P到直线x=−1、x=−4的距离分别d1、d2，则d1+d2+AB的最小值为（ ）
A．33+2B．233+2C．37+3D．237+3
【题型7 抛物线的焦半径公式】
【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F是抛物线C:x2=4y的焦点，点M在C上，且M的纵坐标为3，则MF=（ ）
A．22B．23C．4D．6
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0上的点m,2到原点的距离为22，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若∠FPQ=2π3，则PF=（ ）
A．13B．12C．33D．23
【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则1PQ+1MN=（ ）
A．22B．1C．2D．2
【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F抛物线y2=2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（ ）
A．2B．23C．3D．43
【题型8 抛物线的几何性质】
【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB的重心恰为F，若|AF|=5，则p=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=2x上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．2B．23C．4D．43
【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若∠PEF=30°，则sin∠PFE=（ ）
A．34B．33C．22D．32
【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x轴上一定点Aa,0a>0，和抛物线y2=2pxp>0上的一动点M，若AM≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,p2B．0,pC．0,3p2D．0,2p
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】
【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q2,−2在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF（O为坐标原点）的面积是（ ）
A．12B．1C．2D．4
【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知AF=5，BF=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为该抛物线上不同的三点，且FA+FB+FC=0,O为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2−4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x2=8y上一点x0,y0到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍．则y0=（ ）
A．12B．1C．32D．2
2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，OP=43，则PF=（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C与x轴相切且与圆x2+y2=4外切，则圆C的圆心的轨迹方程为（ ）
A．x2=4y+4B．x2=−4y+4
C．x2=4y+4D．x2=4y−4
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若MF=6，则△MNF的面积为（ ）
A．8B．45C．55D．105
5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x−2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（ ）
A．12B．1C．2D．4
7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，动点M在C上，点B与点A1,−2关于直线l:y=x−1对称，则MFMB的最小值为（ ）
A．22B．12C．33D．13
8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y2=2px过点A1,2，F为C的焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，则（ ）
A．C的准线方程为x=−2
B．△AFO的面积为1
C．不存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2
D．存在点P，使得△POF为等边三角形
二、多选题
9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的焦点坐标是−1,0
B．抛物线C关于y轴对称
C．抛物线C的准线方程为x=1
D．抛物线C的焦点到准线的距离为4
10．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线C:x2=2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t,1)时，|PF|=2，直线l与抛物线相交于A、B两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：x2=8y
B．抛物线的准线方程为：y=−1
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．AF+BF≥4
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以AB为直径的圆过焦点F，QB=λBF（λ>0），则（ ）
A．若λ=3，则BF=34B．若∠AQF=3π8，则AF=2+2
C．△AFB的面积最小值为14D．△AQB的面积大于3−22
三、填空题
12．（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,2)，则点A到抛物线准线的距离为 ．
13．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线x2=16y的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，点A(2,0)，则|PF|−|PA|的最大值是 ．
14．（2024·上海·三模）过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交E于点A,B，交E的准线l于点C，AD⊥l，点D为垂足.若F是AC的中点，且AF=3，则AB= .
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为−2,0；
(2)准线为y=−1；
(3)过点A2,3；
(4)焦点到准线的距离为52．
16．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知M是抛物线y2=2x上一点.
(1)设点A的坐标为2,0，求MA的最小值；
(2)若点M到直线x−y+1=0的距离最小，求出点M的坐标及距离的最小值.
17．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.
(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
(2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？
(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
18．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=−2的距离，
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若A(2,2)，求△PAF周长的最小值.
19．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点B3,2；②点B3,4中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点A−1,1与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线y=−4x−5与它到准线l的距离之和的最小值．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程
(2)掌握抛物线的简单几何性质(范围 、对称性、顶点、离心率)
(3)了解抛物线的简单应用
2023年新高考I卷：第22题，12分
2023年新高考Ⅱ卷：第10题，5分
2023年全国乙卷（文数）：第13题，5分
2023年北京卷：第6题，4分
2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分
2024年北京卷：第11题，5分
抛物线是圆锥曲线中的重要内容，抛物线及其性质是高考数学的热点问题.从近几年的高考情况来看，主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、面积问题等内容，在选择、填空、解答题都可能出现，解题思路和解题步骤相对固定，强调通性通法，选择、填空题中难度不大，解答题中难度偏大，一般以第一小问考查抛物线的方程或轨迹问题，需要灵活求解.
