2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第17讲圆锥曲线中的阿基米德三角形(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第17讲圆锥曲线中的阿基米德三角形(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)，共119页。
（8类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
椭圆中的阿基米德三角形
设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦为 AB, 过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
性质 1: 弦 AB 绕着定点 Pm,0 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m 上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 kPQ=kAQ+kBQ.
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
双曲线中的阿基米德三角形
设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a,b>0 的弦为 AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
性质 1: 弦 AB 绕者定点 Pm,0 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m 上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 kPQ=kAQ+kBQ.
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C, 则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线
若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l 方程为: ax+by+c=0, 则定点的坐标为 Cca,−bpa.
底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 a38p.
若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 Q 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 p2
在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB
AF⋅BF=QF2.
抛物线上任取一点 I (不与 A,B 重合), 过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI, 则 △ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍
考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用
1．过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：
①点必在抛物线的准线上；
②；
③设、，则的面积的最小值为；
④；
⑤平行于轴.
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
1．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 ．
2．（2024高三下·江苏·专题练习）（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点Ax1,y1,Bx2,y2，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（ ）

A．若弦过焦点，则为直角三角形且
B．点P的坐标是
C．的边所在的直线方程为
D．的边上的中线与y轴平行（或重合）
考点二、阿基米德三角形之定点、定轨迹问题
1．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A．斜率为2B．斜率为C．恒过点D．恒过点
2．（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
3．（23-24高三上·江西·阶段练习）过点作轴的垂线，垂足为，且该垂线与抛物线交于点，，记动点的轨迹为曲线.
(1)试问为何种圆锥曲线？说明你的理由.
(2)圆是以点为圆心，为半径的圆，过点作圆的两条切线，这两条切线分别与相交于点，（异于点）.当变化时，是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.
4．（2023·广东广州·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，上、下顶点与一个焦点围成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点．
2．（2023·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的焦点分别分别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上任一点，作椭圆的两条切线，切点为两点，证明：直线过定点.
3．（2023·云南昆明·模拟预测）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．
(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．
考点三、阿基米德三角形之定值问题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
2．（2023高二下·海南·学业考试）已知椭圆：的离心率为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)过椭圆外一动点作椭圆的两条切线，，斜率分别为，，若恒成立，证明：存在两个定点，使得点到这两定点的距离之和为定值．
3．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知F是抛物线C：的焦点，以F为圆心，2p为半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且.
(1)求抛物线C和圆F的方程；
(2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
1．（2023·安徽黄山·二模）已知拋物线，为焦点，若圆与拋物线交于两点，且
(1)求抛物线的方程；
(2)若点为圆上任意一点，且过点可以作拋物线的两条切线，切点分别为.求证：恒为定值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，分别过、两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于、两点，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为线段的中点．
(1)证明：为定值；
(2)设直线的斜率为，证明：为定值．
3．（2023·河南·一模）已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点向抛物线作两条切线，切点分别为，若直线与直线交于点，且点到直线､直线的距离分别为.求证：为定值.
考点四、阿基米德三角形之面积问题
1．（2021高三·全国·竞赛）过椭圆上一点M作圆的两条切线，点A､B为切点过A､B的直线l与x轴､y轴分别交于点P､Q两点，则面积的最小值为 .
2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知抛物线：的焦点为，点是轴下方的一点，过点作的两条切线，且分别交轴于两点.
(1)求证：，，，四点共圆；
(2)过点作轴的垂线，两直线分别交于两点，求的面积的最小值.
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.
1．（21-22高二上·福建龙岩·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·内蒙古包头·一模）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为8．
(1)求抛物线M的方程；
(2)若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点（A在B的上方），求面积的最小值．
3．（23-24高三下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．
(1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标；
(2)若点为轴上一定点，且；
（ⅰ）求出点坐标；
（ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值．
考点五、阿基米德三角形之切线垂直
1．（2023·全国·高三专题练习）抛物级的焦点到直线的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证： .
1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
（1）若点坐标为，求切线的方程；
（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直.
2．（2024·广东汕头·三模）已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.
(3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.
考点六、阿基米德三角形之角度问题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的一条准线的方程为，点分别为椭圆的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2．
(1)求的标准方程；
(2)过上任一点作的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.
1．（2024·全国·二模）如图，过点的动直线交抛物线于两点.
(1)若，求的方程；
(2)当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.
考点七、阿基米德三角形之点坐标问题
1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知抛物线，圆是上异于原点的一点.
(1)设是上的一点，求的最小值；
(2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.
1．（2024·云南大理·模拟预测）已知点，点是圆上一动点，动点满足，线段的中垂线与直线交于点.
(1)求点的轨迹的标准方程；
(2)已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，若四边形的面积，求的最大值，并求出此时点的坐标.
2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过原点的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值；
(3)过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值.
考点八、阿基米德三角形之参数问题
1．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，求的值；
(3)设，求的值.
1．（2023高三·全国·专题练习）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，．
(1)求C的方程；
(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点.
6．（23-24高三下·浙江杭州·开学考试）已知抛物线的焦点为.设（其中，）为拋物线上一点.过作抛物线的两条切线，，，为切点.射线交抛物线于另一点.
(1)若，求直线的方程；
(2)求四边形面积的最小值.
7．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点.点是右准线上的一个动点（异于点），过点作椭圆的两条切线，切点分别为.已知.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，直线的斜率为，证明：.
8．（2022高三·全国·专题练习）设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，垂直轴的直线与椭圆相交于、两点，当的周长取最大值时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过圆上任意一点作椭圆的两条切线、，直线、与圆的另一交点分别为、,
①证明：；
②求面积的最大值．
9．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，点P到F的最小距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点向C作两条切线AM，AN，切点分别为M，N，直线AF与直线MN交于点Q，求证：点Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离．
10．（23-24高二下·上海·阶段练习）设抛物线的焦点为F,Q为上一点．已知点的纵坐标为，且点到焦点的距离是．点为圆上的点，过点作拋物线的两条切线，切点分别为，记两切线的斜率分别为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点的坐标为，求值；
(3)设直线与轴分别交于点，求的取值范围．
11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆的右顶点．，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值．
12．（23-24高三上·河南·开学考试）已知抛物线的焦点为，以为圆心作半径为1的圆，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，为上一点，过作圆的两条切线，分别交于另外两点，直线分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，求面积的最小值．
13．（23-24高三上·云南保山·期末）已知椭圆：（），且椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，现过点的直线分别交椭圆于，两点，且直线交线段于点，试判断与的大小，并说明理由.
14．（2024·广东广州·二模）已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点是切点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若点在直线上，记的面积为的面积为，求的最小值；
(3)证明：．
15．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆的离心率为，上､下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积为，过点作椭圆的两条切线，切点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求所在直线的方程；
(3)过点作直线交椭圆于两点，交直线于点，求的值.
16．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点引圆：的一条切线，切点为，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得的面积为？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
17．（22-23高三下·山西晋城·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上一动点，直线与直线交于点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作抛物线的两条切线，切点为，且，求面积的取值范围.
18．（2023·江西南昌·三模）已知椭圆经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，．
(1)证明：直线经过定点；
(2)若记、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程．
参考结论：为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为．
19．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点.
(1)求圆和抛物线的方程；
(2)过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．
20．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知直线与抛物线：交于，两点．是线段的中点，点在直线上，且垂直于轴．
(1)求证：的中点在上；
(2)设点在抛物线：上，，是的两条切线，，是切点．若，且位于轴两侧，求证：．
21．（2024高三·全国·专题练习）左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（2024·安徽·二模）已知点在椭圆：的外部，过点作的两条切线，切点分别为，．
(1)①若点坐标为，求证：直线的方程为；②若点的坐标为，求证：直线的方程为；
(2)若点在圆上，求面积的最大值．
23．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.
24．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．
25．（2024·全国·模拟预测）已知动圆过点0,1，且与直线相切于点，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作曲线的两条切线分别与曲线相切于点，与轴分别交于两点.记，，的面积分别为、、．
（i）证明：四边形为平行四边形；
（ii）证明：成等比数列.
1．（全国·统考高考真题）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
2．（辽宁·高考真题）如图，抛物线
（I）；
（II）
圆锥曲线中的阿基米德三角形
（高阶拓展、竞赛适用）
（8类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
椭圆中的阿基米德三角形
设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦为 AB, 过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
性质 1: 弦 AB 绕着定点 Pm,0 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m 上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 kPQ=kAQ+kBQ.
