2025高考数学专项讲义第11讲相关定理在解三角形中的综合应用(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第11讲相关定理在解三角形中的综合应用(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)，共56页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。
（8类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分
【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用
2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用
【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习
知识讲解
海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
则三角形的面积为
其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
三倍角公式
，

射影定理
，，
角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
张角定理
倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:
(2)如果,则有:
(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
(1)如果,则有:。
(2)如果,则有:。
(3)如果,则有:。
中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
考点一、海伦-秦九韶公式及其应用
1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为 ．
2．（2023·江苏·三模）海伦（Hern，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是 ．
3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即， 现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．12
4．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
1．（22-23高三下·河北·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为 ．
2．（2023·浙江·模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则 .
3．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积．若，，则△ABC面积S的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
4．（22-23高三上·山东滨州·期中）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（ ）
A．21B．C．D．
考点二、三倍角公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
已知的内角的对边分别为,若,则的最小值为
A.-1 B. C.3 D.
考点三、射影定理及其应用
1．（22-23高三·吉林长春·阶段练习）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（ ）
A．90B．60C．45D．30
1．（21-22高三上·全国·阶段练习）在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 .
2．（2022·山西临汾·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 .
考点四、角平分线定理及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是．
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
3．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ．
4．（2023·江苏·一模）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2024高三·全国·专题练习）已知AD是的角平分线，，，，则 .
2．（2023高三·全国·专题练习）在中，，，A的角平分线，则（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）（多选）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．

考点五、张角定理及其应用
1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求的长.
2.在中,角所对的边分别为,已知点在边上,
,则__________
1.在中,角所对的边分别为是的角平分线,若,则的最小值为_______
2．（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．
(1)求的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
考点六、倍角定理及其应用
1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 若B=2 A,a=1, b=3, 则c=____________
2．（2020高三·全国·专题练习）设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1．（22-23高三上·安徽阜阳·阶段练习）内角，C的对边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2 .在 △ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 A=2 B, 则 cb+2ba2 的最小值为_____
考点七、中线长定理及其应用
1．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apllnius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则.
(1)若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长；
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图中，若，D为BC中点，，，，求的值.
2．（2011·吉林·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则边上的中线长为 ．
1．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）的三边分别为，边上的中线长为 ．
2．（2020高三·全国·专题练习）的两边长分别为，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为
考点八、三角恒等式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
1．（2023春·浙江台州·高三校考期中）在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的内切圆半径为，求的面积．
一、单选题
1．（23-24高一·全国·课后作业）在中，已知，，且AB边的中线长为1，那么c的长为．
A．B．2C．D．3
2．（2022·全国·模拟预测）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，，则当三角形面积最大值时AB边上的高为（ ）
A．8B．C．12D．
3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（23-24高二·全国·假期作业）在中，已知，，，则边上的中线长为 ．
5．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，的角平分线交于，则 .
6．（22-23高一·全国·课后作业）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：的三边是，它们所对的角分别是，则有，，．请利用上述知识解答下面的题：在中，若，则 ．
7．（2019高一·山东济南·学业考试）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 .
三、解答题
8．（23-24高二下·福建福州·期中）在中，内角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求边上的中线长.
9．（20-21高一下·福建莆田·阶段练习）在中，内角，，的对边分别是，，，若，.
（1）求角；
（2）若为的角平分线，证明：.
10．（20-21高一下·福建·期中）已知中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足.
(1)求角A；
(2)设点D为上BC一点，且AD=2，证明：若 ，则存在最大值或最小值；请在下面的两个条件中选择一个填到上面的横线上，并证明.
①AD是的中线；
②AD是的角平分线.
11．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点.
(1)求角的大小；
(2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长.
12．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知分别为三个内角A，B，C的对边，满足：．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积S的取值范围．
13．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角中.内角，，所对的边分别是，，，已知.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
14．（23-24高一下·河南郑州·期中）古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式，其中，．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式．
(1)已知的三条边分别为，求的面积；
(2)利用题中所给信息，证明三角形的面积公式；
(3)在中，，求面积的最大值．
15．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
一、单选题
1．（陕西·高考真题）设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
二、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
三、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
4．（全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
5．（全国·高考真题）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的
相关定理在解三角形中的综合应用
（高阶拓展、竞赛适用）
（8类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分
【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用
2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用
【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习
知识讲解
海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
则三角形的面积为
其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
三倍角公式
，

射影定理
，，
角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
张角定理
倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:
(2)如果,则有:
(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
(1)如果,则有:。
(2)如果,则有:。
(3)如果,则有:。
中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
考点一、海伦-秦九韶公式及其应用
1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为 ．
【答案】．
【分析】将三边长分别代入公式即可求解.