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
专题8.7 抛物线【九大题型】
【新高考专用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3092" 【题型1 抛物线的定义及其应用】 PAGEREF _Tc3092 \h 3
\l "_Tc20883" 【题型2 抛物线的标准方程】 PAGEREF _Tc20883 \h 5
\l "_Tc18866" 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 PAGEREF _Tc18866 \h 6
\l "_Tc11885" 【题型4 抛物线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc11885 \h 7
\l "_Tc25634" 【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】 PAGEREF _Tc25634 \h 9
\l "_Tc30148" 【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 PAGEREF _Tc30148 \h 11
\l "_Tc19785" 【题型7 抛物线的焦半径公式】 PAGEREF _Tc19785 \h 14
\l "_Tc29544" 【题型8 抛物线的几何性质】 PAGEREF _Tc29544 \h 16
\l "_Tc17718" 【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 PAGEREF _Tc17718 \h 18
1、抛物线
【知识点1 抛物线及其性质】
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程与几何性质
3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是00)，
因为C的焦点到准线的距离为3，所以p=3，
所以C的标准方程为y2=−6x.
故选：A.
【题型2 抛物线的标准方程】
【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点Aa,2为抛物线x2=2pyp>0上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p=（ ）
A．12B．1C．2D．4
【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x2=2pyp>0,则抛物线焦点为F0,p2，若Mx1,y1为 抛物线上一点,有MF=y1+p2,可得AF=2+p2=3,解得p=2.
【解答过程】因为抛物线为x2=2pyp>0,
则其焦点在y轴正半轴 上,焦点坐标为0,p2,
由于点Aa,2为抛物线x2=2py,p>0为上一点,且点A到抛物线的焦点F的距离为3,
所以点A到抛物线的焦点F的距离为AF=2+p2=3,解得p=2,
故选：C.
【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点2,−3，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．x2=−3yB．x2=−43yC．x2=−23yD．x2=−4y
【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.
【解答过程】设抛物线的标准方程为x2=aya≠0，
将点点2,−3代入，得22=−3a，解得a=−43，
所以抛物线的标准方程是x2=−43y.
故选：B.
【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=xB．y2=2xC．y2=4xD．y2=8x
【解题思路】根据抛物线的定义求解．
【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=−1的距离相，
因此−p2=−1，p=2，
抛物线方程为y2=4x．
故选：C．
【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若BC=2BF,AE=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=3x2B．y2=9x
C．y2=9x2D．y2=3x
【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设BF=a，得到AC=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.
【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，
设BF=a，则BC=2BF=2a，
由抛物线的定义得 BD=BF=a，
在直角△BCD中，可得sin∠BCD=BDBC=12，所以∠BCD=30∘，
在直角△ACE中，因为AE=3，可得AC=3+3a，
由AC=2AE，所以3+3a=6，解得a=1，
因为BD//FG，所以1p=2a3a，解得p=32，所以抛物线方程为y2=3x.
故选：C.

【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C的方程为 x=−116y2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）
A．(-4,0)B．−140C．(-2,0)D．−120
【解题思路】由抛物线的几何性质求解．
【解答过程】依题意得：y2=−16x，则此抛物线的焦点坐标为：−4，0，
故选：A.
【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y=6x2，则C的准线方程为（ ）
A．y=−32B．y=32C．y=−124D．y=124
【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.
【解答过程】抛物线C：y=6x2的标准方程为x2=16y，
所以其准线方程为y=−124.
故选：C.
【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y2=−28x的焦点坐标为（ ）
A．0,−14B．0,−7C．−14,0D．−7,0
【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.
【解答过程】∵2p=28,∴p=14,∴抛物线y2=−28x的焦点坐标为−7,0.
故选：D.
【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y2=mx的准线经过双曲线x2−y2=2的右焦点，则m的值为（ ）
A．−4B．4C．−8D．8
【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为双曲线x2−y2=2的右焦点为2,0，
又抛物线y2=mx的准线方程为x=−m4，则−m4=2，即m=−8.