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
双曲线中的阿基米德三角形
设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a,b>0 的弦为 AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
性质 1: 弦 AB 绕者定点 Pm,0 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m 上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 kPQ=kAQ+kBQ.
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C, 则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线
若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l 方程为: ax+by+c=0, 则定点的坐标为 Cca,−bpa.
底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 a38p.
若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 Q 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 p2
在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB
AF⋅BF=QF2.
抛物线上任取一点 I (不与 A,B 重合), 过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI, 则 △ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍
考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用
1．过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：
①点必在抛物线的准线上；
②；
③设、，则的面积的最小值为；
④；
⑤平行于轴.
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.
【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为.
证明如下：
由于点在抛物线上，则，
联立，可得，即，，
所以，抛物线在其上一点处的切线方程为.
如下图所示：
设、，设直线的方程为，
联立，消去得，
由韦达定理可得，，
对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
联立，解得，所以点的横坐标为，
即点在抛物线的准线上，①正确；
对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，，
所以，，②正确；
对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时；
当不与轴垂直时，直线的斜率为，
直线的斜率为，，则.
综上，，④正确；
对于命题③，，
，
所以，，
当且仅当时，等号成立，③错误；
对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误.
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点的坐标，进而得解.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上，
所以点，直线的斜率为，
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即,
故选：C．
1．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 ．
【答案】
【分析】先求出A，B两点的坐标，然后再求出过A，B两点的切线方程，从而可求出直线l与两条切线所围成的三角形的面积，进而可求出弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积
【详解】解：由，得或，
不妨设A (4，4)，B (﹣4，4)，
由得，所以过点A，B的切线的斜率分别为
所以在该两点处的抛物线的切线方程分别y＝2x﹣4，y＝﹣2x﹣4，
从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，
故弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为．
故答案为：
【点睛】此题考查抛物线的几何性质的应用，考查曲线的切线的求法，属于基础题.
2．（2024高三下·江苏·专题练习）（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点Ax1,y1,Bx2,y2，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（ ）

A．若弦过焦点，则为直角三角形且
B．点P的坐标是
C．的边所在的直线方程为
D．的边上的中线与y轴平行（或重合）
【答案】ACD
【分析】设，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得，A正确；写出切线方程，联立求出点坐标，得B错误；用两点坐标表示出，写出直线方程，并化简可得C正确；设为抛物线弦的中点，立即得D正确.
【详解】由题意设，
由，得，则，
所以，
若弦过焦点，显然直线斜率存在，设所在直线为，联立，
得，
则，
所以，
所以，故A正确；
以点A为切点的切线方程为，以点B为切点的切线方程为，
联立消去y得，
将代入，
得，
所以，故B错误；
设N为抛物线弦的中点，N的横坐标为，因此直线平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确；
设直线的斜率为，
故直线的方程为，
化简得，故C正确.
故选：ACD.
考点二、阿基米德三角形之定点、定轨迹问题
1．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A．斜率为2B．斜率为C．恒过点D．恒过点
【答案】D
【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点.
【详解】设，则，，
由于，故过点的切线方程为，
即，即，
同理可得过点的切线方程为，
设，过点的两切线交于点，
故，整理得，
同理，整理得，
故直线的方程为，
斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确.
故选：D
2．（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见详解；定点坐标为
【分析】（1）根据已知条件，设直线的方程为，设Ax1,y1,Bx2,y2，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，即得答案；
（2）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得到韦达定理，利用导数的几何意义，设出切线与的方程，两者联立，可求出，即可证得直线过定点，并得出该定点坐标.
【详解】（1）
由已知，，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，
设的方程为，Ax1,y1,Bx2,y2,
联立，得，则，
则，
所以，
解得，
故抛物线E的方程为：.
（2）设直线的方程为，，，
联立，得，
，即，
所以，，
令，当时，
可化为，则，
则在处的切线的方程为：，
即，
同理可得切线的方程为：，
联立与的方程，解得，
所以，则，满足，
则直线的方程为，
所以直线过定点，该定点坐标为.
【点睛】方法点睛：直线和抛物线的位置关系中，证明直线过定点问题，一般是设出直线方程，利用根与系数的关系化简，求得参数之间的关系式，再对直线分离参数，求得定点坐标，进而证明直线过定点.
3．（23-24高三上·江西·阶段练习）过点作轴的垂线，垂足为，且该垂线与抛物线交于点，，记动点的轨迹为曲线.
(1)试问为何种圆锥曲线？说明你的理由.
(2)圆是以点为圆心，为半径的圆，过点作圆的两条切线，这两条切线分别与相交于点，（异于点）.当变化时，是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)椭圆，理由见解析
(2)存在定点满足题意
【分析】（1）设，进而表示出，，结合即可求得结果.
（2）由直线与圆相切可得，设切线，的斜率分别为，，由韦达定理得，设Mx1,y1，Nx2,y2，联立切线与圆的方程可求出点M、点N的坐标，进而求出，由点斜式方程可求出直线的方程，进而可求得定点.
【详解】（1）为椭圆.
理由：如图所示，

设，则，，
则，.
因为，所以，所以为椭圆.
（2）存在定点满足题意.
理由：由题可知切线的斜率存在，如图所示，

设切线方程为，圆，
则，整理得.
设切线，的斜率分别为，，则，是上述方程的两根，由韦达定理得.
设Mx1,y1，Nx2,y2，
由得.
因为，所以，.
同理可得，.
因为，所以，，
所以，
所以直线的方程为，
即，整理得.
令，得，故存在定点满足题意.
【点睛】求解直线或曲线过定点问题的方法指导
（1）把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式，则直线必过定点；若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点．
4．（2023·广东广州·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.
【答案】(1)抛物线的方程为，圆的方程为
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的焦点到准线的距离可得的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确定圆心与半径，即可得圆的方程；
（2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得所满足的方程.
【详解】（1）解：由题设得，
所以抛物线的方程为.
因此，抛物线的焦点为，即圆的圆心为
由圆与轴相切，所以圆半径为，
所以圆的方程为.
（2）证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则.
故设过点且与圆相切的切线方程为，即.
依题意得，整理得①；
设直线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故，②，
由得③，
因为点，
则④，⑤
由②，④，⑤三式得：
，
即，
则，即，
所以点在圆.
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，上、下顶点与一个焦点围成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件，求得，即可求得椭圆方程；
（2）先证明过椭圆上一点的切线方程的形式，再求得过点的切线方程，从而得到直线的方程，即可证明其恒过的顶点.
【详解】（1）根据题意可得：，又，
解得，故椭圆方程为：.
（2）下证过椭圆上一点作椭圆的切线，其切线方程为：.
当且，，求导得：；
同理可得，当且时，，所以，当时，；
根据导数的几何意义可得，过点的切线的斜率为，
故切线方程为：，即，
又，故切线方程为：，即证.
设坐标为，
故可得过点切线方程为：，又其过点，
则；同理可得，
故直线方程为，其恒过定点1,0.
【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键是证明过椭圆上一点作椭圆的切线，其切线方程为：，本题利用导数的几何意义求得斜率，是解决问题的关键.
2．（2023·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的焦点分别分别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上任一点，作椭圆的两条切线，切点为两点，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得，设椭圆的方程为，又可得为线段的垂直平分线，表示出直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，求出，即可得解；
（2）设，在点处的切线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元，由，即可得到点处的切线方程，同理可得点处切线方程，从而得到直线的方程，即可得解.
【详解】（1）设，则，所以，，
设椭圆的方程为，即，
，
，为正三角形，
过且垂直于的直线与交于两点，为线段的垂直平分线，
直线的斜率为，斜率的倒数为，
直线的方程，代入椭圆方程，
整理化简得到，
所以，，，
，
，所以，
故椭圆的方程为.
（2）设，在点处的切线的方程为，
由，消去整理得，
则，
整理得，
解得
故在点处的切线方程为，整理可得.
当不存在时，切线方程为满足上述结论，
设坐标为，同理可得，
设，则，
所以的直线方程为，
所以，
由题意，解得，故直线过定点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
3．（2023·云南昆明·模拟预测）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．
(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．
【答案】(1)或；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）将代入椭圆方程计算得点的坐标，再写出极线方程即可；
（2）写出点处的极线方程，先讨论的情况，可得处的极线就是过点的切线；再讨论的情况，将椭圆方程与极线方程联立，消元得关于的一元二次方程，计算得判别式，即可证明；
（3）分别写出过点，N的切线方程，从而可得割线的方程，再写出切点弦的方程，根据割线过点，代入割线方程计算，从而可得，，三点共线.
