新高考数学二轮复习能力提升练习32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（2份，原卷版+解析版）

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一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式
1.如图1所示，、是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记，则的面积.
证明：如图，由余弦定理知． ①
由椭圆定义知：， ②
则②·2－①得，．
当时，．
2.如图2所示，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积.
证明：如图，由余弦定理知，
，
，
，，
∴．
当时，．
二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率
1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比.
公式：
2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比.
公式：.
二、题型精讲精练
【典例1】设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则的面积为________.
【解析】由焦点三角形面积公式，.
【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为________.
【解析】由焦点三角形面积公式，.
【典例3】（2018·新课标Ⅱ卷）已知、是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若，且，则C的离心率为（ ）
A.B.C.D.
【解析】解法1：如图，， ，故可设，则，，
所以C的离心率.
解法2：如图，.
【典例4】已知、是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，且，则双曲线C的离心率为_______.
【解析】解法1：如图，由题意，不妨设，则，，
所以.
解法2：如图，由题意，，，所以.
【题型训练-刷模拟】
1.椭圆中的焦点三角形
①离心率公式的直接应用
一、填空题
1.设、是椭圆的左、右焦点，P在C上且轴，若，则椭圆C的离心率为_______.
2.在中，，，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______.
3.过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_______.
4.在中，，，且，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.
5.在中，，，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______.
6.设、是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，，则椭圆C的离心率为_______.
7.在中，，，，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率为_______.
8.过椭圆的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_______.
9.设、是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，，则椭圆C的离心率为_______.
10.设、是椭圆的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆的4个交点和、恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______.
11.已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为_______.
②综合应用
一、单选题
1．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
2．已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，则内切圆半径的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点在椭圆上，点分别为椭圆的左､右焦点，并满足面积等于4，则等于（ ）
A．2B．4C．8D．16
5．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
8．，是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的4倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A．B．C．D．
10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．已知，分别是椭圆E：（）的左、右焦点，点M在椭圆E上，，的面积为，则椭圆E的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为 ．
14．为椭圆上的一点,和是其左右焦点,若,则的面积为 .
15．设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则 ．
16．已知点是椭圆上的点，点是椭圆的两个焦点，若中有一个角的大小为，则的面积为 ．
17．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为 ．
18．已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为 .
19．已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，若，且的面积为，则的方程为 ．
20．是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆的离心率为 .
21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
2.双曲线中的焦点三角形
①离心率公式的直接应用
一、单选题
1.已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
二、填空题
2.已知、是双曲线的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.
3.已知、是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，，则双曲线C的离心率为_______.
4.已知、是双曲线的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是正三角形，则双曲线C的离心率为_______.
5.过双曲线的左焦点F作x轴的垂线交C于A、B两点，若是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.
②综合应用
一、单选题
1．已知：双曲线的左、右焦点分别为，，点为其右支上一点，若，则的面积是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6B．12C．D．
4．设F1，F2是双曲线C:的两个焦点，P是双曲线C上一点，若，且△PF1F2的面积为9，则C的离心率等于（ ）
A．B．2C．D．
5．设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上的一点（不同于左，右顶点），且，则的面积是（ ）
A．2B．3C．D．
9．设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（ ）
A．11B．12C．14D．16
10．已知过双曲线的左焦点的直线分别交双曲线左､右两支于两点，为双曲线的右焦点，，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．C．D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．若双曲线的左､右焦点分别为，点M在双曲线上，若的周长为20，则的面积等于 .
13．双曲线上一点与两焦点，的连线互相垂直，则的面积是 .
14．双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为 .
15．已知双曲线的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为 ．
16．椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点，P为它们的一个公共点，且，则椭圆的离心率为 .
17．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 ．