故选：C.
【题型4 抛物线的轨迹方程】
【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=−2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=8xD．y2=12x
【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.
【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=−2的距离相等，
所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.
故选：C.
【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（ ）
A．y2=8xB．y2=4xC．y2=2xD．y2=x
【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.
【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，
所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=−1的距离，
所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=−1为准线的抛物线，
所以动点的轨迹方程是y2=4x.
故选：B.
【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点Px,y满足(x−1)2+y2=x+1，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.
【解答过程】(x−1)2+y2表示点Px,y到点1,0的距离； x+1表示点Px,y到直线x=−1的距离.
因为(x−1)2+y2=x+1，
所以点Px,y到点1,0的距离等于点Px,y到直线x=−1的距离，
所以P的轨迹为抛物线.
故选：C.
【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：x+22+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）
A．y2=8x B．y2=4x C．y2=−4x D．y2=−8x
【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．
【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：MF=r−1，
点M到定直线x=2的距离为d=r−1，
所以动点M到定点F−2,0的距离等于到定直线x=2的距离，
即M的轨迹为以F为焦点，x=2为准线的抛物线，
所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=−8x.
故选：D．
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N4,0，则AN的最小值为（ ）
A．2B．22C．4D．23
【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值
【解答过程】设At24,t，
则AN=t24−42+t2=t416−t2+16=t24−22+12≥23，
当且仅当t=±22时，等号成立．
故选：D．
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆x−52+y2=1上的点，则PQ的最小值是（ ）
A．2B．22C．23D．3
【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.
【解答过程】如图，抛物线上点Px,y到圆心C5,0的距离为PC,CP≤CQ+PQ，

因此PQ≥CP−1，当CP最小时，PQ=CP−1最小，
而CP2=x−52+y2=y22−52+y2=14y2−82+9，
当y=±22时，CPmin=3，因此PQ的最小值是2．
故选：A.
【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M是抛物线y²=4x上一点，圆C1:x−12+y−22=1关于直线y=x−1对称的圆为C2，N是圆C2上的一点，则MN的最小值为（ ）
A．22−1B．2−1C．112−1D．37
【解题思路】根据对称性求出圆C2的方程，设My024,y0，求出MC2的最小值，即可求出MN的最小值.
【解答过程】圆C1:x−12+y−22=1圆心为C11,2，半径r=1，设C2a,b，
则由对称性可知：b−2a−1×1=−11+a2−2+b2−1=0，解得a=3b=0，则C23,0，
所以圆C2 :x−32+y2=1，
设My024,y0，则MC2=y024−32+y02=116y02−42+8，
所以当y02=4，即y0=±2时，MC2min=22，
所以MN的最小值是22−1.
故选：A.
【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则MN+d的最小值为（ ）
A．1B．22C．332D．2
【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=MF−2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，MN+d取最小值，即可得解.
【解答过程】根据已知得到F2,0，圆A:x+12+y+42=1，所以A−1,−4，圆A的半径为1，
抛物线C的准线为l:x=−2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则ME=d+2，
由抛物线的定义可得d+2=ME=MF，
所以，MN+d=MN+MF−2≥AM+MF−1−2≥AF−1−2=2+12+−42−1−2=2.
当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，
因此，MN+d的最小值为3.
故选：D.
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=−2的距离为d，则AP+d的最小值为（ ）
A．1B．3C．10−1D．10+1
【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.
【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F1,0，准线方程为x=−1，
由抛物线的定义可得d=|PF|+1，
所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，
因为|AP|+|PF|≥|AF|=2−12+3−02=10
所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥10+1.
当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d的最小值为10+1.
故选：D.
【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为x−52+y−12=1，设P为抛物线上的点， Q为圆上的一点，则PF+PQ的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即PF=PN，从而得到PF+PQ=PN+PQ，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，QNmin=MN−r得到最小值.
【解答过程】

由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F4,0，准线方程为x=−4，过点P做准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，所以PF=PN，
所以PF+PQ=PN+PQ，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，
又因为Q在圆上运动，由圆的方程为x−52+y−12=1得圆心M5,1，半径r=1，所以QNmin=MN−r=8，
故选：C.