【详解】（1）由题意知，当时，，所以或．
由定义可知椭圆在点处的极线方程为，
所以椭圆在点处的极线方程为，即
点处的极线方程为，即
（2）因为在椭圆上，所以，
由定义可知椭圆在点处的极线方程为，
当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线．
当时，极线方程为．
联立，得．
．
综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线；
（3）设点，，，
由（2）可知，过点的切线方程为，
过点N的切线方程为．
因为，都过点，所以有，
则割线的方程为；
同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为．
又因为割线过点，代入割线方程得．
所以，，三点共线，都在直线上．
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
考点三、阿基米德三角形之定值问题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值0.
【分析】（1）先设点，然后求出切线解析式，根据即可求出结果.
（2）设直线的方程,通过和抛物线联立求出韦达定理，同理求出和抛物线联立的韦达定理，然后代入即可.
【详解】（1）设切点，则在点处切线斜率为，
所以以为切点的切线方程为.
因为切线过点，所以，同理，
所以是方程的两个根，则.
又因为，
所以，即.
又因为，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）
由题意，斜率都存在且不为0，设直线的方程为.
联立直线和抛物线的方程，得，所以.
设，则，同理，
所以
所以，
所以等于定值0.
2．（2023高二下·海南·学业考试）已知椭圆：的离心率为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)过椭圆外一动点作椭圆的两条切线，，斜率分别为，，若恒成立，证明：存在两个定点，使得点到这两定点的距离之和为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点，联立的方程即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而得到，为关于的方程的两根，利用韦达定理可得，进而得点在椭圆上运动，由椭圆的定义即可求解.
【详解】（1）设的半焦距为，
则由离心率，得，所以，
因为经过点，所以，即，
得，．
所以的方程为．
（2）设，直线的方程为，即，
记，则的方程为，
代入椭圆的方程，消去，得．
因为直线，与椭圆相切，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以，为关于的方程的两根，
从而，
整理可得，所以点在椭圆上运动，
所以存在两个定点，，使得，为定值．
3．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知F是抛物线C：的焦点，以F为圆心，2p为半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且.
(1)求抛物线C和圆F的方程；
(2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)抛物线C的方程为，圆F的方程为
(2)是，16
【分析】（1）根据题意可得圆F的方程为，联立方程求得A，B的坐标，即可求得结果；
（2）利用导数求切线PM，PN，即可得直线MN的方程，联立方程利用韦达定理运算整理.
【详解】（1）由题意可得：抛物线C：的焦点为，则圆F的方程为，
联立方程，消去x得，解得或（舍去），
将代入得A，B的坐标分别为，.
故，所以，
所以抛物线C的方程为，圆F的方程为.
（2）是，理由如下：
设，则，
因为抛物线的方程为，则，
所以切线PM的方程为，即，①
同理切线PN的方程为，②
则由①②过，则，
所以直线MN的方程为，
联立方程，消去y得，
则，，
所以
，
又在圆F上，则，即，
故为定值16.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤：
(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；
(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
(3)得出结论．
1．（2023·安徽黄山·二模）已知拋物线，为焦点，若圆与拋物线交于两点，且
(1)求抛物线的方程；
(2)若点为圆上任意一点，且过点可以作拋物线的两条切线，切点分别为.求证：恒为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆的弦长求解，可得，代入抛物线方程即可求解，
（2）令，写出点处的切线方程，与抛物线联立，利用得到，同理得到，再写出直线方程，将其与抛物线联立得到韦达定理式，再结合抛物线定义即可证明.
【详解】（1）由题意可知，半径为，
由圆的圆心以及抛物线的焦点均在在坐标轴轴，故由对称性可知：轴于点，
在直角三角形中，,
因此 故，将其代入抛物线方程中得，
故抛物线方程为：
（2）令，
抛物线在点处的切线方程为,
与联立得①
由相切得，
代入①得
故在点处的切线方程为，即为
同理：点处的切线方程为，
而两切线交于点，
所以有，
则直线的方程为:，
由得,所以
于是
，
又点在圆上，
所以,即.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于设切点，写出切线方程，然后将其与抛物线方程联立，再利用得到相关等式，再得到直线的方程，将其与抛物线联立，得到韦达定理式，最后利用抛物线定义写出线段长乘积表达式，利用点在圆上进行整体代入即可.
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，分别过、两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于、两点，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为线段的中点．
(1)证明：为定值；
(2)设直线的斜率为，证明：为定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）设，则，写出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，写出抛物线在点、处的切线方程，求出点、的坐标，可得出直线的方程，再将直线的方程与抛物线的方程联立，可求出MN，进而可求出PQ，然后结合韦达定理可求得的值；
（2）求出点、的坐标，可求得的表达式，由此可求出的值.
【详解】（1）证明：设，则，易知抛物线的焦点为F1,0，
设直线的方程为，设点Ax1,y1、Bx2,y2，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
接下来证明抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，即，即，
所以，直线与抛物线只有唯一的公共点，
所以，的方程为，同理可知，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，同理可得点，
所以，直线的方程为，即，
设点、，联立可得，
则，由韦达定理可得，，
所以，，
同理可得，
所以，
.
故为定值.
（2）解：设点，则，所以，，
即点，同理可得点，
所以，，
所以，.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
3．（2023·河南·一模）已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点向抛物线作两条切线，切点分别为，若直线与直线交于点，且点到直线､直线的距离分别为.求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得，求出，即可得解；
（2）方法一：设，求导，再根据导数的几何意义分别求出抛物线在点处和在点处的切线方程，再根据两条切线均过点，从而可求得切点坐标，在证明平分，即可得出结论.
方法二：设切点为，求导，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立方程，根据求出切点坐标，从而可得直线､直线的方程，再结合点到直线的距离公式即可得证.
【详解】（1）因为，由题意可得，
解得，所以抛物线的标准方程为；
（2）方法一：设，由，得，
所以抛物线在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
因为两条切线均过点，所以，
所以点的坐标均满足，
所以，即，解得或，
不妨设，则，
易知，所以，
所以，
，
所以，所以，所以平分，
所以点到直线的距离等于点到直线的距离，
所以，为定值，得证.
方法二：设切点为，由，得，
所以过点的抛物线的切线方程为，
联立方程，消去并整理得，
则，解得或，
不妨设，则，
所以直线的方程为，
易知，所以直线的方程为，
由，得，即，
易得直线的方程为，直线的方程为，
所以点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以，则，为定值，得证.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据两切线过同一点求出切点，再证明平分，或者分别求出直线､直线的方程，结合点到直线的距离公式计算.
考点四、阿基米德三角形之面积问题
1．（2021高三·全国·竞赛）过椭圆上一点M作圆的两条切线，点A､B为切点过A､B的直线l与x轴､y轴分别交于点P､Q两点，则面积的最小值为 .
【答案】
【详解】解析：设，则l的方程为，
，
，当且仅当时等号成立，
故答案为：.
2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知抛物线：的焦点为，点是轴下方的一点，过点作的两条切线，且分别交轴于两点.
(1)求证：，，，四点共圆；
(2)过点作轴的垂线，两直线分别交于两点，求的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在取定点Px0,y0后，考虑过该点的切线斜率满足的二次方程，然后证明一个垂直关系，即可得到共圆；
（2）从斜率满足的二次方程出发，可以对的斜率使用韦达定理，并可以使用表示的面积，二者结合后可将的面积表示成函数形式，再使用不等式证明，最后给出取到等号的例子即可.
【详解】（1）
设Px0,y0，若过点且斜率为的直线与抛物线相切，则联立后得到的关于的方程只有一个实数根.
此即关于的二次方程的判别式等于零，即，得.
另一方面，该直线与轴交于点，而该点与的连线的斜率为.
所以，过点作抛物线的切线后，该切线与轴的交点到焦点和点的连线互相垂直.
这就说明，从而，所以，，，四点共圆.
（2）由的定义知其方程为，设的斜率分别为，则根据第1小问的解析，知都是关于的方程即的根.
故，.
由于均过点Px0,y0，故其方程分别为和.
在中令，得，从而得到，同理.
所以.
由，可设，则，进而得到
.
所以
（这里使用了不等式）
.
另一方面，当时，的斜率分别是，可求得，.
从而此时，故.
综上，的面积的最小值是.