【详解】解：由题意得
故答案为：
2．（2023·江苏·三模）海伦（Hern，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是 ．
【答案】
【分析】首先根据海伦公式求得三角形的面积，然后根据三角形内切圆计算公式，计算出三角形的内切圆.
【详解】，S△ABC＝，
由于，所以．
故答案为：
【点睛】本小题主要考查三角形面积的计算，考查三角形内切圆半径的计算，属于基础题.
3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即， 现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．12
【答案】A
【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得的三边边长，利用题中公式可求得的面积.
【详解】由题意结合正弦定理可得：，
周长为，即，
，，.
所以，
故选：A.
4．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】代入后利用基本不等式可求的得最大值．
【详解】令，则，
代入得，
由基本不等式：所以，可得，
当且仅当时取等号，
所以时，面积取得最大值．
故选：A．
1．（22-23高三下·河北·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】先用正弦定理解得a=3，b=5，c=7，代入海伦公式即可解得.
【详解】解：可令
将上式相加：
由此可解的：
由正弦定理：
又因为：
解得：a=3，b=5，c=7.所以
代入海伦公式解得：S=
故答案为：
2．（2023·浙江·模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则 .
【答案】1或
【分析】由正弦定理结合题设推得，利用条件解方程可得答案.
【详解】在中，由正弦定理得,
而，故，结合可得,
即有，
由，可得，
整理得，解得或，
故或，符合题意，
故答案为：1或
3．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积．若，，则△ABC面积S的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】先利用正弦定理求出，代入公式，结合二次函数可求答案.
【详解】因为，所以；
因为，所以，
当时，有最大值，最大值为.
故选：C.
4．（22-23高三上·山东滨州·期中）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（ ）
A．21B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，由已知可推出，即可得出答案．
【详解】∵a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，
∴，又易知，，
则
，
当，即时，有最大值为.
故选：D．
考点二、三倍角公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
方法一：
【分析】将式子中的边b、c都转化为角的关系，即变为，由于，利用均值不等式便可求得其最小值.
【详解】
，即，．
为锐角，则
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为．
故选：A
方法二：三倍角公式
为锐角，则
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为．
故选：A
已知的内角的对边分别为,若,则的最小值为
A.-1 B. C.3 D.
解析:
因为,所以由正弦定理,得
因为,所以,
所以,所以,
当且仅当时,即时等号成立,
所以的最小值为3.
故选:C.
考点三、射影定理及其应用
1．（22-23高三·吉林长春·阶段练习）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（ ）
A．90B．60C．45D．30
【答案】B
【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答.
【详解】在中，由射影定理及得：，解得，
而，则，由余弦定理及得：，
而，因此，，即，又，则，
所以.
故选：B
1．（21-22高三上·全国·阶段练习）在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 .
【答案】
【分析】由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得.
【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得,
又∵，∴，由，可得，
解得(负值舍去)，∴三角形的面积为，
故答案为：.
2．（2022·山西临汾·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 .
【答案】/0.75
【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答.
【详解】在中，由射影定理及得：，
由正弦定理边化角为：，于是得，
由得，，即角是钝角，，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以tanA的最大值为.
故答案为：
考点四、角平分线定理及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是．
【答案】证明见解析
【分析】证明两个命题为真：一个是由是的角平分线证明，一个是由证明是的角平分线．
【详解】证明：设：是的角平分线，：．
如图，过点作//交的延长线与点，
（1）充分性（）：若，则，所以，所以，又△∽△，所以，所以．
（2）必要性 （）：反之，若，则∵，∴△∽△，∴，所以，所以，又//，所以，所以．
由（1）（2）可得，是的角平分线的充要条件是．
【点睛】本题考查充分必要条件的证明，要证明是的充要条件，必须证明两个命题为真：即充分性：，必要性：．
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
3．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ．
【答案】2
【分析】作出图形，利用余弦定理求得，进而求得的值，利用正弦定理可求得的值，最后在中利用余弦定理求得的长.
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
由余弦定理得，
由题意可得，，，
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
①②得，，则，
在中，由余弦定理得.
故答案为：.
4．（2023·江苏·一模）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用面积之比可得，，作边上高，垂足为，即可求.
【详解】
因为，
即，在中，作边上高，垂足为，
则，
故选:A.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知AD是的角平分线，，，，则 .
【答案】/
【分析】设，借助张角定理可得，结合数据计算即可得解.
