新高考数学一轮复习核心考点讲练17导数（13种题型7个易错考点）（2份，原卷版+解析版）

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导数是必考内容，难度、广度和深度较大．常规基础考查求导公式与几何意义．中等难度考查求单调区间、极值、最值等．压轴题考查零点、不等式证明、恒成立或者存在问题、分类讨论求参数等，和数列、不等式、函数等知识结合．
三、 2023真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共1小题）
1．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A．B．C．D．
二．多选题（共1小题）
2．（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
三．解答题（共2小题）
3．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
4．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围
四、考点清单
一．变化的快慢与变化率
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）＝
【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：
①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．
③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：
f′（x0）＝或f′（x0）＝
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）＝；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
二．导数及其几何意义
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．
三．极限及其运算
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．
四．导数的运算
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[lgax）]′＝*（lgae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
五．导数的加法与减法法则
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[lgax）]′＝*（lgae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
六．导数的乘法与除法法则
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[lgax）]′＝*（lgae）（a＞0且a≠1）
⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
七．简单复合函数的导数
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[lgax）]′＝*（lgae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
八．利用导数研究函数的单调性
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
九．函数在某点取得极值的条件
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
【解题方法点拨】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
十．利用导数研究函数的极值
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
十一．利用导数研究函数的最值
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
十二．利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
十三．不等式恒成立的问题
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一段取值范围内所有值都成立的情形，我们将这样的情形称为不等式恒成立问题．
【解题方法点拨】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常需要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值；从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况．若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立问题与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解：
（1）∀x∈D，m≤f（x）⇔m≤f（x）min；
（2）∀x∈D，m≥f（x）⇔m≥f（x）max．
五、题型方法
一．变化的快慢与变化率（共3小题）
1．（2023•河南模拟）某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米．假设在该海湾某一固定点，大海水深（单位：与午夜后的时间（单位：之间的关系为，则下午时刻该固定点的水位变化的速度为
A．B．C．D．
2．（2023•重庆模拟）世界锦标赛简称，是方程式汽车赛中最高级别．所谓“方程式”赛车是按照国际汽车联合会规定的标准制造的赛车，目前西南交通大学实验室制造了一种新的方程式赛车，已知这种赛车的位移和时间的关系满足，则时赛车的瞬时速度是 （米秒）．
3．（2023•奉贤区校级三模）函数在区间，的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数 ．
二．导数及其几何意义（共6小题）
4．（2023•平顶山模拟）曲线在点处的切线的斜率为0，则实数
A．B．C．D．1
5．（2023•诸暨市模拟）如图是函数的导函数的图象，若（2），则的图象大致为
A．B．
C．D．
6．（2023•麒麟区校级模拟）已知函数与的部分图象如图所示，则
A．B．
C．（3）（3）D．（3）（3）
7．（2023•青海一模）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则
A．B．1C．D．2
8．（2023•光明区二模）若曲线在处切线的倾斜角为，则 ．
9．（2023•武功县校级模拟）正弦曲线上一点，正弦曲线的以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是 ．
三．极限及其运算（共6小题）
10．（2023•大武口区校级三模）若，则
A．1B．C．2D．
11．（2023•潍坊模拟）设为可导函数，且，则曲线在点，（1）处的切线斜率为
A．2B．C．1D．
12．（2023•重庆模拟）作为数学常数，它的一个定义是，其数值约为：，梓轩在设置手机的数字密码时，打算将的前5位数字：2，7，1，8，2进行某种排列得到密码，如果要求两个2不相邻，那么梓轩可以设置的不同密码有 种（以数字作答）．
13．（2023•闵行区二模） ．