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F1,0，E−2,0，M2,2，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则PM+PF的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】设Px,y，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将PM+PF的最小值转化为M到直线l的距离，即可求得答案.
【解答过程】设Px,y，则PE的中点坐标为x−22,y2，代入y2=2x+2，可得y2=4x，
故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=−1为准线的抛物线，
由于220上的点m,2到原点的距离为22，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若∠FPQ=2π3，则PF=（ ）
A．13B．12C．33D．23
【解题思路】根据点m,2到原点的距离为22求出抛物线方程，再设点P坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.
【解答过程】因为点m,2到原点的距离为22，
所以m2+22=8，解得m=2，（负值舍），
将点(2,2)代入抛物线方程y2=2pxp>0，得4=4p，所以p=1，
所以C:y2=2x,F(12,0),l:x=−12.

由于抛物线关于x轴对称，不妨设P(x,2x),Q(−12,2x)，
因为|PQ|=|PF|=x+12，∠FPQ=2π3，
所以△PQF为等腰三角形，∠PQF=π6，
所以|QF|=3|PQ|=3(x+12)，
所以|QF|=1+2x=3(x+12)，
解得x=16或x=−12(舍)，
所以PF=16+12=23.
故选：D.
【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则1PQ+1MN=（ ）
A．22B．1C．2D．2
【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质PF=p1−csθ，QF=p1+csθ，MF=p1+sinθ，NF=p1−sinθ，结合三角的恒等变换的化简可得1PQ+1MN=12p，即可求解.
【解答过程】由抛物线C:y2=x得2p=1，则p=12，F(14,0)，
不妨设PQ的倾斜角为θ00)，则其焦点为F(p2,0)，
点E是C的准线与C的对称轴的交点，其坐标为E(−p2,0)，
点P在C上，设为P(x0,y0)，若∠ PEF=30∘，则tan∠ PEF=|y0|x0+p2=33，
且|PF|=x0+p2，则sin∠ PFE=sinπ−∠ PFE=|y0||PF|=33.
故选：B.
【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x轴上一定点Aa,0a>0，和抛物线y2=2pxp>0上的一动点M，若AM≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,p2B．0,pC．0,3p2D．0,2p
【解题思路】设Mx0,y0 x0≥0，表示出AM，依题意可得x02−2a−2px0≥0恒成立，分x0=0和x0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a−2p恒成立，即可得到2a−2p≤0，从而求出a的取值范围.
【解答过程】设Mx0,y0 x0≥0，则y02=2px0，所以AM=x0−a2+y02
=x0−a2+2px0=x02−2a−2px0+a2
=x0−a−px0+a2，
因为AM≥a恒成立，所以x02−2a−2px0+a2≥a2恒成立，
所以x02−2a−2px0≥0恒成立，
当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a−2p恒成立，
所以2a−2p≤0，则a≤p，又a>0，所以00）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知AF=5，BF=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
【解题思路】过A,B分别作C的准线的垂线交y轴于点M,N，根据抛物线定义可得AM=5−p2，BN=3−p2，再由S△AEFS△BEF=AEBE=AMBN即可求参数p，进而可得抛物线方程.
【解答过程】如图，过A,B分别作C的准线的垂线交y轴于点M,N，
则AM//BN，故AEBE=AMBN，
因为C的准线为x=−p2，所以AM=AF−p2=5−p2，BN=BF−p2=3−p2，
所以S△AEFS△BEF=12EFAEsin∠AEF12EFBEsin∠BEF=AEBE=AMBN=5−p23−p2=2，解得p=2，
故抛物线C的方程为y2=4x.
故选：B.
【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为该抛物线上不同的三点，且FA+FB+FC=0,O为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】设点A,B,C的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC的面积，借助向量等式即可求得答案.
【解答过程】设点A,B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，
FA=(x1−1,y1),FB=(x2−1,y2),FC=(x3−1,y3)，由FA+FB+FC=0，得x1+x2+x3=3，
于是S1=12|y1|,S2=12|y2|,S3=12|y3|，
所以S12+S22+S32=14(y12+y22+y32)=x1+x2+x3=3.