【详解】设，
则由张角定理可得：，
故，即有，
所以，则，
又因，，
所以.
2．（2023高三·全国·专题练习）在中，，，A的角平分线，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理求得，则，从而得到，再根据正弦定理即可求出答案．
【详解】如图，
由正弦定理可得，，
，，，
，得，
，，
，，
由正弦定理得，.
故选：C．
3．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）（多选）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得，结合平面向量的线性运算求；对于C、D：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解.
【详解】在中，有正弦定理可得，可得，
在中，有正弦定理可得，可得，
因为，，为的角平分线，
可知，
则，
可得，
所以，即，
可得，
故A正确，B错误；
分别取的中点，连接，可知，
因为为的外心，则，
，
所以，
故C正确；D错误.
故选：AC.

考点五、张角定理及其应用
1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【详解】试题分析：（1）根据是的角平分线,利用正弦定理、三角形内角和定理及诱导公式，即可证明结论成立；(2)根据余弦定理，先求出的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长.
试题解析：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD
根据正弦定理，在△ABD中，=
在△ADC中，=
∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC
∴=，=
∴=
（2）根据余弦定理，cs∠BAC=
即cs120°=
解得BC=
又=
∴=，
解得CD=，BD=；
设AD=x，则在△ABD与△ADC中，
根据余弦定理得，
cs60°=
且cs60°=
解得x=，即AD的长为．
2.在中,角所对的边分别为,已知点在边上,
,则__________
解：如图
由张角定理得:
即
1.在中,角所对的边分别为是的角平分线,若,则的最小值为_______
【解析】如图:
是的角平分线
由张角定理得:
（当且仅当,即时取“=”）
2．（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．
(1)求的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由的面积为，求得，再由的周长为，得到，结合余弦定理，求得，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解；
（2）若选择①：法1：由，结合向量的运算法则，即可求解；
法2：设，列出方程组求得，结合，列出方程，即可求解；
若选择②，设，求得，根据，列出方程，即可求解；
法2：由，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由的面积为，可得，解得，
又由的周长为，可得，即，
由余弦定理得
，解得，
设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以，
所以的外接圆面积为．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知，及，
由，可得
，
所以，即．
法2：不妨设，由及，解得，
在和中，可得，
由余弦定理得，解得．
若选择②，不妨设，由及，解得，
法1：由，
可得，解得．
法2：由张角定理，得，
即，解得，
考点六、倍角定理及其应用
1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 若B=2 A,a=1, b=3, 则c=____________
解∵B=2 A
由倍角定理得：b2=a2+ac，即32=12+1×c∴c=2
2．（2020高三·全国·专题练习）设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
【详解】∵为锐角三角形，且，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
由，
即，
∴，
令，则，
又∵函数在上单调递增，
∴函数值域为，
故选：C
【点睛】本题考查三角形的正弦定理和运用，考查三角函数的恒等变换，以及余弦函数的性质，考查化简变形能力，属于难题．
1．（22-23高三上·安徽阜阳·阶段练习）内角，C的对边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正余弦二倍角公式、正弦定理化简即可得所求.
【详解】因为，所以
又因为，由正弦定理得，
因为，所以，则
所以.
故选：A.
2 .在 △ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 A=2 B, 则 cb+2ba2 的最小值为_____
解∵A=2B
由倍角定理得： a2=b2+bc=bb+c
.∴cb+2ba2=cb+4b2a2=cb+4b2bb+c=cb+4bb+c=−1+b+cb+4bb+c≥2b+cb×4bb+c−1=3
(当且仅当 b+cb=4bb+c 时取 ​′′=​′′
考点七、中线长定理及其应用
1．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apllnius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则.
(1)若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长；
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图中，若，D为BC中点，，，，求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）余弦定理求出，再用所给式子求出中线即可；
（2）左右两个三角形和分别使用余弦定理，得到两个方程，结合，相加即可证明；
（3），利用三角恒等变换，求得，结合，求出．在，用面积公式求出，进而求出，再用余弦定理即可解.
【详解】（1）
如图所示，
由余弦定理得，，
代值计算得到，求得；
由于，代值计算得，求得
（2）在中，；
在中，；
两式相加，且，得到，则原式得证．
（3）由于
则由正弦定理，得，
即，
去分母整理得到，即．
且，则，则．
由于，且，即
联立解出
由于，则，
解得，则（负数不满足）.
由余弦定理得到，代值计算，， 则，
则．
2．（2011·吉林·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则边上的中线长为 ．
【答案】7
【分析】先利用余弦定理计算出，设中点为，将两边平方后求得.
