2025高考数学专项讲义第03讲利用二阶导函数解决9类函数问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第03讲利用二阶导函数解决9类函数问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)，共85页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。
（9类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分
【备考策略】1会导数的基本运算
2能理解导函数与原函数关系
3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单调性及其他综合问题
【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.
知识讲解
一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
二阶导的定义
定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导.
定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作
函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值
曲线的凹凸性
设函数 y=fx 在区间 a,b 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 a,b 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 a,b 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。
解决这类题的常规解题步骤为:
求函数的定义域;
求函数的导数 , 无法判断导函数正负;
构造求 , 求 ;
列出 的变化关系表;
根据列表解答问题。
考点一、二阶导与函数单调性
1．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数，讨论函数的单调性.
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)若是的极小值点，求实数a的取值范围．
1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数满足．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围．
2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）（1）证明：函数在上单调递减.
（2）已知函数，若是的极小值点，求实数的取值范围.
3．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中.
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根，，求实数a的取值范围.
考点二、二阶导与函数极值、最值
1．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)证明：．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，.（注：是自然对数的底数）
(1)若无极值点，求实数的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
1．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数．
(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求在区间内极值点的个数；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：，，.
考点三、二阶导与不等式证明
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)证明：；
(2)若，且，证明：．
2．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数，且恒成立．
(1)求实数a取值的集合；
(2)证明：．
1．（2024·广东佛山·一模）已知，其中.
(1)求的单调区间；
(2)若，证明：当时，.
2．（2023·吉林长春·模拟预测）函数．
(1)求证：；
(2)若方程恰有两个根，求证：．
考点四、二阶导与恒成立问题
1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，．
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的最大值．
2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
考点五、二阶导与函数零点或方程的根
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.求证:有且仅有两个不同的零点.
2．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的零点个数.
1．（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数．
(1)当时，证明：只有一个零点．
(2)若，求的取值范围．
2．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，，其中a为整数且.记为的极值点，若存在两个不同的零点，，
(1)求a的最小值；
(2)求证：；
3．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数．
(1)求曲线在处的切线；
(2)若对任意，当时，证明函数存在两个零点．
考点六、二阶导与参数综合问题
1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数满足．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围．
2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知函数，的导函数为．
(1)若存在极值点，求的取值范围；
(2)设的最小值为，的最小值为，证明：．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数，为常数，函数.
(1)求函数的极值；
(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围.
2．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若有三个零点，其中.
(i)求实数的取值范围；
(ii)求证：.
考点七、二阶导与选填小题综合
1．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
3．（2024·全国·一模）已知函数，点在曲线上，则的取值范围是 ．
1．（2023·湖北武汉·模拟预测）设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建莆田·期末）（多选）已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则（ ）
A．有且只有一个极值点
B．有且只有一个零点
C．若，则
D．过坐标原点仅有一条直线与曲线相切
3．（23-24高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为 .
考点八、二阶导与拐点、对称中心结合
1．（2023·四川成都·模拟预测）对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）
A．2014B．2013C．D．1007
2．（2022·陕西咸阳·模拟预测）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则 .
1．（21-22高二下·河北沧州·阶段练习）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）
A．0B．1C．D．
2．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（ ）
A．2021B．C．2022D．
考点九、二阶导与函数凹凸性结合
1．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高二下·陕西渭南·期末）给出定义:若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（ ）
①，②，③，④.
A．4个B．3个C．2个D．1个
1．（21-22高三下·河南·阶段练习）设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“