新高考数学二轮复习能力提升练习16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（2份，原卷版+解析版）

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1.正弦定理
.（其中为外接圆的半径）
（边化角）
（角化边）
2.余弦定理：

3.三角形面积公式：
=
4.三角形内角和定理：
在△ABC中，有.
5.基本不等式（优先用基本不等式）
①
②
6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
二、题型精讲精练
【典例1】若，，求的最大值．建议使用两种方法来解决：
法一：余弦定理＋不等式．
法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．
【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得最大值；
方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值.
解：方法一：由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
（当且仅当时取等号），的最大值为；
方法二：由正弦定理得：，
；
，，，，
，的最大值为.
【典例2】若，，求周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：
法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．
法二：正弦定理＋辅助角公式．
【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据可求得的最大值，结合三角形三边关系可求得结果；
方法二：利用正弦定理角化边，可将化为，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果.
解：方法一：由余弦定理得：，
又（当且仅当时取等号），，
解得：（当且仅当时取等号），
又，，周长的取值范围为；
方法二：由正弦定理得：，
，
，，，，
即周长的取值范围为.
【题型训练1-刷真题】
1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
2．（2020·全国·统考高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定理，
∴，
即，
即，即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.即的取值范围是.
【题型训练2-刷模拟】
1.面积的最值（范围）问题
一、解答题
1．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，满足.
(1)求角；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理边角化即可求解，
（2）由面积公式以及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由可得：，
由余弦定理知，，
又，因此.-
（2）∵ ，即 ，
∴ ≥
∴ab≥，当且仅当b=2a，即a=，b=取等号
∴=≥
∴△ABC面积的最小值为
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得，根据余弦定理求的余弦值，进而确定其大小；
（2）由已知和余弦定理得，再由求面积最大值，注意取值条件.
【详解】（1）由已知，
即，由正弦边角关系得，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，得，又，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，故的面积的最大值为.
3．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知内角所对的边长分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；
（2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.
【详解】（1）由余弦定理得，即，
所以，又，则.
（2）法一：为锐角三角形，，则，
所以，可得，
又，则，故
由，即而，
所以，故面积的取值范围为.
法二：由，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，
点落在线段（端点除外）上，
当时，，
当时，，
.
4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求∠C.
(2)若，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合正余弦定理分析运算；
（2）根据题意利用正弦定理可得，结合基本不等式解得，进而可得结果.
【详解】（1）因为，
即，
整理得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
且，可得
（2）因为，由正弦定理可得，
整理得，当且仅当时，等号成立，
解得，
则面积，
所以面积的最小值为.
5．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．
(1)求角的值；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等变换可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可求得的最大值.
【详解】（1）解：因为，
所以，
，且，
由正弦定理可得，
即，
因为，则，则，
又因为，故.
（2）解：由余弦定理，可得.
当且仅当时取得等号，所以.
所以，面积，
所以，面积的最大值为．
6．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦，利用正弦定理将已知等式统一用角表示，再利用两角和与差的正、余弦公式整理可得角.
（2）把的面积表示为的形式，代入已知量利用正弦定理将面积统一用角、表示，再利用角、的关系消元转化为求一元函数的值域.
【详解】（1）解：根据题意，
由正弦定理得，
，
，故，
.
（2）因为是锐角三角形，由（1）知得到，
故，解得.
又由正弦定理得：
又，
故.故的取值范围是
7．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，D为边上一点，平分．
(1)求角A；
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用题给条件和正弦定理余弦定理即可求得角A；
（2）利用题给条件求得，再利用均值定理求得最小值，进而求得面积的最小值．
【详解】（1）由，可得，
整理得，则，
又，则.
（2）过点D作于E，作于F，
又，则，
则，
则，又（当且仅当时等号成立），
则，则，
则（当且仅当时等号成立），
则面积的最小值为．
8．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系将切化弦得到，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出，由对数的运算性质及诱导公式得到，即可求出的取值范围，在结合三角形面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，所以．
在中，，所以，则．
因为，所以．
（2）由及正弦定理得，
所以．
由余弦定理得，
所以，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，则，
所以，因为的面积为，
所以面积的取值范围是．
9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为.
