数学人教版（2024）8.3 实数及其简单运算第1课时教学设计

这是一份数学人教版（2024）8.3 实数及其简单运算第1课时教学设计，共3页。教案主要包含了素养目标，教学重点，教学难点，教学过程，作业布置等内容，欢迎下载使用。
【素养目标】
1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.
2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.
3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.
4.了解实数的大小比较的方法.
【教学重点】
1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.
2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.
【教学难点】理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.
【教学过程】
活动一：复习回顾，问题引入
请同学们回顾下面这两个问题：
什么是有理数？有理数怎样分类？
什么是无限不循环小数？无限不循环小数都有哪些形式？
小数位数无限，且小数部分不循环的小数叫作无限不循环小数.很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.
[教学建议]教师指定学生代表作答.
[设计意图]学生回忆有理数及无限不循环小数的概念，为学习实数做铺垫.
活动二：问题引入，探究新知
探究点1 实数的概念及分类
（教材P52探究）把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？
4， ， ， ， ， .
可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即4=4.0， =2.5， =-0.6， =6.75， = ， = .
[教学建议]学生先自主探究，然后交流讨论，教师再订正、归纳.先通过复习有理数的概念，再经过类比学习的方法引入无理数的概念，体会两者
[设计意图]通过探究有理数的形式引入无理数的概念，将数系扩充
至实数，达到整体认识，形成知识迁移.问题1
（1）任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？
（2）任何有限小数或无限循环小数都是有理数吗？
（1）是的.（2）是的.
问题2 我们学过的所有数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？如果不是，你能举例说明吗？
不是.很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，例如， ， ， ， 等，π=3.14159265…也是无限不循环小数.
概念引入：无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数.
像有理数一样，无理数也有正负之分.例如 , ,π是正无理数， , ,-π是负无理数.
拓展：常见的无理数的形式有：①开方开不尽的数，如 ， 等；②π及含π的式子，如π，2+π等；③结构特殊且不循环的小数，如1.01001000100001…（相邻的两个1之间依次多一个0）等.
概念引入：
有理数和无理数统称实数.
问题3 仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？
实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏.
[对应训练]
1.教材P54练习第1（1）（2）（3），2题.
2.下列说法正确的是（ D ）
A.正实数和负实数统称实数
B.正数、0和负数统称有理数
C.带根号的数和分数统称实数
D.无理数和有理数统称实数
3.把下列各数填在相应的集合内：
-3.1415， ， ， ， ， ，0， ， ,0.2020020002…(相邻的两个2之间依次多一个0).
之间的区别，最后给出实数的概念，层层设问，发展学生的探究意识.注意强调：无限小数既可能是有理数，也可能是无理数，因为无限小数有无限循环小数和无限不循环小数两种形式.
[教学建议]对实数分类时，可让学生类比有理数的分类，并进一步体会无理数的特征.在自主探究的过程中，发展学生的类比思想和分类思想.分类原则是不重不漏，注意有时分类的数会同时属于多个集合，要特别注意不要漏写.
[设计意图]
探究点2 实数与数轴上的点的对应关系
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
（1）（教材P53思考）以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？
从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′对应的数是π.
（2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示 .为什么？
在学习算术平方根的估算时，我们知道，用两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，这个大正方形的边长就是小正方形的对角线长，因此图中正方形的对角线长是2.所以以原点为圆心，以小正方形的对角线长为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示数 ， .
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的.
[对应训练]
1.教材P54练习第1（4）（5）题.
2.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1.若点E在数轴上（点E在点A左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（ D ）
A. B. C. D.
[教学建议]学生在讨论合作的基础上动手操作，教师利用多媒体课件进行动态演示，并对学生讨论交流的结果进行总结.注意使学生感受当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点才是一一对应的，而有理数不是.
通过具体实例，让学生直观感受无理数可用数轴上的点表示，从而深化扩展到实数与数轴上的点的一一对应关系.
[设计意图]
探究点3 实数的大小比较
（1）回想一下，在数轴上如何比较两个有理数的大小？
左边的数小于右边的数.
（2）猜想一下， 和 谁比较大？为什么？
大.因为 在数轴上对应的点在原点的右边，而 在数轴上对应的点在原点的左边.
（3）你能总结出两个实数比较大小的方法吗？
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
用数轴比较实数的方法只是其中一种（更直观），实际上，有理数的大小比较的法则对于实数同样适用：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的较大；(3)两个负数，绝对值大的反而小.
（4）请结合教材P54练习第3题，将这4个实数用“”“ ；（2） < -3.1.
2.将-2, ,0, ,-π与图中数轴上标有字母的各点对应起来，并用“