2024-2025学年河北省石家庄市高二上册10月月考数学学情检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市高二上册10月月考数学学情检测试题（附解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设集合，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】首先解不等式得到，，再求集合C即可.
详解】对于，则，解得，即，
对于，可得，即，
所以且.
故选：C.
2. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】根据两直线平行与斜率的关系即可求解.
【详解】因为，所以，解得，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
3. 设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若不垂直于，则必不垂直于
C. 若,，则
D. 若是异面直线，，则
【正确答案】D
【分析】A中，可能平行、相交或异面；B中有可能垂直于；C中或；D中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得.
【详解】对于A，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误；
对于B，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误；
对于C，若且，则或，故C错误；
对于D，若、是异面直线，，，，，
则直线上任取一点，过直线与点确定平面，设，
又，则，，，所以，
又，，，，所以，故D正确.
故选：D.
4. 已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先得到的夹角为，设，，故，设，由得到，设，设夹角为，表达出，换元后得到，由对勾函数性质得到其值域，从而确定，得到夹角最大值.
【详解】因为，所以，解得，故，
设，，则，
设，则，
则，即，
设，
设夹角为，则，
令，则，
则，令，则，
则，
其中在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，最小值为，
当或3时，取得最大值，最大值为1，
故，
由于在上单调递减，故，
与夹角的最大值为.
故选：A
平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
5. 已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数D. 在区间上的值域为
【正确答案】D
【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，由函数图象平移变换可求得函数，结合余弦函数的图象与性质即可判断各选项.
【详解】，沿轴向左平移个单位，
得．
对于A，当，单调递减，所以选项A错误；
对于B，，则图象关于对称，所以选项B错误；
对于C，是偶函数．所以选项C错误；
对于D，当，则，所以D正确，
综上可知，正确的为D.
故选：D．
本题考查了辅助角公式化简三角函数式的应用，三角函数平移变换及余弦函数图象与性质的应用，属于基础题.
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【正确答案】A
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解即可.
【详解】，，
，
，，，，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：A.
7. 已知四棱锥的各顶点在同一球面上，四边形为等腰梯形，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】作如图所示辅助线，由线面垂直和面面垂直找到球心的位置，在证明到四棱锥的所有点的距离相等，再根据勾股定理求出半径，进而求出表面积；
【详解】
如图，取的中点，取的中点，连接，
在线段上取一点，使，
过点作平面的垂线，使，连接，
易知四边形是等腰梯形，均为等边三角形，
所以，
因为平面，所以，
所以，
因为为正三角形，的中点，所以，
又面面，面面，面，
所以面，
因为平面，所以，即，
又，所以四边形为平行四边形，则，
因为为正三角形，的中点，所以，
又面面，面面，面，
所以面，所以面，
又是的外心，所以，所以，
所以为四棱锥外接球的球心，
因为，
所以，
所以，
故选：C
8. 在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.
【详解】如图中，O为AB中点，
（极化恒等式）
共起点的数量积问题可以使用.
如图，取中点，则由极化恒等式知，
，要求取值范围，只需要求最大，最小即可.
由图，可知最大时，P在D点，即，此时，
最小时，P在O点，即，此时.
综上所得，取值范围为: .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BC
【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解．
【详解】设，，其中.
对于选项A: ，所以与不一定相等，故选项A错误；
对于选项B: 因为，
所以，
因为，
所以,故选项B正确；
对于选项C: 因为,
所有
因为，
所以,故选项C正确；
对于选项D:因为，所以
，而与不一定相等,故选项D错误；
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是
D. 若事件A与事件B相互独立，且，，则
【正确答案】ABD
【分析】由直线斜率与倾斜角的关系以及正切函数的值域可得A正确；由抽象函数的定义域关系可得B正确；由分段函数的单调性结合二次函数和反比例函数可得C错误；由对立事件和相互独立事件的积事件公式可得D正确；
【详解】对于A，由题意可得，所以，故A正确；
对于B，因为函数的定义域为，所以，所以，
所以，解得，故B正确；
对于C，因为在上是增函数，
所以当，，即，
且时，要恒增，由二次函数的对称轴可知，
且时，要恒增，由反比例函数的性质可得，
综上实数a的取值范围是，故C错误；
对于D，因为，所以，
又事件A与事件B相互独立，所以，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（ ）
A. 动点M在侧面内轨迹的长度是
B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2
C. 直线与所成的角为，则的最小值是
D. 存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为
【正确答案】ABC
【分析】根据空间中的线面垂直关系分析可得动点的轨迹为截面，对于A，动点在侧面的轨迹为线段；对于B，三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥，计算四棱锥即可；对于C， 直线与直线所成角即为直线与直线所成角，当时，所成角正切值最小；对于D，当与或重合时，直线与平面所成角最大，并与比较即可.
【详解】如图所示，取中点，连接，
取中点，连接.