故选：A.
【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2−4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2SRt△PAD=PA，而PA=PD2−1，所以当PD最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【解答过程】如图，连接PD，圆D：x−22+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则S四边形PADB=2SRt△PAD=PA．
又PA=PD2−1，所以当四边形PADB的面积最小时，PD最小．
过点P向抛物线的准线x=−2作垂线，垂足为E，则PD=PE，
当点P与坐标原点重合时，PE最小，此时PE=2．
故S四边形PADBmin=PD2−1min=3．
故选：C.
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x2=8y上一点x0,y0到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍．则y0=（ ）
A．12B．1C．32D．2
【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点x0,y0到焦点的距离，根据题意得到关于y0的方程，求解即可．
【解答过程】已知拋物线的方程为x2=8y，可得p=4．
所以焦点为F0,2，准线为l：y=−2．
抛物线上一点Ax0,y0到焦点F的距离等于到准线l的距离，
即AF=y0+2，
又∵A到x轴的距离为y0，
由已知得y0+2=2y0，解得y0=2．
故选：D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，OP=43，则PF=（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设Pm,nm≥0，结合OP=43与抛物线方程，得到n=4，由焦半径公式得到答案.
【解答过程】抛物线C:x2=8y的焦点为F0,2，准线方程为y=−2，
设Pm,nm≥0，则m2=8n,m2+n2=43,，解得n=4或n=−12（舍去），
则PF=n+2=6．
故选：B．
3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C与x轴相切且与圆x2+y2=4外切，则圆C的圆心的轨迹方程为（ ）
A．x2=4y+4B．x2=−4y+4
C．x2=4y+4D．x2=4y−4
【解题思路】设圆心坐标为x,y，依题意可得x2+y2=2+y，化简整理即可得解.
【解答过程】设圆心坐标为x,y，依题意可得x2+y2=2+y，化简得x2=4y+4，
即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4y+4.
故选：C.
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若MF=6，则△MNF的面积为（ ）
A．8B．45C．55D．105
【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据MF=6得到M5,25，计算面积得到答案.
【解答过程】
因为抛物线y2=4x的焦点为F1,0，准线方程为x=−1，
所以MF=xM+1=6，故xM=5，
不妨设M在第一象限，故M5,25，
所以S△MNF=12×5−0×25=55.
故选：C.
5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】点P到直线l:4x−3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=−2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x−3y+12=0和准线l1:x=−2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.
【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F2,0，准线方程为l:x=−2，根据题意作图如下；

点P到直线l:4x−3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=−2的距离为|PB|，
由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，
所以点P到直线l:4x−3y+12=0和准线l1:x=−2的距离之和为|PF|+|PA|，
且点F2,0到直线l:4x−3y+12=0的距离为d=8−0+125=4，
所以d1+d2的最小值为4.
故选：D.
6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x−2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（ ）
A．12B．1C．2D．4
【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点2,1，从而可得答案.
【解答过程】因为圆(x−2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，
而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，
所以圆(x−2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，
且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，
因为圆(x−2)2+(y+1)2=4的圆心为2,−1，半径为2，
所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为2,1，
即抛物线x2=2py(p>0)经过点2,1，则4=2p，即p=2.
故选：C.
7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，动点M在C上，点B与点A1,−2关于直线l:y=x−1对称，则MFMB的最小值为（ ）
A．22B．12C．33D．13
【解题思路】根据对称性可得B(−1,0)，即点B为C的准线与x轴的交点，作MM′垂直于C的准线于点M′，结合抛物线的定义可知MFMB=MM′MB= csθ(∠MBF=θ)，结合图象可得当直线MB与C相切时，csθ最小，求出切线的斜率即可得答案.
【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,−2)，设B(m,n)，则n+2m−1=−1n−22=m+12−1，解得m=−1n=0，
即B(−1,0)，点B为C的准线与x轴的交点，
由抛物线的对称性，不妨设点M位于第一象限，作MM′垂直于C的准线于点M′，
设∠MBF=θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得MM′=MF，于是MFMB=MM′MB= csθ，
当直线MB与C相切时，θ最大，csθ最小，|MF||MB| 取得最小值，此时直线BM的斜率为正，
设切线MB的方程为x=my−1(m>0)，由x=my−1y2=4x消去x得y2−4my +4=0，
则Δ=16m2−16=0，得m=1，直线MB的斜率为1，倾斜角为π4，
于是θmax=π4，(csθ)min=22，所以|MF||MB|的最小值为22.