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，当时，存在两个点，使得为直角三角形，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，再利用面积的最大值可得出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）证明出抛物线在点Ax1,y1处的切线方程为，可得出抛物线在点处的切线方程，联立两切线方程，求出点的坐标为，设，其中，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）解：当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当时，由题意可知，存在两个点，使得为直角三角形，
设点，其中，则，可得，
且，，
则，可得，
由题意可知，，则，
当点为椭圆短轴的顶点时，到轴的距离最大，此时，的面积取最大值，
即，则，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）解：设点Ax1,y1、Bx2,y2，先证明出抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，即，解得，
所以，抛物线在点处的切线方程为，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，
所以，，则，即点，
因为点在轴左侧，则，即，
因为点在椭圆上，则，
设，其中，则，，
所以，
，
因为，则，则，
所以，，
因此，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
1．（21-22高二上·福建龙岩·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值.
【详解】因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，则，
所以，，当且仅当时，等号成立.
故选：A.
2．（2022·内蒙古包头·一模）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为8．
(1)求抛物线M的方程；
(2)若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点（A在B的上方），求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据条件确定F与圆上点的距离的最大值为，从而求得，可得答案;
（2）设点，，联立方程，根据根与系数的关系式，求出弦长，再利用导数表示出QA，QB的方程，进而表示出点Q的坐标，求出点Q到直线AB的距离，从而表示出，结合二次函数的知识可求得答案.
【详解】（1）由题意知，，圆C的半径为，所以，
即，解得，所以抛物线M的方程为．
（2）设，，
直线AB的方程为，联立方程组，
消去x，得，
则，，．
所以，
因为，所以或，则或，
所以切线QA的斜率为，其方程为，即，
同理切线QB的斜率为，其方程为．
联立方程组,解得,即点Q的坐标为，
因为点Q在圆C上，所以，且，，
即，．满足判别式的条件．
点Q到直线AB的距离为，所以，
又由，得，
令，则，且，
因为在区间上单调递增，所以当时，t取得最小值4，
此时，所以面积的最小值为16．
【点睛】本题考查了抛物线方程的求法以及和直线的位置关系中的三角形面积问题，综合性较强，解答时要有清晰的解答思路，即明确问题的解决是要一步步向表示出三角形QAB的面积靠拢，难点在于繁杂的计算，要十分细心.
3．（23-24高三下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．
(1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标；
(2)若点为轴上一定点，且；
（ⅰ）求出点坐标；
（ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析，定点为；
(2)（ⅰ）点坐标为，（ⅱ）.
【分析】（1）根据题意求出抛物线方程，设直线方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系，结合，求解即可；
（2）（ⅰ）由题意可知，联立方程，即可求出点坐标；（ⅱ）先求直线过定点，利用三角形面积公式及二次函数最值问题即可求解.
【详解】（1）证明：由题意知F0,1，所以，所以抛物线，
设Ax1,y1，Bx2,y2，由条件可设直线方程，
联立，得，
则，，
由，得，因为，，
所以，解得或，
因为是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，所以，
所以，又，所以，
所以直线方程，
所以直线恒过一定点，且定点坐标为；
（2）（ⅰ）由小问（1）可知直线方程，，，
设轴上的定点，由，
得为的角平分线，即直线与直线关于轴对称，
则，即，
所以，化简可得，
因为位于轴两侧不对称，所以，所以，
因为，所以，
所以点坐标为.
（ⅱ）设，，，，，
对求导得，，
则抛物线在的切线方程为，
同理抛物线在的切线方程为，
又切线过，所以，，
所以直线的方程为，即，
整理得，所以直线过定点，
点到的距离，
联立方程，得，
，，，
所以弦长，
所以的面积，
所以当时，即时，
的面积的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题求解答关键有两个：一是把角相等转化为斜率和为零；二是利用弦长公式得出三角形的底，利用点线距得出三角形的高，结合面积公式得出面积表达式.
考点五、阿基米德三角形之切线垂直
1．（2023·全国·高三专题练习）抛物级的焦点到直线的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证： .
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的定义求出即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理，设切线的斜率为，切线的斜率为，点坐标为，利用已知条件对函数求导得出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用，即可得出结论.
【详解】（1）由题意知：，
则焦点到直线的距离为：，
所以抛物线的方程为：；
（2）证明：
把直线代入消得：，
又，
利用韦达定理得，
由题意设切线的斜率为，切线的斜率为，点坐标为，
由（1）可得：，
则，
所以，
则切线的方程为：，切线的方程为：，
则，
利用韦达定理化简整理得：，
把代入整理得：
，
则，
，
则
【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
（1）若点坐标为，求切线的方程；
（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直.
【答案】（1）和；（2）证明见解析.
【解析】（1）设过点的切线方程为，与抛物线的方程联立，由根的判别式为零求得切线的斜率，由此可求得切线的方程．
（2）设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，与抛物线的方程联立，由根的判别式为零求得切线的斜率间的关系，根据直线垂直的条件可证得切线和互相垂直.
【详解】解：（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为，
点坐标为，过点的切线方程为，
联立方程，消去，得，
由，解得，
所以切线的方程分别为和，
即切线方程分别为和；
（2）设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，
联立方程，消去，得，
由，得，记关于的一元二次方程的两根为，
则分别为切线的斜率，由根与系数的关系知，
所以切线和互相垂直.
【点睛】方法点睛：求抛物线的切线方程的方法：
方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．
2．（2024·广东汕头·三模）已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.
(3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在.
【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式求解即得.
（3）设出双曲线的两条切线方程，与双曲线方程联立，结合判别式求出两条切线交点的轨迹方程，再判断与圆的位置关系即可得解.
【详解】（1）由对称性知，双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）得，设，
显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去x得，
显然，，
则，即，
所以.
（3）圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0，
设双曲线的两条切线分别为，
将代入消去得：，
由得，解得，
因此，设两条切线的交点坐标为，
则，即有，且，
即，
于是是方程的两根，
而，则，即，从而两条切线们交点的轨迹为圆，
而的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为3，
显然，满足，即圆与圆相交，
所以圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
考点六、阿基米德三角形之角度问题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的一条准线的方程为，点分别为椭圆的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2．
(1)求的标准方程；
(2)过上任一点作的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构造关于的方程组，解出即可；
（2）画出草图，分类讨论，当位于点处时，切线与轴垂直，不合题意，设切线的方程为，与椭圆联立，由得，在上，知道，得到，同理得切线的方程为，进而得到直线的方程为，再与椭圆联立，借助韦达定理，后将四边形面积表示出来，即，借助对勾函数单调性求最值，再借助和角正切公式计算即可.
【详解】（1）由题意得，解得所以，
所以的标准方程为．
（2）如图，取上任意一点M4,t，设，
当位于点处时，切线与轴垂直，不合题意，故．
设切线的方程为①，
联立
整理得，
由，得．
因为在上，所以，
故，
代入①式，整理得，同理得切线的方程为．
因为两条切线都经过M4,t，所以，
所以直线的方程为．
联立整理得，
所以②．显然与异号．
由题意知，所以．
设，则，
将②式代入并整理，得．
因为，所以易知在上单调递增，所以当时，有最小值，即有最大值，为36．所以当时，四边形的面积最大，最大面积为6．
此时直线的方程为，故直线与轴垂直．
设与的交点为，显然是椭圆的右焦点，
所以，
所以，
所以．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【答案】(1)
(2)猜想，证明见解析
【分析】（1）由椭圆，可得，的坐标，从而可得动点到定直线 与定点的距离相等，由此可得轨迹的方程；
（2）猜想，先求切线AP、BP的方程，联立可得P的坐标，进一步可得、、的坐标，利用向量的夹角公式，可得，从而可得结论.
【详解】（1）解：，，
椭圆半焦距长为，，，
，
动点到定直线与定点的距离相等，
动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，
轨迹的方程是；
（2）解：猜想
证明如下：由（1）可设，
，
，则，
切线的方程为：
同理，切线的方程为：
联立方程组可解得的坐标为，
在抛物线外，
，，
同理
1．（2024·全国·二模）如图，过点的动直线交抛物线于两点.
(1)若，求的方程；
(2)当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）求出直线的方程，与抛物线方程联立，结合向量垂直的坐标表示求出抛物线方程.
（2）设直线的方程，并与抛物线方程联立，再求出切线方程并联立求出点，由已知结合斜率建立方程，利用导数探讨方程有唯一实根即可.