【详解】解：因为，，，由余弦定理得.
设是中点，则，两边平方得，所以，即边上的中线长为.
故答案为：
1．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）的三边分别为，边上的中线长为 ．
【答案】
【分析】由余弦定理知，再利用向量的中线公式、数量积的定义及数量积的运算律，即可求解.
【详解】设边上的中线为，由余弦定理知，
则，
所以中线长为．
故答案为：.
2．（2020高三·全国·专题练习）的两边长分别为，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为
【答案】2
【解析】设，在中，由余弦定理得，在中，得到，两式相加，求得，得到为等边三角形，可得，再结合正弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，在中，设，且，
在中，由余弦定理，可得，
即，①
在中，同理可得，②
又由，可得，
由①+②，得，解得，所以为等边三角形，可得，
设的外接圆的半径为，可得的外接圆直径为 .
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
考点八、三角恒等式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式以及两角和的正切公式，化简整理可得，可得，进而即得；
（2）由余弦定理可推得，变形即可得出，根据已知条件，得出的范围，即可得出，然后根据不等式的性质得出，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，
整理可得.
又，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理可得，于是，，
所以，则，
由正弦定理得.
在锐角中，，则.
又，故，
所以，所以，
所以，，
因此，.
由题意可得恒成立，
于是，.
所以，实数的取值范围是.
1．（2023春·浙江台州·高三校考期中）在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的内切圆半径为，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）若选①，由及正弦定理，得，
即，
即，
所以，
因为,所以，
所以，又,
所以．
若选②，由，得
，
∴，
因为,所以，当时，不存在，
所以，又,
所以．
若选③，因为的面积为，
所以，
即，
所以，又,
所以．
（2）由（1）知，，
∵内切圆半径为，
∴，即
，
由余弦定理，得，即，
所以，
联立，得，解得，
所以．
一、单选题
1．（23-24高一·全国·课后作业）在中，已知，，且AB边的中线长为1，那么c的长为．
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】记AB边的中点为，连结，根据题意得到，由向量模的计算公式求出角，从而可得出结果.
【详解】如图：记AB边的中点为，连结，
则，
又，，且AB边的中线长为1，
所以，
所以，因此；
又斜边上的中线是斜边的一半，所以c的长为2.
故选B
【点睛】本题主要考查解三角形，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.
2．（2022·全国·模拟预测）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，，则当三角形面积最大值时AB边上的高为（ ）
A．8B．C．12D．
【答案】B
【分析】代入公式，结合基本不等式可得当时三角形的面积取得最大值，再计算AB边上的高即可
【详解】由题意得，，，则
，
当且仅当，且，即时，等号成立，此时三角形的面积取得最大值，所以AB边上的高为
故选：B.
3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，设的中点为，则，将两边平方，结合数量积的运算律及定义计算可得.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
设的中点为，则，
所以，
又，
所以，又，
所以，解得或（舍去）.
故选：C
二、填空题
4．（23-24高二·全国·假期作业）在中，已知，，，则边上的中线长为 ．
【答案】
【分析】先利用余弦定理求得的值,再设中线,利用余弦定理求出中线的值.
【详解】由条件知：,
设中线长为,由余弦定理知：
所以.所以边上的中线长为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
5．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，的角平分线交于，则 .
【答案】
【分析】在中，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，根据角平分线的性质可得：，在中，由正弦定理可得：即可求解.
【详解】因为在中，

由余弦定理可得：，解得
由正弦定理可得：，即，解得：，
因为的角平分线交于，所以，由角平分线性质可得：，所以，
在中，由正弦定理可得：，即，解得：
故答案为：
6．（22-23高一·全国·课后作业）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：的三边是，它们所对的角分别是，则有，，．请利用上述知识解答下面的题：在中，若，则 ．
【答案】
【分析】由题可得，计算即可.
【详解】由题得，，
由第一余弦定理知，
所以，
所以，又C为三角形的内角
解得，
故答案为：
7．（2019高一·山东济南·学业考试）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 .
【答案】3
【分析】计算出，得到，由基本不等式求出.
【详解】因为，，所以，
故，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，
故答案为：3
三、解答题
8．（23-24高二下·福建福州·期中）在中，内角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求边上的中线长.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得，再根据余弦定理求得，再根据中线向量关系， 利用数量积公式，即可求解.
【详解】（1），∴由正弦定理得：，
，∴，
∴，即，
，∴，
∴，
（2）， ，
在中，由余弦定理得
，所以，
设的中点为，则 ，
两边同时平方得：
=
所以 ，所以.
