专题27 相似模型之托勒密定理与不等式--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)

这是一份专题27 相似模型之托勒密定理与不等式--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)，文件包含2025年中考数学几何模型综合训练通用版专题27相似模型之托勒密定理与不等式模型解读与提分精练教师版docx、2025年中考数学几何模型综合训练通用版专题27相似模型之托勒密定理与不等式模型解读与提分精练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc10900" PAGEREF _Tc10900 \h 2
\l "_Tc14096" 模型1.托勒密（定理）模型 PAGEREF _Tc14096 \h 2
\l "_Tc8659" 模型2.托勒密不等式模型 PAGEREF _Tc8659 \h 6
\l "_Tc27031" PAGEREF _Tc27031 \h 7
模型1.托勒密（定理）模型
托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证：．

证明：如图，在BD上取一点P，使其满足．
∵，∴，，即①
又，，∴，，．②
= 1 \* GB3 ①+②，有．
即，故．
特例：（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，根据托勒密定理有：，
又等边△ABC有AB=AC=BC， 故：．

特例：（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图2，根据托勒密定理：，
又，代入可得结论：．
特例：（3）当△ABC是一般三角形时，如图2，根据托勒密定理可得：
又BC：AC：AB=a：b：c，代入可得结论：．
例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（ ）

A．B．C．D．
例2．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为( )
A．B．C．D．
例3．（2023·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：
克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作，交于点.，
（依据1），（依据2），
，，.
，，即，
，，
．

任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______．
(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．
(3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长．
例4．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O．
(1)连接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，则△DBC的形状为 ．
(2)在(1)的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若，∠DAB＝∠ABC＝90°，点P为上的一动点，连接PA，PB，PD，求证：PD＝PB+PA．
例5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．②原题中 ．
【深入思考】（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．
（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．
（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．

例6．（2024·山东德州·一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．
(3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果）
(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？
例7．（2024·浙江温州·三模）如图，已知圆内接，点D为圆上一点且，连接AD交于点E．(1)求证：；(2)设，．
①求证：；②若，求的值．（用含m、k的代数式表示）
模型2.托勒密不等式模型
托勒密不等式模型：对于任意凸四边形ABCD，有

证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，
易证△ABE∽△ACD，∴，即①，
连接DE，如图2，∵，∴，又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，
∴△ABC∽△AED，∴，即②，
将①+②得：，∴
即，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．
例1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，线段BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为（ ）
A．6B．6C．4＋2D．3
例2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C满足，，以BC为斜边作等腰直角三角形，连接，则的最大值为（ ）

A．B．C．4D．8
例3．（2023·广东河源·三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图，点为坐标原点，的半径为，点．动点在上，连接，作等边（，，为顺时针顺序），求的最大值；
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边，连接．（）请你找出图中与相等的线段，并说明理由；（）线段的最大值为 ．
【灵活运用】（）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点的坐标．
【迁移拓展】（）如图③，，点是以为直径的半圆上不同于的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值．
1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，点P为正方形的外接圆O的上一点，连接，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形内接于，点是弧的中点，则的长为 ．
3．（2024·天津·校考一模）如图，在△ABC中，AD=，CD=，∠ACB=90°，AC=2BC，则BD的最大值为
4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，、、、是上的四个点，．
(1)判断的形状，并证明你的结论．(2)求证：．
(3)若，点P是弧上一动点（异于点，），求的最大值．
5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）【基础巩固】如图1，内接于，若，弦，则半径______；
（2）【问题探究】如图2，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点（不与点，点重合）．求证：；
（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段、、）和一条道路劣弧CD围成，已知千米，，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．

6．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
7．（23-24九年级上·江苏南京·期末）问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形．
初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称： ， ．
（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形．
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．
小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：
在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用：如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的长．
8．（2023·湖南·一模） 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”。（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．
（2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根，求线段BD的长度．
（3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大值．
9．（2024·山西大同·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：托勒密（Ptlemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB•CD＝AC•BE
∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）∴AD•BC＝AC•ED
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．
10．（23-24九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形是的内接四边形 求证：

证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得
又∵ ∴ ∴ ∴，
又，
∴ ∴ ∴，∴
∴ ∴ 即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．
11．（2024·河南南阳·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，_____．求证：______．
证明：如图2，作，交BD于点E，……
∴∽，∴，……
∴∽，∴，
∴．
(1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；
(2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长．
12．（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形内接于，对角线，相交于点．

(1)如图1，求证：．(2)如图2，为线段上一点，，
①求证：；②求证：
(3)如图3，当，，，时，求（用，表示）．
13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当A、B、C、D四点共圆时，有．
【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：．
证明：在上取点E，连接，使．
∵，∴______，∴，∴①，
∵，∴，即，
又∵，∴，∴，
∴______②，得，即______．
【直接应用】（2）如图2，为的直径，，，，求的长；
【拓展应用】（3）如图3，在四边形中，，，，，则DB的最大值为______；
【灵活运用】（4）如图4，在等腰三角形中，，，点D在底边上，且，将三角形沿着AD所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为______．
14．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）【问题提出】（1）如图1，四边形内接于，，，连接，则的度数为______．
【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，，连接，将绕点顺时针旋转到的位置，若，求四边形的面积；
【问题解决】（3）如图3，若是一个半径为的圆形荷花池，AB和AD是荷花池上的两座长度相等的小桥，且，现要在荷花池上再修建三座小桥、和CD，为使游客更好地欣赏荷花，要求这三座小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即的最大值）．
15．（2024·广东佛山·一模）（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若是圆内接正三角形的外接圆的上任一点，则，在上截取，连接，可证明是_______（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到，再进一步证明_______，得到，可证得：．
（2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若是圆内接正四边形的外接圆的上任一点，则 °，分别过点作于、于．
（3）写出与之间的数量关系，并说明理由．
16．（23-24九年级下·浙江·期末）如图，是外接圆的直径，O是圆心，的平分线交于点D．（1）若的半径为5，，求．（2）若，求．
（3）探究，直接写出三条线段之间的数量关系．
17．（2024·山东淄博·二模）已知，内接于，平分交边于点E，连接．
(1)如图1，过点D作直线，求证：是的切线：
(2)小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段之间存在着一种数量关系；
【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当时，线段之间满足数量关系
【推理证明】延长AC到点P使得 平分
又
为正三角形
【类比探究】如图2，当时，试猜想线段之间满足的数量关系，并证明你的结论；
【一般归纳】如图3，当时，试猜想线段之间满足的数量关系（用含有的三角函数表示），并证明你的结论；
【拓展应用】如图4，过点E作，垂足为G，过点E作，垂足为H，求证：．
18．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．（1）如图1，若四边形是圆美四边形，则美角______度．
（2）在（1）的条件下，若的半径为10．①求的长．②如图2，在四边形中，若平分，求证：．（3）在（1）的条件下，如图3，若是的直径，用等式直接写出线段，，之间的数量关系．
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 ．