【详解】（1）由，得直线的斜率为，方程为，即，
由消去得：，设，
则，由，得，解得，
所以抛物线的方程是.
（2）由（1）知，抛物线的方程是，
直线不垂直于轴，设直线，显然，
由消去并整理得，，
则，
设抛物线在处的切线方程为，由消去得：
，由，得，
于是抛物线在处的切线方程为，
同理抛物线在处的切线方程为，设点，
由，，得，，
即点，于是直线的斜率分别为，
若存在直线，使得，则，
设直线的倾斜角分别为，则，
由，得或，因此，
即，则，
，
整理得，
化简得，令，
求导得，显然，
即恒成立，则函数在R上单调递增，而，
因此存在唯一，使得
所以存在唯一的直线，使得.
【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.
考点七、阿基米德三角形之点坐标问题
1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知抛物线，圆是上异于原点的一点.
(1)设是上的一点，求的最小值；
(2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）设，圆心，半径为，
，
所以当时，有最小值，
所以的最小值；
（2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为，
所以切线的方程为：，
由圆的切线性质可知：
，
设，
，是方程的两个不相等实根，
因此，即，且，
所以由圆的切线性质知：，
，
所以的坐标为或.
【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理、一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
1．（2024·云南大理·模拟预测）已知点，点是圆上一动点，动点满足，线段的中垂线与直线交于点.
(1)求点的轨迹的标准方程；
(2)已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，若四边形的面积，求的最大值，并求出此时点的坐标.
【答案】(1)
(2)最大值为，点的坐标为.
【分析】（1）连接，，确定，计算，确定轨迹为椭圆，排除特殊点得到答案.
（2）确定切线方程，得到，得到直线的方程为，计算，计算面积得到，得到，换元，根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】（1）如图所示：连接，，
，为线段的中点，是线段的垂直平分线，故，

因为点在直线上，所以.
由椭圆的定义可知，点轨迹是以为焦点，以4为长轴长的椭圆，
即，解得，
当点坐标为时，与重合，不符合题意，
故的标准方程为；
（2）设，
当时，，，
设切点为，则切线方程为，
又，整理得到切线方程为，
同理可得时成立，
曲线点Mx1,y1处的切线的方程为，
又因为切线过，所以.
同理可得，故直线的方程为.
所以.

设点到直线的距离分别为，
因为直线的方程为，所以.
又因为在直线的两侧，
故，
由于点的坐标满足方程，即有：，
两式相减得：，
故可得：，
所以，
令，则，
令，函数在上单调递增，
故可知的最小值为4，当且仅当时，等号成立，此时，
故，其最大值为，此时点的坐标为.
【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的轨迹方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法结合函数的单调性计算最值是解题的关键，此方法是常考的数学方法，需要熟练掌握.
2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过原点的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值；
(3)过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据离心率及过点坐标得到方程组，求出、，即可得解；
（2）设，（且），则，利用斜率公式及计算可得；
（3）设，两点处的切线方程为，，依题意，联立直线与双曲线方程，由得到，同理可得，再由满足两直线方程，求出点轨迹方程，即可得解.
【详解】（1）依题意可得，解得，所以双曲线方程为；
（2）根据对称性，不妨设在双曲线的右支，
设，（且），则，，
所以，为定值.
（3）依题意可得，两点处的切线的斜率都存在且不为，
设，两点处的切线方程为，，依题意，
由，消元整理得，
则且，整理得到，
同理可得，
又点在两切线上，所以，所以，
，
所以、为关于的方程的两根，
即的两根，
所以，即，
所以点的轨迹方程为，所以.
【点睛】关键点点睛：本题第三问利用整体思想、设而不求，计算出动点的轨迹方程.
考点八、阿基米德三角形之参数问题
1．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用抛物线的准线求标准方程即可；
（2）设直线方程与坐标，根据抛物线的切线方程可求得坐标，再含参表示直线，联立抛物线方程结合弦长公式可求MN,PQ，根据焦点弦的性质计算即可.
【详解】（1）因为抛物线E的准线方程为：，设，则，所以，
故抛物线的标准方程为；
（2）设，
联立抛物线有，
下面先求抛物线在点处的切线方程，
当时，设该切线方程为，
与抛物线方程联立有，
则，
又，
即，则，
则，
当时，切线方程为x=0，满足上式，
所以抛物线在点处的切线方程为，
所以抛物线E在处的切线方程为，
在B处的切线方程为，所以，
则，
直线分别与抛物线方程联立有，
设，则，
由弦长公式知，
同理有，
又，所以，
则,
即，
所以存在实数，使得恒成立.
【点睛】思路点睛：设A、B坐标利用切线方程可含参表示C、D坐标，结合点斜式可表示直线，再根据弦长公式计算MN,PQ，计算其倒数和是否为定值即可.
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，求的值；
(3)设，求的值.
【答案】(1)
(2)0
(3)1
【分析】（1）利用导数的几何意义可求出，，结合抛物线的定义进行求解即可；
（2）设方程为，联立和抛物线方程，由根与系数的关系可求出，同理可得，表示出代入化简即可得出答案；
（3）联立直线与抛物线，利用弦长公式求出和，即可证明点共圆，即可求出的值.
【详解】（1）设切点，
因为，所以，，
以点为切点的切线的斜率为，
以点为切点的切线的方程为，
∵切线过点，所以，
∴，同理， ，
所以为方程的两根，
∴，，
，
∴，，∵
∴ ，∴抛物线方程为.
（2）设方程为，联立和抛物线方程，得
∴， ，
解得：，
设，，，
∴，同理，.
∴.
∴.
（3），
∴，
由（2）可得，，
同理，
∴，∴点共圆，
，
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1．（2023高三·全国·专题练习）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ．
【答案】
【详解】设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】设，设出过点过处的切线方程与抛物线联立，由，得出其斜率，化简点过处的切线方程，同理得出点过处的切线方程,根据题意得出点的坐标，结合点到直线的距离公式可得出答案.
【详解】设，设过处的切线方程是，
联立，得，
由题意，即，
则在处的切线方程为，
同理，处的切线方程为，
设交点的坐标为，点在两条切线上，
所以，，则直线的方程是.
又过其焦点，易知交点的轨迹是，所以，：，所以交点到直线的距离是，
所以当时距离最小值为2.
故选：D
3．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的方程，联立抛物线方程，得到两点坐标，求出过点的切线方程，联立后得到，得到答案.
【详解】依题意，，设直线，联立，
则，解得或，不妨设，
设直线方程为，联立得，
，，
，
解得，
故直线的斜率，故直线，
同理可得直线的斜率，故直线，
联立，解得，
即，则.
故选：C.
4．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，．
(1)求C的方程；
(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设Ax1,y1，Bx2,y2，直线方程联立抛物线方程，利用韦达定理表示，结合抛物线的定义即可求解；
（2）利用导数的几何意义求出直线PA、PB方程，进而求得，设，求得、，结合弦长公式表示与，即证，由（1），化简计算即可证明.
【详解】（1）设Ax1,y1，Bx2,y2，，
联立，得，
则，，，
则，故，
所以C的方程为．
（2）由（1）知，因为抛物线C：，则，
则，，则直线PA方程为，即，
同理直线PB方程为．
联立，得，
则，将代入得，
两式相加得，
即，所以点．
设直线DE与抛物线相切于点，则直线DE方程为．
设，，联立，
两式作比，即，同理，
因为，
同理，
故要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
由（1）知，又，故，上式成立，
故．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据离心率和四边形面积得到方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）设，，，设过点且与椭圆相切的直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据结合求出，求出以为切点的椭圆的切线方程为，同理得到以为切点的椭圆的切线方程，得到直线的方程为，直线过定点.
【详解】（1）由题可得，即，，得①，
依次连接四个顶点得到的图形的面积为，即，即②，
由①②可得，
椭圆的方程为：.
（2）设，，，
由题知，直线上一点作椭圆的两条切线斜率存在，
设过点且与椭圆相切的直线方程为：，
联立方程得，
，
整理得，即，
在椭圆上，，即，，
，即，
，解得，
过点且与椭圆相切的直线方程为：，
，即，
整理可得以为切点的椭圆的切线方程为，
同理，以为切点的椭圆的切线方程为，
又两切线均过点，故，且，
整理化简得，且，
点，均在直线上，
直线的方程为，直线过定点.
【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为： ，
过圆外一点的切点弦方程为：.