故选：A.
8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y2=2px过点A1,2，F为C的焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，则（ ）
A．C的准线方程为x=−2
B．△AFO的面积为1
C．不存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2
D．存在点P，使得△POF为等边三角形
【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A；求解三角形的面积判断B；利用|PF|=2．判断C；判断P的位置，推出三角形的形状，判断D．
【解答过程】由题意抛物线C:y2=2px过点A(1,2)，可得p=2，所以抛物线方程为C:y2=4x，所以准线方程为x=−1，A错误；
可以计算S△AFO=12×1×2=1，B正确；
当P(1,2)时，点P到C的焦点的距离为2，C错误；
△POF为等边三角形，可知P的横坐标为：12，当x=12时，纵坐标为：±2，
则12×3=32≠2，则△POF为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P不存在，所以D错误．
故选：B．
二、多选题
9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的焦点坐标是−1,0
B．抛物线C关于y轴对称
C．抛物线C的准线方程为x=1
D．抛物线C的焦点到准线的距离为4
【解题思路】依题意可得抛物线C的方程为y2=−4x，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可.
【解答过程】因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，
所以抛物线C的方程为y2=−4x，
则抛物线C的焦点坐标是−1,0，准线方程为x=1，故A、C正确；
抛物线C关于x轴对称，故B错误；
抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D错误.
故选：AC.
10．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线C:x2=2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t,1)时，|PF|=2，直线l与抛物线相交于A、B两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：x2=8y
B．抛物线的准线方程为：y=−1
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．AF+BF≥4
【解题思路】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，设出直线l方程，与抛物线方程联立，韦达定理，利用焦半径公式求出AF+BF，即可判断D.
【解答过程】对于A：当P运动到t,1时，PF=1+p2=2，故p=2，即抛物线为x2=4y，故A错误；
对于B：由x2=4y，故抛物线的准线方程为：y=−1，故B正确；
对于C：当直线l过焦点F时，设A为x0,y0，则FA=y0+p2=y0+1，
故以AF为直径的圆的半径为y0+12，又F0,1，故以AF为直径的圆的圆心坐标为x02,y0+12，
圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切，故C正确；
对于D：由题意直线l斜率存在，设l的方程为y=kx+m，联立y=kx+mx2=4y，
整理得x2−4kx−4m=0，Δ=−4k2+16m>0，即k2+m>0，
所以xA+xB=4k,xAxB=−4m，
所以yA+yB=k(xA+xB)+2m=4k2+2m，yAyB=xA24⋅xB24=m2，
所以AF+BF=yA+1+yB+1=yA+yB+2=4k2+2m+2，
不能确定什么时候最小，则D错误.
故选：BC.
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以AB为直径的圆过焦点F，QB=λBF（λ>0），则（ ）
A．若λ=3，则BF=34B．若∠AQF=3π8，则AF=2+2
C．△AFB的面积最小值为14D．△AQB的面积大于3−22
【解题思路】对于A，由抛物线的定义及△QBD∽△QEF即可；对于B，由抛物线的定义及△AQF≌△AQM即可；对于C，分类讨论B点所在象限，并由焦半径公式结合三角函数辅助角公式即可；对于D，结合C选项，分类讨论B点所在象限，可证QB≥BF，得S△AQB≥S△AFB即可.
