2024-2025学年黑龙江省大庆石油高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省大庆石油高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过点A（-1，0）和，则l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.等差数列{an}满足a3+a4=4，a7+a8=8，则a11+a12=（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
3.等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ）
A. 1B. C. 2D.
4.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2=（ ）
A. -10B. -6C. 4D. -4
5.设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=2|PF2|，∠F1PF2=，则椭圆离心率的值为（ ）
A. B. C. D.
6.由直线上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，点E是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回.某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概
率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线y=ax-3a+2（a∈R）必过定点（3，2）
B. 点（1，1）关于直线x-y+1=0对称的点是（3，4）
C. 直线的斜率为
D. 点（1，2）到2x-y+3=0的距离是
10.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线C的焦点坐标是（2，0）
B. x1x2=4
C. 若x1+x2=5，则|AB|=7
D. 若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
11.数列{an}前n项和为Sn，且满足a1=1，，则（ ）
A. a4=-1
B.
C.
D. 数列{（-1）nan}的前2n项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1的中点，则点M到平面A1BD的距离为______.
13.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M是抛物线C上的一动点，点A（5，1），则|MA|+|MF|的最小值为______.
14.已知等差数列{an}的前n项和是Sn，S8＞0，S9＜0，则数列中最小的项为第______项.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知等差数列{an}中，a2=3，a7=8.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题12分)
已知圆心为C的圆经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线l：x+y-1=0上，求：
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）若过点（0，5）的直线被圆C所截得弦长为8，求该直线的方程.
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知椭圆过点，离心率.A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，F1、F2分别为左、右焦点，直线l交椭圆C于M、N两点（l不过点A2）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q为椭圆C上（除A1、A2外）任意一点，求证：直线QA1和QA2的斜率之积为定值；
（3）若直线MA2与直线NA2的斜率分别是k1、k2，且，求证：直线l过定点.
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.C
5.B
6.A
7.A
8.A
9.ACD
10.ABD
11.ABD
12.
13.6
14.5
15.解：（1）由a2=3，a7=8可得公差，
所以an=a2+（n-2）×1=n+1．
（2），
所以．
16.解：（1）已知圆心为C的圆经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线l：x+y-1=0上，
设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，得到圆心坐标为（a,b），半径为r,
将A与B坐标代入圆方程得：（-1-a）2+（1-b）2=r2，
（-2-a）2+（-2-b）2=r2，
消去r,整理得：a+3b+3=0①，
将圆心坐标代入x+y-1=0得：a+b-1=0②，
联立①②解得：a=3，b=-2，
r2=（-1-3）2+（1+2）2=25，
则圆C的标准方程为（x-3）2+（y+2）2=25；
（2）若过点（0，5）的直线被圆C所截得弦长为8，
当直线的斜率存在时，设过点（0，5）的直线kx-y+5=0，
∵圆C半径为5，弦长为8，
∴圆心到直线kx-y+5=0的距离，
由，解得，
∴直线方程为，即20x+21y-105=0；
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0，
直线与圆C的交点坐标为（0，2），（0，-6），
直线被圆C所截得的弦长为8；
故直线的方程为x=0或20x+21y-105=0．
17.解：(1) 证明：取PD中点为M，连ME，MF．
∴ME是△PCD的中位线，
∴ME平行且等于．
∵F是AB中点且ABCD是菱形，
∴AB平行且等于CD，
∴ME平行且等于．
∴ME平行且等于FB
∴四边形MEBF是平行四边形．从而 BE∥MF．
∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
(2) 证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，
∴DF⊥PA．连接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
(3) 解：建立如图所示的坐标系，则P（0，0，1），C（，3，0），D（0，2，0），F（，，0）
由(2)知DF⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量
设平面PCD的一个法向量为
由，且由
在以上二式中令，则得x=-1，，
∴．
设平面PAB与平面PCD所成锐角为θ，则csθ==
故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°．
18.解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+1，
整理得：Sn+1+1=2（Sn+1），
故数列{Sn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
所以，
整理得，
所以．
（2）由（1）得：，
所以，①，
，②，
①-②得：，
整理得．
19.（1）解：由题意知，，即a=2c,
所以b2=a2-c2=3c2，
所以椭圆C的方程为，
将点代入椭圆C的方程，有，解得c=1，
故椭圆C的方程为．
（2）证明：由（1）知A1（-2，0），A2（2，0），
设点Q（x0，y0）（x0≠±2），则，
所以，
所以，为定值．
（3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），

易知直线l的斜率不为0，设其方程为x=my+t（t≠2），
联立，可得（3m2+4）y2+6mty+3t2-12=0，
由Δ=36m2t2-4（3m2+4）（3t2-12）＞0，得t2＜3m2+4，
所以y1+y2=-，y1y2=，
因为，所以，即4y1y2+9（my1+t-2）（my2+t-2）=0，
整理得（4+9m2）y1y2+9m（t-2）（y1+y2）+9（t-2）2=0，
所以，
因为t-2≠0，
所以，化简可得16t-16=0，解得t=1，
故直线MN的方程为x=my+1，恒过定点（1，0）．