过椭圆上一点的切线方程为，
过双曲线上一点的切线方程为.
6．（23-24高三下·浙江杭州·开学考试）已知抛物线的焦点为.设（其中，）为拋物线上一点.过作抛物线的两条切线，，，为切点.射线交抛物线于另一点.
(1)若，求直线的方程；
(2)求四边形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）利用导数求切线方程，由点坐标同时满足切线方程得直线AB的方程；
（2）设直线的方程，表示出弦长，再求A、B到直线的距离，表示出四边形面积，利用韦达定理化简，由基本不等式求最小值.
【详解】（1）设Ax1,y1，Bx2,y2，由题得，
抛物线，即，则，
所以抛物线在点Ax1,y1处切线的斜率为，
则切线的方程为，整理得，
同理，的方程为，
又在上，有，
所以直线方程为.
（2）设，，，
联立，消去整理得，
，
，
设点到直线的距离为，
则
，
联立，得，
，（其中），
，
又，代入上式得，
，
当且仅当，即时，取最小值，
所以四边形面积的最小值为16.
【点睛】方法点睛：求解直线与抛物线的问题时，通常把两个方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
7．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点.点是右准线上的一个动点（异于点），过点作椭圆的两条切线，切点分别为.已知.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，直线的斜率为，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先利用题给条件求得的值，进而得到椭圆的标准方程；
（2）利用设而不求的方法求得的值，进而证得.
【详解】（1）由题意可知，，且，
解之得，
所以，即椭圆的标准方程为；
（2）设，所作切线斜率为，则切线方程为，
与椭圆的方程联立，
消去，整理得，
则，
整理得，
所以，又因为，所以.
8．（2022高三·全国·专题练习）设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，垂直轴的直线与椭圆相交于、两点，当的周长取最大值时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过圆上任意一点作椭圆的两条切线、，直线、与圆的另一交点分别为、,
①证明：；
②求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）不妨设焦点为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，与的交点为，进而由椭圆的定义，，再根据，当点与点重合时，等号成立得，进而，，再解方程即可得答案；
（2）①设，，则，先讨论切线斜率都存在的情况，设切线的方程为：，进而结合直线与椭圆的位置关系，韦达定理可得，进而证明；再讨论有一条切线的斜率不存在时的情况即可得答案；
②由①可得，故过圆心即原点，进而得当时，所求面积最大.
【详解】（1）解：根据题意，设椭圆的标准方程为，
如图，不妨设焦点为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，与的交点为，
所以，由椭圆定义，
因为在中，，且当点与点重合时，等号成立，
所以，，当点与点重合时，等号成立，
所以，
所以，的周长取最大值时，直线过椭圆的另一焦点，且最大值为，
所以把代入椭圆的方程可得，
因为，所以，，
因为的周长最大值为，所以，解得，，
所以，椭圆的方程为．
（2）解：①设，，则．
当切线的斜率都存在时，设切线的方程为：，
代入椭圆的方程可得：，
所以，△，化为．
所以，当时，设直线、的斜率分别为，
所以，，故．
当时，有一条切线的斜率不存在，
点可以为或或或，
此时，两条切线为和，或和，或和或和，满足；
综上可得：．
②由①可得：，
所以，为的直径，因此过圆心即原点．
所以，当时，面积取得最大值．
9．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，点P到F的最小距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点向C作两条切线AM，AN，切点分别为M，N，直线AF与直线MN交于点Q，求证：点Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的定义求得，即可得抛物线的标准方程；
（2）解法一，利用导数的几何意义，求出过点A的抛物线的切线方程，进而求出点M，N的坐标，再利用向量的夹角公式求出，得到点Q位于的平分线上，即可得证；
解法二，利用导数的几何意义，设出切线方程，与抛物线方程联立，利用，并求切点坐标以及和直线方程，以及交点的坐标，利用点到直线的距离即可证明.
【详解】（1）设点P的坐标为，由抛物线定义可知，
故，得，所以抛物线C的标准方程为．
（2）解法一 ，设，，由，得，
所以抛物线在点M处的切线方程为，
在点N处的切线方程为．
因为两条切线均过点，所以，
所以点M，N的坐标满足，
所以，即，解得或，
不妨设，，则，．就
易知，所以，，，
所以，，
所以，所以．
因为FQ平分，所以点Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离．
解法二 设切点为，由，得，
所以过点的抛物线的切线方程为，
联立，得，消去y并整理得，
则，解得或，
不妨设，，则，，
所以直线MN的方程为，易知，所以直线AF的方程为，
由，得，即．
易得直线FM的方程为，直线FN的方程为，
所以点Q到直线FM的距离，
点Q到直线FN的距离，所以，得证．
10．（23-24高二下·上海·阶段练习）设抛物线的焦点为F,Q为上一点．已知点的纵坐标为，且点到焦点的距离是．点为圆上的点，过点作拋物线的两条切线，切点分别为，记两切线的斜率分别为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点的坐标为，求值；
(3)设直线与轴分别交于点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用点在抛物线上及抛物线的定义即可求解；
（2）利用直线的点斜式方程设出切线方程，切线方程与抛物线的方程联立，利用切线与抛物线的位置关系即可求解；
（3）利用直线的点斜式方程设直线线方程，切线方程与抛物线的方程联立，利用切线与抛物线的位置关系，求出直线，同理即可得出,进而求出直线的方程，利用两点间的距离公式及点在圆上即可求解.
【详解】（1）将代入中，得，所以，
由题意可知，，
因为点到焦点的距离是，
所以,解得，
故抛物线的方程为.
（2）设切线方程为，
由，消去，得，
因为切线与抛物线有一个交点，
所以，得，
所以.
（3）设，设直线的方程为，
，消去，得，
因为直线与抛物线有一个交点，
，解得，
所以直线的方程为，令，则，，
同理直线的方程为,令，则，，
设代入，得，则直线的方程为，
由，消去，得，
所以，
所以，，
所以
又在圆上，
所以，即，
故.
综上可知，的取值范围为.
11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆的右顶点．，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值．
【答案】(1)；
(2)为定值1；
(3)当时，的最大值为．
【分析】（1）根据离心率和短轴长，即可求
（2）根据点到直线的距离公式可得为方程的两个根，即可利用韦达定理求解，
（3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可由点斜式求解直线方程，令，得直线过定点，即可根据点点距离，结合二次函数的性质求解有最大值根据两直线垂直即可分类讨论求解.
【详解】（1）由题意可得，且，解得
故的方程为
（2）点，设直线的斜率分别为，
则直线的方程为，
由直线与圆相切知，圆心到直线的距离，
整理得，
同理
则为方程的两个根，
所以，即直线的斜率乘积为定值1．
（3）设Ax1,y1,Bx2,y2，由
得，
则，进一步可求得，
同理得，
直线的斜率，
则直线的方程为，
令，则，
所以直线过定点（可让无限趋近于0，猜得如果直线过定点，定点一定在轴上）．
设椭圆上任意一点Mx,y，点到点的距离．
当时，有最大值
取，则直线的斜率为，
要使最大，则此时由直线和直线垂直，
可得直线的斜率，
解得．
取，则直线的斜率为，此时由直线和直线垂直可得直线的斜率，解得，舍去．
所以椭圆上存在点，当时，的最大值为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
12．（23-24高三上·河南·开学考试）已知抛物线的焦点为，以为圆心作半径为1的圆，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，为上一点，过作圆的两条切线，分别交于另外两点，直线分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用定义可得，联立直线与抛物线，结合韦达定理求解即可；
（2）设点，，，分别求出，，的直线方程，进而可得的面积公式，再利用与圆相切的条件，用表示并得到的取值范围，再利用导数求面积的最小值即可.
【详解】（1）由题意可知，直线的方程为，
联立消去得，
设点，，则，
所以，即，解得，
所以的方程为.
（2）由（1）知圆，设点，，，显然，
则直线的方程为，
直线的方程为，
直线的方程为，
由的方程可得，，
则的面积为，所以．
因为与圆相切，所以点到直线的距离为，
整理得，同理可得，
所以是方程的两根，
所以，，解得，
的面积化为，
设，则，
令，得，
所以在单调递减，在单调递增，
故面积的最小值为．
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；
（5）代入韦达定理求解.
13．（23-24高三上·云南保山·期末）已知椭圆：（），且椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，现过点的直线分别交椭圆于，两点，且直线交线段于点，试判断与的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1） 根据题意，离心率，从而可求解.
