新高考数学一轮复习考点讲与练5.2 三角函数的公式及应用（精讲）（2份，原卷版+教师版）

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一．同角三角函数的基本关系
1.平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
2.商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
3.公式变形：
sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α．
sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))．
二．三角函数的诱导公式
1.公式
2.诱导公式的记忆口诀
奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·eq \f(π,2)＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数．
“变”与“不变”是指函数的名称的变化．
“符号看象限”指的是在“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
三．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ
2．cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
3．sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ
4．sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ
5．tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
6．tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
四．二倍角公式
1．基本公式
(1)sin 2α＝2sinαcsα；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)．
2．公式变形
(1)降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α；
(2)升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))2；1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))2．
（3）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)
五．积化和差与和差化积公式
1．积化和差公式


2．和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2) sin α－sin β＝2cs eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)
cs α＋cs β＝2cs eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2) cs α－cs β＝－2sin eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)
一．常见的弦化切的结构形式
1.sinα、cs α的一次齐次分式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如\f(a sin α＋b cs α,c sin α＋d cs α))) ，解决此类问题时，用分子分母同时除以cs α，将其转化为关于tan α的式子，进而求解．
2.sin α，cs α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcs α＋c cs2α)，解决此类问题时，将原式看成分母是1的表达式，把1换成“sin2α＋cs 2α”，然后用分子分母同时除以cs 2α将其转化为关于tan α的式子，进而求解．
二．弦的和差积形式
对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
诱导公式
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
角的变换（角的拼凑）
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3.常见的互余关系有eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，
常见的互补关系有eq \f(π,6)－θ与eq \f(5π,6)＋θ，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等.
常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；
β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
五．三角函数式化简
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
六．证明三角函数恒等式
1.如果需证的三角函数恒等式中只含同角三角函数，则可以从变化函数入手，即尽量把等式中所含三角函数都化为正弦和余弦或全部化为某一函数，虽然能达到最终目标，但这种方法不一定最简单；
2.如果需证的三角函数恒等式中含有不同角的三角函数，则宜从角的简化入手，尽量化复角为单角，或者减少不同角，以便能使用某一公式进行变形；
3.在证明三角函数恒等式中，“1”出现的频率较高，则可把“1”代换为sin2α＋cs2α或tan 45°等．
考法一 同角三角函数公式的知一求二
【例1-1】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知是第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2023云南）已知α是三角形的内角，且tan α＝－ eq \f(1,3) ，则sin α＋cs α的值为________．
【一隅三反】
1．（2023广东揭阳）α是第四象限角，tan α＝－ eq \f(5,12) ，则sin α等于( )
A． eq \f(1,5) B．－ eq \f(1,5) C． eq \f(5,13) D．－ eq \f(5,13)
2．（2023安徽）(多选)若sin α＝ eq \f(4,5) ，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tanα＝ eq \f(4,3) B．cs α＝ eq \f(3,5)
C．sin α＋cs α＝ eq \f(8,5) D．sin α－cs α＝－ eq \f(1,5)
考法二 弦切互换
【例2-1】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知，则__________.
【例2-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知，则______.
【例2-3】（2023·江西赣州·统考二模）已知为锐角，满足，则________．
【一隅三反】
1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．-3B．C．D．
3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知，则的值是__________．
考法三 弦的和积转化
【例3-1】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）（多选）已知 ，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·北京）已知，且，则用表示的值为___________.
考法四 诱导公式
【例4-1】（2023·海南）__________.
【例4-2】（2022·北京·人大附中）若，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2022·陕西·西安中学）已知，则_______．
【一隅三反】
1．（2022·山东·烟台二中）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan(π＋1)＝tan 1B．eq \f(sin－α,tan360°－α)＝cs α
C．eq \f(sinπ－α,csπ＋α)＝tan αD．eq \f(csπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝1
3．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．3D．9
考法五 和差倍角公式的运用
【例5-1】（2023·吉林延边·统考二模）下列化简不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】化简：(1)sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)；(2)cs 15°＋sin 15°；(3)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),sin 80°)；(4)3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x.
【一隅三反】
1．（2020·湖北武汉·武汉市第一中学校考二模）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏南通）（多选）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·江苏·常州市第一中学）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．的值等于
B．若，则
C．
D．
考法六 角的拼凑
【例6-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】（2023·四川·校联考模拟预测）若为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【例6-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例6-4】（2022·湖南）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知，则（ ）
A．B．C．-D．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江西·校联考二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三课时练习）已知，，且，，求=
考法七 简单三角恒等变换
【例7-1】（2023·山西吕梁·统考三模）已知，则的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）若两个锐角，满足，则______.
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．6
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若，则（ ）
A．0B．C．1D．
3．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．－1C．D．
4．（2023·广东肇庆·统考二模）若，则__________.
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sinα
－sinα
sinα
csα
csα
余弦
cs α
－csα
csα
－csα
sinα
－sinα
正切
tan α
tanα
－tanα
－tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限