在立方体中，因为，为中点，所以，
所以，，，四点共面.
又因为平面，
且平面，所以，
又因为，
且平面,，
所以平面，
又因为平面,
所以.
因为，
且，且均为锐角，
所以，
又因平面，
且平面，
所以，
又因为平面，且，
所以平面,
又因为平面，所以.
又因为平面，且，
所以平面.又因为，
则平面，所以的轨迹为截面.
对于A，因为平面，
且平面平面，
所以动点在平面内的轨迹长度为的长，且，故A正确；
对于B，三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥.
且.
又因为，
所以，
，
所以四棱锥的体积为，故B正确；
对于C，因为，
所以直线与直线所成角为，
在直角三角形中，
当时，，
所以，故C正确；
对于D，易知与或重合时，直线与平面所成角最大，
且为或，
因为，
所以，
所以不存在某个位置，使得直线与平面所成角为，故D错误.
故选：ABC.
思路点睛：本题可从以下方面解题.
（1）计算出动点的运动轨迹为截面；
（2）四棱锥的体积计算，注意拆分；
（3）线线角、线面角要结合勾股定理.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点______重合.
【正确答案】
【分析】先求线段的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.
【详解】已知点与点，可知线段的中点为，
且，则线段的中垂线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以所求点为.
故答案为.
13. 已知角，为锐角，，，则的值为______．
【正确答案】
【分析】先由同角三角函数的基本关系求得，再由两角和的正切公式结合即可得解.
【详解】因为角、为锐角，所以，
又，所以，
所以，又，
所以.
故答案为.
14. 已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为______，的取值范围为______.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；利用，将表示成关于的表达式，借助，利用单调性即可解决.
【详解】画出函数的图象如图所示：
要使得方程有4个不同的实数根，
只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点，
结合图象可知.
因为，所以，
所以，
即，
所以，即，
而是的两根，即，
因为，满足所以，
，
令，因为，则在单调递增，
所以，故.
故；.
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点，直线和
（1）过点作的垂线，求垂足的坐标；
（2）过点作分别于交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由直线的位置关系求方程，再联立求解交点坐标，
（2）设出点坐标，由中点表示点坐标，分别代入直线方程联立求解．
【小问1详解】
，即，
则，直线为，
即，联立方程，解得，故．
【小问2详解】
不妨设，则，则，
解得，故直线过点和点，
故直线方程为，即．
16. 已知中，角，，对边分别是，，，.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理得到，消去B后进行弦化切即可得到；
（2）利用面积公式求出，利用基本不等式求出的最小值，利用余弦定理求出，即可求出周长的最小值.
【详解】（1）已知中，角，，的对边分别是，，，.
若，所以，整理得：，
整理得：，
解得.
（2）的平分线交于点，且，
利用三角形的面积：
所以，
整理得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以，解得，
所以周长的最小值为.
17. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组.

（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；
（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数；
（2）由第75百分位数分直方图左侧面积为0.75，列方程求第75百分位数.
（3）由分层抽样等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【小问1详解】
由直方图知：，可得，
∴500名志愿者中年龄在的人数为人.
【小问2详解】
因为，，
所以第百分位数在区间内，若该数为，
∴，解得.
【小问3详解】
由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．

（1）证明：．
（2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）取AD的中点F，可证得，，从而平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论；
（2）过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，可得平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案.
【小问1详解】
如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，，∴，．
∵，平面PEF，∴平面PEF．
又∵平面PEF，∴．
【小问2详解】
由（1）可知，二面角的平面角为，且为，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，
∵平面PEF，平面PEF，∴，
∵平面，∴平面，
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得，，，，
则，，，，，
，，，，
设平面PAB的法向量为，则
得取，则．
设，，则，
设直线DG与平面PAB所成的角为，
则，
令，则，．
当时，，；
当时，，
当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为．
19. 设a为常数，函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值．
【正确答案】（1）
（2）；
（3）1012，1349．
【分析】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数的值域；
（2）根据零点个数可得函数在0,1上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得；
（3）由二次函数根的个数及其符号并对参数的取值范围分类讨论，利用三角函数图象性质可得不同区间内的零点个数，即可得出结果.
【小问1详解】
由题意，
令，则，
当时，，
所以当时，取最大值；
当时，取最小值，
所以的值域为；
【小问2详解】
由题意函数在区间上有两个不同的零点，
即函数在0,1上仅有一个零点，因为，
由零点存在性定理，只需，得；
所以实数a的取值范围为.
【小问3详解】
因为，所以有两个零点，
又，不妨
当时，得，即或；
由三角函数图象性质可知在（k为正整数）内零点个数为，在内零点个数为，
因为，所以；
当时，在（k为正整数）内零点个数为，
在内零点个数为，若，此时不存在n；
当时，则，在（k为正整数）内零点个数为，
因为，所以；
综上n的所有可能值为1012，1349．