（2）先求出切线的方程为，切线的方差为，从而可求出直线AB的方程，设出直线的方程，然后分别与直线AB方程，椭圆方程联立，再利用根与系数关系分别求出，，，从而可求解.
【详解】（1）由题意可知：，所以，又由，所以，所以；
故椭圆的方程为.
（2）如图，令，，，，
由题知切线的斜率存在，且设过点的切线方程为，
联立方程得，解得：，
由于只有一个切点，所以，解得，
又因为，所以切线的方程为，
同理可得切线的方程为，
又点是切线，的公共点，
所以故而所在的直线为，
由题意可知，直线的斜率存在，不妨设为，则，
所以直线的方程为，
联立方程：解得：，
联立方程：消除得：，
所以，，
又有，，，
，
所以.
【点睛】关键点点睛：求解切线方程时根据椭圆与直线方程联立，求解判别式即可得到切线方程：，切线方程：，从而可求出直线AB方程：，然后设出直线方程：，再与直线AB，椭圆方程联立，然后利用根与系数关系从而求出，，，从而可求解.
14．（2024·广东广州·二模）已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点是切点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若点在直线上，记的面积为的面积为，求的最小值；
(3)证明：．
【答案】(1)；
(2)16；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题得坐标，设出切线方程，与抛物线方程联立可得参数的值，进而求解坐标，即可得方程；
（2）求得抛物线在点处的切线方程，化简得，由点在直线上可得纵坐标的和、积关系，进而利用两点间距离公式结合点到直线距离公式，表示出，化简结合配方法可求得最小值；
（3）利用两点间距离公式结合抛物线定义可得，利用两角差的正切公式求得，即，即可证得结论．
【详解】（1）由题知，抛物线，
切线斜率不为0，设切线为，
与联立，得，
，解得或3，
时，，则，切点为；
时，，则，切点为，
故直线方程为，即．
（2）F1,0，设Ax1,y1,Bx2,y2，
由题意易知抛物线的切线不与轴垂直，设切线为，
与联立，得，，则，
即，
故抛物线在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
联立可得，
又在直线上，故，即①，
点到的距离为，
，
故，
同理可得，
故
，
将①式代入可得：
，
令，则，
则
，
故当时，有最小值为．
（3）由（2）知，
则
，
由抛物线定义可得
，
故，即．
，
，
，
，
则，
又与范围均为0,π，
故，
结合，可得．
【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时，常常有三种求解三角形面积的方法：
（1）常规面积公式：底高；
（2）正弦面积公式：；
（3）铅锤水平面面积公式：过轴上的定点：（为轴上定长）
过轴上的定点（为轴上定长）
15．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆的离心率为，上､下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积为，过点作椭圆的两条切线，切点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求所在直线的方程；
(3)过点作直线交椭圆于两点，交直线于点，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）由题意可得，解方程求出，即可得出答案.
（2）先证明过椭圆上一点的切线方程的形式，再求得过点的切线方程，从而得到直线的方程.
（3）令，设直线的方程为：，联立椭圆的方程，求出，再令，解方程组，解得，表示出，将代入化简即可得出答案.
【详解】（1）由题意可知：①
又，所以②，
由①②及，所以，
所以椭圆的方程为：.
（2）先证：过椭圆上一点Ax1,y1的切线方程为，
证明如下：当过椭圆上一点Ax1,y1的切线斜率存在时，
设切线方程为，
则可得：，
因为直线与椭圆相切，所以，
化简可得：，
所以，代入可得：
，
于是，
故切线方程为：，即，
又，故切线的方程为：，
当过椭圆上一点Ax1,y1的切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意.
所以过椭圆上一点Ax1,y1的切线方程为，
故切线的方程为：，
同理：切线的方程为：，又因为过点，
所以，，
所以：，故直线的方程为.
（3）由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为：，
联立椭圆的方程，
得，
令，
所以.
令，解方程组得.
又
，
所以.
【点睛】
关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭圆上一点Ax1,y1作椭圆的切线，其切线方程为：，本题利用导数的几何意义求得斜率，是解决问题的关键.
16．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点引圆：的一条切线，切点为，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得的面积为？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点A的个数为2，理由见解析
【分析】（1）由题意可求出，过点M作轴，根据勾股定理可知，即可求出参数p，进而得到抛物线方程；
（2）设，，，求出切点弦PQ的方程，联立抛物线方程，根据弦长公式求出，在利用点到直线距离公式求出点到直线PQ的距离d，由的面积为列出方程，得出A点的轨迹方程，联立圆的方程得，方程的根的个数即为点A的个数.
【详解】（1）解：如图
已知抛物线：的焦点为，
圆：的圆心，半径，
则，
过点M作轴，则，，
在中，满足，
即，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）存在点A使得的面积为，点A的个数为2，理由如下：
设，，，
由（1）可知抛物线的方程为，
则切点弦PQ的方程为，斜率，
联立，得，
所以，，
，
点到直线PQ的距离，
，
所以，
即点A的轨迹为抛物线往左平移个单位长度，
因为点A在圆M上，联立，得，
显然是一个根，因式分解得，
令，，则，
若，由于，
则恒成立，所以为增函数，
，，
根据零点存在定理函数在上存在一个零点，
所以存在两个点A使得的面积为.
【点睛】本题考查了抛物线切点弦方程及弦长公式，高次方程的因式分解问题，构造函数并利用导函数求出函数的单调性，根据零点存在定理求出方程的根，此题的关键点在于，根据的面积为，求出点A的轨迹方程，利用其轨迹方程和圆M有几个交点即可得到点A的个数.
17．（22-23高三下·山西晋城·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上一动点，直线与直线交于点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作抛物线的两条切线，切点为，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算，，根据距离公式计算得到，得到抛物线方程.
（2）求导得到导函数，计算切线方程得到的直线方程为，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到，再计算，得到范围.
【详解】（1）直线，当时，，即，，
则，解得或（舍去），
故抛物线的方程为.
（2）设，，，，，
的直线方程为：，整理得到，
同理可得：方程为，
故，故的直线方程为，
，整理得到，，
，
，解得，
设到的距离为，
，
，故，
【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，抛物线方程，抛物线中的面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理得到根与系数的关系，利用设而不求的思想解决问题是解题的关键，需要熟练掌握.
18．（2023·江西南昌·三模）已知椭圆经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，．
(1)证明：直线经过定点；
(2)若记、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程．
参考结论：为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）由题求出椭圆的标准方程，根据参考结论得两条切线的方程，由点P为两切线的交点，得直线AB的方程，可求出直线所过定点；
（2）由直线AB所过定点设直线方程，与椭圆联立，计算面积之差，利用基本不等式求出最值，及取最值时直线的方程.
【详解】（1）由题意可得，即，，
故椭圆的方程为，
设，，，
由参考结论知过点在处的椭圆的切线方程为，
同理，过点在处的椭圆的切线方程为，
点在直线，上，，
直线的方程为，即，
可得，则直线过定点；
（2）由（1）知，，，
设直线的方程为，联立，
得，故，，
为，
，
当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为，
即或．

【点睛】思路点睛：第二问思路设直线的方程为与椭圆方程联立，利用韦达定理代入，然后利用基本不等式求出结果，考查了学生的思维能力、运算能力.
19．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点.
(1)求圆和抛物线的方程；
(2)过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．
【答案】(1)圆：，抛物线：
(2)是定点，
【分析】（1）依题意可知圆心在直线上，设圆心为，半径为，再由圆过点，即可得到，，从而求出圆的方程，再令求出点坐标，即可求出抛物线方程；
（2）设直线的方程为Ax1,y1，Bx2,y2，过，点的抛物线的切线的斜率分别为、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用导数的几何意义表示出过、点的切线方程，再联立即可求出点坐标，即可得到直线的方程，最后与圆的方程联立求出交点坐标.
【详解】（1）因为圆过点和，
所以圆心在直线上，设圆心为，半径为，
又圆过点，所以，，
则圆的方程为，
令，解得，所以F0,1，则，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）依题意直线的斜率必存在，不妨设为，则直线的方程为，
即，由整理得，
其中，解得或，则，，
设Ax1,y1，Bx2,y2，过，点的抛物线的切线的斜率分别为、，
又，所以，则、，
所以过点的切线方程为，即，
同理可得过点的切线方程为，
由，解得，即，
所以点在直线上，而点也在直线上，
所以直线与圆的另一个交点就是直线与圆的交点，
由，解得或，
所以直线与圆的另一个交点为定点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为x1,y1、x2,y2；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
20．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知直线与抛物线：交于，两点．是线段的中点，点在直线上，且垂直于轴．
(1)求证：的中点在上；
(2)设点在抛物线：上，，是的两条切线，，是切点．若，且位于轴两侧，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设，联立，利用韦达定理求出点，点，进而可得其中点坐标，代入抛物线方程验证即可；
（2）设出直线的方程，与抛物线联立，求出点坐标，设点在抛物线上，求出过该点的切线方程，代入点，可得直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理计算出，同样计算出即可证明.