【解答过程】对于A，设点B在准线l上的投影为D，准线l与y轴交于点E，
因为A,B两点在抛物线x2=2y上，根据抛物线的定义BD=BF，p=1，
又QB=3BF，
则|QBQF=BDEF=BF1=34，所以BF=34，故A正确；
对于B，设点A在准线l上的投影为点M，
因为以AB为直径的圆过焦点F，
所以AF⊥QF，且|AF|=|AM|，
所以△AQF≌△AQM，
又因为∠AQF=3π8，所以∠FAQ=∠MAQ=π8，
即∠MAF=π4，∠AFy=α=π4，
由焦半径公式AF=p1−csα=11−22=2+2，故B正确；
对于C，分两种情况：当点A,B都在第一象限，
设∠AFy=α，α∈0,π2，
由焦半径公式可得AF=11−csα，
BF=11−csπ2+α=11+sinα，
所以S△ABF=121−csα1+sinα，
令fα=1+sinα1−csα=1+sinα−csα−sinαcsα，
设t=sinα−csα=2sinα−π4∈−1,1，
且t2=1−sin2α，
所以S△ABF=121+t−1−t22=1t+12≥14，
当且仅当α=π2时取得最小值，
当点B在第二象限时，设∠AFO=β，β∈0,π2，
则AF=11+csβ，BF=11+sinβ，
所以S△ABF=121+csβ1+sinβ，
同理令t=sinβ+csβ=2sinβ+π4∈1,2，且t2=1+sin2β，
所以21+csβ1+sinβ=t+12≤3+22，
所以S△ABF≥13+22=3−221，
即QB>BF，
所以S△AQB>S△AFB≥3−22，
综上，△AQB的面积大于3−22，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,2)，则点A到抛物线准线的距离为 52 ．
【解题思路】将已知点代入抛物线方程求得p，结合抛物线定义求解即可.
【解答过程】由题意22=2p×2，解得p=1，所以抛物线的准线为x=−12，
故所求为2+12=52.
故答案为：52.
13．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线x2=16y的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，点A(2,0)，则|PF|−|PA|的最大值是 4 ．
【解题思路】作PM⊥准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得|PF|−|PA|=|PM|−|PA|≤AM，故当P，A，M三点共线时|PF|−|PA|取最大值.
【解答过程】根据抛物线方程x2=16y，可得F(0,4)，准线方程为y=−4，
作PM⊥准线l，M为垂足，又知A(2,0)，
由抛物线的定义可得|PF|−|PA|=|PM|−|PA|≤AM，
故当P，A，M三点共线时，|PM|−|PA|=|AM|取最大值，
最大值为|AM|=4．
故答案为：4.

14．（2024·上海·三模）过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交E于点A,B，交E的准线l于点C，AD⊥l，点D为垂足.若F是AC的中点，且AF=3，则AB= 4 .
【解题思路】作BE⊥l于点E，l与x轴交于点M，借助相似三角形的性质可得ADFM=ACFC，FMBE=FCBC，再结合所给数据与抛物线定义计算即可得解.
【解答过程】作BE⊥l于点E，l与x轴交于点M，如图，
则AD//FM//BE，
又AF=3且F是AC的中点，则有ADFM=ACFC=2，
即AD=2FM，又AD=AF=3，故FM=32，
又FMBE=FCBC，FC=AF=3，FB=BE，
故32FB=33−FB，即FB=1，则AB=3+1=4.
故答案为：4.
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为−2,0；
(2)准线为y=−1；
(3)过点A2,3；
(4)焦点到准线的距离为52．
【解题思路】（1）根据焦点位置得到p=4，则得到其标准方程；
（2）根据准线方程得到p=2，则得到其标准方程；
（3）利用待定系数，设出抛物线方程，代入所过得点即可；
（4）根据距离求出p=52，则得到其标准方程.
【解答过程】（1）由于焦点在x轴的负半轴上，且p2=2，∴p=4，
∴抛物线的标准方程为y2=−8x．
（2）∵焦点在y轴正半轴上，且p2=1，∴p=2，
∴抛物线的标准方程为x2=4y．
（3）由题意，抛物线方程可设为y2=mxm≠0或x2=nyn≠0，
将点A2,3的坐标代入，得32=m⋅2或22=n⋅3，
∴m=92或n=43．
∴所求抛物线的标准方程为y2=92x或x2=43y．
（4）由焦点到准线的距离为52，可知p=52．
∴所求抛物线的标准方程为y2=5x或y2=−5x或x2=5y或x2=−5y．
16．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知M是抛物线y2=2x上一点.