(1)若外接圆的半径为，求面积的最大值；
(2)若内切圆的半径为，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件可得角，用面积公式表示出面积，用余弦定理找到、的关系式，然后用基本不等式即可求解；
（2）求得角后，由内切圆的半径为，可得边长的关系式，然后用基本不等式化和为积，进而解不等式即可求解.
【详解】（1）由得，，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
由外接圆的半径为，则得，
由余弦定理得，，即，
所以，解得
所以，故面积的最大值为.
（2）如图，圆是的内切圆，切点分别是、、，

由，内切圆的半径为，所以，
则，，
所以，
即得，
而，所以，
所以，解得舍去），
所以，
故面积的最小值为.
10．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出，结合，即可得出答案；
（2）由得出，由余弦定理得出，再由及得出，结合三角形面积公式，即可得出面积的范围．
【详解】（1）因为，
所以．
由余弦定理得．
因为，
所以．
（2）由及正弦定理，得，
所以，
由余弦定理得，，
所以
当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，则，
所以，
因为的面积为，
所以面积的取值范围是．
11．（2023·江西·校联考二模）在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可；
（2）由题知，进而结合正弦定理得，再根据面积公式，结合三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）解：因为
所以
整理可得，
所以，由正弦定理可得：.
由余弦定理知，，
因为，所以
（2）解：由（1）知，，所以，
又是锐角三角形，
所以，且，解得，
因为，由正弦定理知：，，
所以
所以
因为，
所以，所以
所以，面积的取值范围为.
12．（2023·广东茂名·统考二模）已知中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，点、在边上，，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 用余弦定理将用边表示后，再用余弦定理即可求得角；
（2），用面积公式将的面积表示为角的函数进行求解.
【详解】（1）因为，由余弦定理，得，
化简整理得：，
由余弦定理，得，
因为，所以，即角的大小为.
（2）如图：

设，
在中，由正弦定理，得，
由（1）和可知，，，
所以，在中，同理可得，
因为，所以
，
因为，所以，
所以当，即时面积取得最小值为.
13．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解；
方法二：利用余弦定理化角为边，即可得解；
（2）利用余弦定理结合已知及基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）方法一：由，
根据正弦定理边化角得：，
即，所以，
因为，所以，又，所以，
又，所以；
方法二：由，
根据余弦定理：得，
即，
因为，所以，
所以，又，得；
（2）由（1）及余弦定理知，
所以，
因为，
所以，化简得，
因为，，所以，，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的面积，
所以面积的最大值为.
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
(1)求A；
(2)点D在边上，且，，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边再结合余弦定理求得A即可；
（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可.
【详解】（1）∵，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）根据题意可得，
所以平方可得．
又，所以，
当且仅当，时，等号成立，
所以，
即面积的最大值为．
15．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若，求三角形ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根据平方关系求出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
所以，所以；
（2），故，
则，
则，
当时，，
所以三角形ABC面积的最大值为．
16．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求；
(2)若，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出，即可求得的值；
（2）分析可知、均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值.
【详解】（1）解：，
.
由正弦定理得.
.
因为，则，
，，
则，
所以，，即，
所以，，
，即.
（2）解：由（1）得.
若，则、均为钝角，则，矛盾，
所以，，，此时、均为锐角，合乎题意，
，
当且仅当时，等号成立，且为钝角.
，则，且为锐角，
由，解得，即，
当且仅当时，等号成立，
，.
因此，面积的最小值为.
2.周长（边）的最值（范围）问题
一、解答题
1．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.
(1)求；
(2)若，求周长的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）利用正弦定理边角互化即可求解；
（2）利用余弦定理结合均值不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，，所以，即有，
又因为，所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理可得，
当时，等号成立，所以，
故周长的最小值9.
2．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小．
(2)若，求c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可得，结合余弦定理即可求解；
（2）根据正弦定理结合两角和的正弦公式，即可由得，即可求解.