9．（20-21高一下·福建莆田·阶段练习）在中，内角，，的对边分别是，，，若，.
（1）求角；
（2）若为的角平分线，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）逆用三角形的和角的正弦公式，再由正弦定理、三角形的内角性质化简并求出角.
（2）由角平分线想到用正弦定理表示三角形的面积，三角形面积为拆分出来的两个小三角形面积之和，化简即可.
【详解】（1）解：由，得
，
即，
由，得，由正弦定理，得，又，得，
又，，如，，解得，与三角形三角和为矛盾，所以.
所以，.
（2）由为的角平分线，得，所以，即， 所以.
10．（20-21高一下·福建·期中）已知中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足.
(1)求角A；
(2)设点D为上BC一点，且AD=2，证明：若 ，则存在最大值或最小值；请在下面的两个条件中选择一个填到上面的横线上，并证明.
①AD是的中线；
②AD是的角平分线.
【答案】(1)；
(2)选择①证明见解析；选择②证明见解析.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解作答.
（2）选择条件①，利用向量数量积建立关系，再借助均值不等式推理作答；
选择条件②，利用三角形面积公式建立关系，再借助“1”的妙用计算作答.
【详解】（1）在中，由正弦定理及得：，
由余弦定理得，而，解得：，
所以.
（2）选择①，AD是的中线，则，于是得，
而AD=2，则有，当且仅当时取“=”，
即，因此当时，，
所以存在最大值.
选择②，AD是的角平分线，，由得：
，而AD=2，于是得，
即，，当且仅当时取“=”，
即当时，，
所以存在最小值.
11．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点.
(1)求角的大小；
(2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由，得，然后利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简变形可求得角；
（2）利用余弦定理结合已知条件可求得，再由为角的角平分线，可得，利用三角形面积公式化简可求出的长.
【详解】（1）解：，，且，
，
由正弦定理得，
，
，，
在三角形中，，
，，
∵，.
（2）解：，，
由余弦定理得，
即，解得.
为角的角平分线，，
∵，
∴，
∴，得
.
12．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知分别为三个内角A，B，C的对边，满足：．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积S的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，结合，利用正弦的差角公式整理化简即可求得结果；
（2）根据之间的关系，结合正弦定理，构造面积关于的函数关系，再结合三角形形状，求得的范围，进而求函数值域即可.
【详解】（1）证明：∵，∴，
∴，∴，
∴，∴或，
∵，∴.
（2）∵，∴，∴．
由正弦定理得且，∴
∴，
∵为锐角三角形且，
∴，，
∴
∵为锐角三角形，∴， ∴，
∴，
此时为增函数，∴．
13．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角中.内角，，所对的边分别是，，，已知.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理变形，利用两角和差公式求得，然后利用正弦函数性质即可求得；
（2）利用三角恒等变换得，由条件求的范围，结合正弦函数性质求解范围即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
因为为锐角三角形内角，所以，，
所以，所以，即；
（2），
由题意得，解得，所以，
所以，所以，
即的取值范围为.
14．（23-24高一下·河南郑州·期中）古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式，其中，．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式．
(1)已知的三条边分别为，求的面积；
(2)利用题中所给信息，证明三角形的面积公式；
(3)在中，，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用海伦公式求出三角形面积.
（2）利用余弦定理，结合“三斜求积”公式，计算推理得证.
（3）由二倍角公式化简，得，再利用正弦定理角化边，然后用海伦公式及基本不等式求出面积最大值.
【详解】（1）依题意，，
所以的面积.
（2）由余弦定理，得，
将上式代入，得，
则，而，且，
所以.
（3），而，
则，整理得，
根据正弦定理，得，由，得，，
由海伦公式得，，
当且仅当，即时，面积取最大值.
15．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
（2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）因为中，，
故
，
因为，故；
（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，

又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分线，则，
则，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
则
，
即；
（ii）因为，故，
则由⑤得，则，
由以及（i）知，
即，则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故，即的最大值为.
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于的证明，证明时要利用正余弦定理得到涉及到的线段之间的等量关系，然后利用分式的性质进行变形，过程比较复杂，计算量较大，因此要十分注意.
一、单选题
1．（陕西·高考真题）设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
二、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
三、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
4．（全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知,
所以
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.
（Ⅱ）因为
所以 由（I）知,
所以
考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.
5．（全国·高考真题）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
【答案】（1）；（2）1
【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.
试题解析：
（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．
设，则，
在△与△中，由余弦定理可知，
，
，
∵，∴，
∴，解得，
即．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合