14．（2023•江苏模拟）设函数，且中所有项的系数和为，则 ．
15．（2023•重庆模拟）将横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点．已知，将约束条件表示的平面区域内格点的个数记作，若，则 ．
四．导数的运算（共4小题）
16．（2024•内江一模）已知（1），则（2）
A．1B．2C．4D．8
17．（2024•郑州一模）若函数满足，则（1）
A．0B．1C．2D．
18．（2024•开封一模）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．若函数与存在“点”，则
A．B．C．D．
19．（2024•黑龙江模拟）已知为函数的导函数，且定义域均为，若函数与都是偶函数，写出函数的一个对称中心为 ；（1）（2）（2）（3）（3）（4） ．
五．导数的加法与减法法则（共2小题）
20．（2023秋•10月份月考）已知函数的导数为，且满足关系式（1），则（2）的值等于
A．B．C．D．7
21．（2023春•浦东新区校级月考）设函数的导函数为，若函数的图象关于直线对称，且（1）．
（1）求实数、的值；
（2）若函数恰有三个零点，求实数的取值范围．
六．导数的乘法与除法法则（共3小题）
22．（2023春•峨眉山市校级期中）已知函数的导函数为，且满足（1），则（1）
A．B．C．1D．
23．（2023春•青浦区期中）设函数，则（1） ．
24．（2022•柳州三模）已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，使得能成立，求实数的取值范围．
七．简单复合函数的导数（共3小题）
25．（2023春•横山区校级期中）已知函数，则等于
A．B．2C．D．1
26．（2023秋•东湖区校级月考）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围．
27．（2023春•包河区校级期中）已知函数．
（1）若，求证：；
（2）是否存在实数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
八．利用导数研究函数的单调性（共6小题）
28．（2024•郑州一模）已知，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
29．（2024•南充模拟）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
30．（2024•内江一模）设函数是定义在，，上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是
A．，B．，，
C．，，D．，
31．（2024•昌乐县校级模拟）设函数在定义域上是单调函数，，，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
32．（2024•资阳模拟）已知函数．
（1）若，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当，探究在上的极值点个数．
33．（2024•宝鸡模拟）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知，求证：当时，恒成立；
（3）设，求证：当函数恰有一个零点时，该零点一定不是函数的极值点．
九．函数在某点取得极值的条件（共1小题）
34．（2023•常德二模）已知函数．如果存在实数，，使函数，，在处取得最小值，则实数的最大值为 ．
一十．利用导数研究函数的极值（共4小题）
35．（2024•汉中一模）已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
36．（2024•甘肃模拟）设函数满足，若，则
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
37．（2024•拉萨一模）已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数 ；当函数有三个零点时，函数的极大值为 ．
38．（2024•凉山州模拟）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论函数的单调性．
一十一．利用导数研究函数的最值（共7小题）
39．（2024•铜川一模）已知函数（其中为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．
40．（2024•东莞市校级一模）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 ．
41．（2024•新疆一模）若存在正实数，满足，则的最大值为 ．
42．（2024•昌乐县校级模拟）已知函数．
（1）若曲线在点，（1）处与轴相切，求的值；
（2）求函数在区间上的零点个数．
43．（2024•天津模拟）已知函数，且．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且存在三个零点，，．
求实数的取值范围；
设，求证：．
44．（2024•郑州一模）设函数．
（1）当时，证明：；
（2）证明：．
45．（2024•吉林模拟）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上．
（1）当顶点在轴上方时，求以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；
（2）已知函数，关于的方程有两个不等实根，．
求实数的取值范围；
证明：．
一十二．利用导数研究曲线上某点切线方程（共7小题）
46．（2024•永寿县校级模拟）已知函数，则曲线在点，处的切线方程为
A．B．C．D．
47．（2024•四川模拟）若直线与曲线相切，则
A．B．C．D．
48．（2024•内江一模）函数在，（1）处的切线如图所示，则（1）（1）
A．0B．C．D．
49．（2024•北京模拟）曲线在点处的切线方程是 ．
50．（2024•乐山模拟）曲线在处的切线方程是 ．
51．（2024•自贡模拟）若曲线的一条切线为，则 ．
52．（2024•浑南区校级模拟）已知曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，则 ．
一十三．不等式恒成立的问题（共3小题）
53．（2024•内江一模）已知，且，，都是正数．
（1）求证：；
（2）是否存在实数，使得关于的不等式对所有满足题设条件的正实数，，恒成立？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由．
54．（2024•林芝市一模）已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
55．（2024•自贡模拟）设．
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
六、易错分析
易错点一、忽视函数的定义域致错
1．函数y＝－eq \f(1,x)＋3ln x的单调递增区间为________．
易错点二、复合函数求导运算不对致错
2．设函数f(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)，其中常数φ满足－πf(c)
B．函数f(x)在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值
C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D．函数f(x)的最小值为f(d)