【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得，
即．整理得．
由余弦定理，得．
又因为，所以．
（2）由正弦定理，得．
又，，所以．
因为为锐角三角形，所以 解得．
所以，则，
所以，即c的取值范围为
3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形中，，若，的面积为．
(1)求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
【答案】(1)
(2)周长的最大值为
【分析】（1）由的面积求得，再由余弦定理求的长；
（2）与已知，由余弦定理求的最大值，即可得四边形周长的最大值．
【详解】（1）在中，由题意有，解得，
又由余弦定理得， 所以 ．
（2），，设，
四边形周长设为，则，由题可知，，
在中，由余弦定理得( ，
则 所以，即 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，即四边形周长的最大值为
4．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角，，的对边分别是，，，满足．
(1)求角的大小；
(2)若的外接圆半径为，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根据三角形内角和定理结合三角函数即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，即，
所以，所以，
又因，所以；
（2）因为的外接圆半径为，
所以，
所以，
则，
由三角形为锐角三角形，，得，则，所以，
所以周长的取值范围为.
5．（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求BC边上的高AD的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解；
（2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解.
【详解】（1）根据正弦定理可得，
又，∴．
∵,∴．
（2），∴，
当且仅当时取等号.
∵，∴，
∴，
∴，∴AD的最大值为.
6．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=.
(1)当 时，求的面积;
(2)求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论可求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得出结论；
（2）由余弦定理及已知条件可得，利用基本不等式可得，解得，从而可求得周长的最大值.
【详解】（1）由，得 ，
即，
即，
当 时，，得;
当时，，由正弦定理得，
由余弦定理及已知条件可得，
联立. 解得，
故三角形的面积为.
（2）法一：由余弦定理可得:，
由得，当且仅当a=b取等号.
又，即.
即周长的取值范围是.
法二:，
中，由正弦定理有，
.
即周长的取值范围是.
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角的内角和定理，利用正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，结合锐角三角形求出角的范围及正切函数的性质即可求解.
【详解】（1）由及余弦定理，得，
由锐角，知，
所以．
（2）由（1）知，得，故，
由正弦定理，得，
由为锐角三角形得解得，
∴，
∴．故的取值范围为.
8．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）在中，内角A、、所对的边分别为、、，已知．
(1)求角A的大小；
(2)点为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换化简即可；
（2）利用正弦定理将线段比值转化为关于C的三角函数值计算范围即可.
【详解】（1）由，结合正弦定理可得：
因为，所以即，
所以，而，所以；
（2）
由知:，所以，即
在中，有，，
由正弦定理可得：
所以
由可得，所以.
9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，转化为角的三角函数，再由的取值范围，求出的范围.
【详解】（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，所以的取值范围为.
10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求B；
(2)若的面积等于，求的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解；
（2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
∵，所以，
所以，∴；
（2）解：依题意，∴ac＝4，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以的周长最小值为．
11．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.
（2）结合正弦定理以及三角恒等变换的知识将三角形的周长表示为三角函数的形式，通过三角函数值域的求法求得三角形的周长的取值范围.
【详解】（1）由，
得，
由正弦定理得，
所以，
又因为，所以，
由于，所以角；
（2）由（1）知，所以，则，
由正弦定理：得，
所以，．
所以
．
因为，所以．
所以．
所以，
所以周长的取值范围为．
12．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.
【答案】(1)7
(2)2＋.
【分析】（1）由等差数列的性质把用表示，然后由余弦定理可求得；
（2）设B＝θ，求出外接圆半径后由正弦定理把用表示，从而把三角形周长表示为的函数，由三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数后，利用正弦函数性质得最大值．
【详解】（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2，
∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，
∵C＝，由余弦定理得
cs ＝＝＝－，
整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，
又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7.
（2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π，
解得R＝1，由正弦定理可得
＝＝＝2R＝2，
∴＝＝＝2，
可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝，
∴△ABC的周长＝2sin θ＋2sin ＋
＝2sin θ＋2sin cs θ－2cs sin θ＋
＝sin θ＋cs θ＋＝2sin ＋，
又θ∈，∴