【详解】（1）设，
联立，消去得，
则，
所以
所以，则，
所以的中点坐标为，满足，
故的中点在上；
（2）由（1）得，设直线的方程为，即，
联立，消去得，解得或，
又位于轴两侧，故，
设点在抛物线上，又对于：有，所以
则在点处的切线方程为，
整理得，设，，
则在与处的切线方程分别为与，又两条切线都过点，
则，，
则直线的方程为，即，
又，则点在直线上.
由（1）知，而，
则.
而
.
联立，消去得，
则，，
则.
所以.
【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦半径公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
21．（2024高三·全国·专题练习）左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点，
【分析】（1）设点的坐标为，根据重心性质和可得，结合三角形面积公式求解可得；
（2）设切线方程为，根据切线过点可求得的方程，由直线系方程即可确定所过定点.
【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，
所以，
设内切圆的半径为，点的坐标为，
则重心的坐标为，
因为，所以．
由面积可得，
即，结合，解得，
即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．

（2）设，
则切线的方程分别为，
因为点在两条切线上，所以，
故直线的方程为．
又因为点为直线上，
所以，即直线的方程可化为，
整理得，
由解得，
因此，直线过定点．
22．（2024·安徽·二模）已知点在椭圆：的外部，过点作的两条切线，切点分别为，．
(1)①若点坐标为，求证：直线的方程为；②若点的坐标为，求证：直线的方程为；
(2)若点在圆上，求面积的最大值．
【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析
(2)
【分析】（1）①设方程，联立椭圆方程，结合判别式化简可得，继而结合直线方程化简，即可证明结论；②根据方程思想，结合额两点确定一条直线，即可即可证明结论；
（2）确定直线的方程，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，即可求得弦长AB，再求出P到直线的距离的表达式，即可求得面积的表达式，利用导数求最值，即可得答案.
【详解】（1）①当斜率存在时，，设方程为：
与：联立整理得：，
由已知得：，
化简得：
因为，则，
即，所以，
方程为：，即，则，
故直线的方程为
当斜率不存在时，，直线的方程为或满足上式.；
所以直线的方程为；
②由①知，设点坐标为x2,y2，则直线的方程为，
由点的坐标为，则，，
则Ax1,y1，Bx2,y2两点都在直线上，
由于两点确定一条直线，故直线的方程为；
（2）由（1）知直线的方程为，由题意知，
与：联立整理得：
因为，所以
因为Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
所以，
点到直线的距离为：，
所以面积，
当时，令，所以，
故在单调递增，所以的最大值为，
由对称性可知当时，的最大值也为，
故面积的最大值为.
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆的切线问题以及椭圆中的三角形的面积最值问题，综合强，难度较大，解答的难点在于计算量大，计算复杂，并且基本都是字母参数的运算，一不小心就会出错.
23．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据椭圆的几何定义求解动点的轨迹方程；
（2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点坐标后，得出直线的方程，从而算出斜率，再去判断与另一直线是否垂直；
（ii）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出直线与轴的交点的坐标，再用垂直关系又去设出直线的方程与椭圆的方程联立，再用坐标去表示出，最后可由基本不等式得出结果.
【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为7，1，
因为与，都内切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，所以，
故的方程为：
（2）
（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：，可得直线的斜率为：
而直线的斜率为：，
因为，所以;

（ii）由直线的方程为：，可改设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，所以直线的方程为，
令得，
，
所以直线经过定点，又，
再由，可设直线的方程为：，
再联立，整理得，
设，，则由韦达定理得，
因为，所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
又因为，所以
【点睛】方法点睛：
（1）利用两圆相内切的几何关系来推导出椭圆的几何定义，从而求出轨迹方程；
（2）利用曲线上某点的切线方程去推导出切点弦方程.
24．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得；
（2）①设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案；
②由题知椭圆的标准方程为，进而结合点在椭圆上得，故设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而得其对应的方程，再与椭圆联立方程并结合韦达定理，弦长公式得、，进而得．
【详解】（1）对于椭圆：，则长轴长为，短轴长为，焦距为，
椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率.
（2）①由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
设，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以为关于的方程的两根，
所以．
又点在椭圆上，
所以，
所以，为定值．
②由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点，
设，易知直线、的斜率均存在且不为，
所以，
因为在椭圆上，所以，即，
所以．
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为．
由，得，
设，，则，，
所以
，
同理可得，
所以．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
25．（2024·全国·模拟预测）已知动圆过点0,1，且与直线相切于点，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作曲线的两条切线分别与曲线相切于点，与轴分别交于两点.记，，的面积分别为、、．
（i）证明：四边形为平行四边形；
（ii）证明：成等比数列.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）设出圆心，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；
（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；
（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.
【详解】（1）设圆心，由题意得：，
化简整理得：，所以曲线的方程为：．
（2）（ⅰ）设，，因为，所以，
∴直线的方程为：，即，令，得到，
同理可得直线的方程为：，令，得到，
∴，，联立，消解得，
所以，
又，∴，
所以四边形为平行四边形；
（ⅱ）由（ⅰ）知直线的方程为，又，所以，即，
同理可知直线的方程为，又因为在直线，上，
设，则有，
所以直线的方程为：，故直线过点，
∵四边形为平行四边形，∴，，
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴
，
即，
故成等比数列．
【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅱ）问的关键在于求出直线恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.
1．（全国·统考高考真题）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】(1)见详解；(2) 3或.
【分析】（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.
（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，分别为点到直线的距离，则，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.
【详解】(1)证明：设,,则．
又因为，所以.则切线DA的斜率为，
故，整理得.
设，同理得.
,都满足直线方程.
于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立．所以直线恒过定点.
（2）
[方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】
设的中点为G，,则，，．
由，得，
将代入上式并整理得，
因为，所以或．
由（1）知，所以轴，
则（设）．
当时，，即；
当时，，
即，．
综上，四边形的面积为3或．
[方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】
设，由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为．由抛物线的定义，
得．
线段的中点为．
当时，轴，，
；
当时，，由，得，即．
所以，直线的方程为．
根据对称性考虑点和直线的方程即可．
E到直线的距离为，
D到直线的距离为．
所以．
综上，四边形的面积为3或．
[方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】
图5中，由抛物线的光学性质易得，又，所以．
因为，，所以，
所以．
同理，所以，即点D为中点．
图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长于点H．
因为，所以．
又因为G，D分别为的中点，所以，
故为平行四边形，从而．
因为且，所以I为的中点，
从而．．
当直线平行于准线时，易得．
综上，四边形的面积为3或．

[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】
由（1）得直线的方程为.
由，可得，
于是
.
设分别为点到直线的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.
当时，；当时
因此，四边形的面积为3或.
【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且有效的方法；
方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法；
方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高，计算量较少；
方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用.
2．（辽宁·高考真题）如图，抛物线
（I）；
（II）
【答案】（I）p=2（II）
【详解】（I），该抛物线上任意一点的切线斜率为
，即
故切线MA的方程为，又因为点
，代入抛物线得
联立解得p=2
（II）设，由N为线段AB的中点可得
，切线MA,MB的方程为
，，两式联立求得交点M的坐标
由，再由
可得，经检验当A,B重合于坐标原点是方程也满足，因此AB中点N的轨迹方程为
第一小题主要是要求学生把题目所给的抛物线方程转化成二次函数，从而想到切线的斜率即为该点的导数值，求得切点坐标，写出切线方程，进而求得p的值．
第二小题主要是寻找点M与点N的关系，通过设出各点的坐标，充分利用点在曲线上及他们之间的关系，代入建立间的关系，最后运用点M在已知曲线上求得x与y的关系．本题在求解过程中注意整体消参的方法．最后不要漏掉对特殊点即原点的考虑．
【考点定位】本题考查抛物线的性质，导数的意义，曲线的方程，整体代入消参求动点的轨迹．