(1)设点A的坐标为2,0，求MA的最小值；
(2)若点M到直线x−y+1=0的距离最小，求出点M的坐标及距离的最小值.
【解题思路】（1）假设M的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出MA的函数，进而利用二次函数求解最小值；
（2）利用点到直线的距离公式表示出点M到直线x−y+1=0的距离，再根据二次函数求解最小值
【解答过程】（1）设点Mx0,y0，
|MA|2=x0−22+y0−02=x02−4x0+4+2x0=x0−12+3≥3，
所以当x0=1时，MAmin2=3，所以|MA|min=3.
（2）点M到直线x−y+1=0的距离d=|x0−y0+1|2=y02−2y0+222=y0−12+122，
当y0=1时，dmin=24，此时点M的坐标为12,1.
17．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.
(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
(2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？
(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
【解题思路】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程;
（2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解；
【解答过程】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系.如图所示

设抛物线的方程为x2=−2pyp>0，则
点B4,−5在抛物线上，代入方程得2p=165，
所以抛物线的方程为x2=−165y.
（2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米，
设Fa,−3.75，代入方程得a2=12，故a=23，则
EF=2a=43>4，
所以木船能通行；
（3）假设当水面上涨ℎ米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为4.25−ℎ，
把y=−4.25−ℎ代入方程，得x2=−165×−4.25−ℎ，
故x=1654.25−ℎ，由2x=4，得ℎ=3.
所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行.
18．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=−2的距离，
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若A(2,2)，求△PAF周长的最小值.
【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解；
（2）根据抛物线的定义可将问题转化成PA+PN′的最小值，根据三点共线即可求解.
【解答过程】（1）由题意知动点P到F(2,0)的距离与它到直线x=−2的距离相等，
所以动点P的轨迹为以F(2,0)为焦点、以直线x=−2为准线的抛物线，
因此动点P的轨迹方程为y2=8x.
（2）由题意知，焦点为F2,0,FA=02+22=2,
当PA+PF的值最小时，△PAF的周长最小.
设点P在抛物线的准线上的射影为N′，根据抛物线的定义，可知PN′＝PF ，
因此PA+PF的最小值即PA+PN′的最小值.
根据平面几何的知识可得，当N′，P，A 三点共线时，即可A作AN⊥准线于N,
与抛物线交于M′,此时N，M′，A 三点共线，
此时PA+PF=M′A+M′N=AN=2+2=4，
所以△PAF周长的最小值为2+4=6.
19．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点B3,2；②点B3,4中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点A−1,1与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线y=−4x−5与它到准线l的距离之和的最小值．
【解题思路】（1）（2）（3）数形结合，利用抛物线定义对所求距离之和进行转化为两点之间的距离，或点到直线的距离可得.
【解答过程】（1）过点B、P分别作准线的垂线，垂足为E、D.
选①：如图1，
由抛物线定义可得，PF+PB=PB+PD≥BE=3−(−1)=4，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为4.
选②：由图2可知，PF+PB≥BF=(3−1)2+42=25，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为25，
（2）如图2，
由抛物线定义可得，PA+PD=PA+PF≥AF=5
点P到点A−1,1与它到准线l的距离之和的最小值为5.
（3）记P到直线y=−4x−5的距离为d，F到直线y=−4x−5的距离为m.
由图2结合抛物线定义可知，则PD+d=d+PF≥m=4+517=417+8517.
所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值为.考点要求
真题统计
考情分析
(1)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程
(2)掌握抛物线的简单几何性质(范围 、对称性、顶点、离心率)
(3)了解抛物线的简单应用
2023年新高考I卷：第22题，12分
2023年新高考Ⅱ卷：第10题，5分
2023年全国乙卷（文数）：第13题，5分
2023年北京卷：第6题，4分
2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分
2024年北京卷：第11题，5分
抛物线是圆锥曲线中的重要内容，抛物线及其性质是高考数学的热点问题.从近几年的高考情况来看，主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、面积问题等内容，在选择、填空、解答题都可能出现，解题思路和解题步骤相对固定，强调通性通法，选择、填空题中难度不大，解答题中难度偏大，一般以第一小问考查抛物线的方程或轨迹问题，需要灵活求解.
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0