新高考数学二轮复习命题方向归类练习专题15 单调性问题（2份，原卷版+解析版）

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命题方向一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
命题方向二：求单调区间
命题方向三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
命题方向四：不含参数单调性讨论
命题方向五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
情形二：函数为准一次函数
情形三：函数为二次函数型
方向1、可因式分解
方向2、不可因式分解型
情形四：函数为准二次函数型
命题方向六：分段分析法讨论
【2024年高考预测】
2024年高考仍然重点利用导数研究函数的单调性问题，难度可为基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．
【知识点总结】
1、函数的单调性与导数的关系
2、利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性．
【方法技巧与总结】
1、若函数在上单调递增，则时，恒成立；若函数在上单调递减，则时，恒成立．
2、若函数在上存在单调递增区间，则时，有解；若函数在上存在单调递减区间，则时，有解．
【典例例题】
命题方向一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
例1．（2023·湖南·校联考二模）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）

A．B．
C．D．
例2．（2023·河北石家庄·高三校考期末）函数的图象如图，则导函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
变式2．（2023·山东济宁·高三校考阶段练习）如图是的图像，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【通性通解总结】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．
命题方向二：求单调区间
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．和
例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．，D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·云南昆明·昆明一中模拟预测）设a为实数，函数，且是偶函数，则的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出．
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线．
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．
命题方向三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
例7．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2023·河南安阳·高三校考期末）已知函数在区间单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·贵州黔南·高三阶段练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
变式5．（2023·高三单元测试）函数f(x)= 在上是单调函数的必要不充分条件是
A．B．
C．D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间是，则（ ）
A．3B．C．2D．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（2023·安徽·高三校联考期末）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式10．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．
命题方向四：不含参数单调性讨论
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增；
例11．（2023·江西赣州·高三校考开学考试）设函数
(1)证明：在上单调递增;
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)当时，求证：在上单调递减；
变式11．（2023·陕西咸阳·高三统考期中）已知.
（1）当时，求证：在上单调递减；
变式12．（2023·广东梅州·统考模拟预测）已知函数，证明：
（1）在区间单调递减；
【通性通解总结】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
命题方向五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
例13．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，其中.
(1)若，讨论的单调性；
例14．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
例15．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知函数．
(1)令，讨论在的单调性；
变式13．（2023·陕西咸阳·校考二模）已知函数.
(1)当，求的极值；
(2)讨论函数的单调性.
变式14．（2023·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
情形二：函数为准一次函数
变式15．（2023·河南许昌·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
变式16．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
变式17．（2023·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
变式18．（2023·北京·校考模拟预测）已知函数.
(1)求曲线过点的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)设时，讨论函数的单调性.
情形三：函数为二次函数型
方向1、可因式分解
变式19．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
变式20．（2023·江西宜春·高三校联考期末）已知函数．
(1)当，时，讨论函数的单调性；
变式21．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
变式22．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
变式23．（2023·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知函数.
(1)若的导函数为，试讨论的单调性；
方向2、不可因式分解型
变式24．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
变式25．（2023·贵州贵阳·高三统考阶段练习）已知函数
(1)若是的一个极值点，求的值；
(2)讨论函数的单调性.
变式26．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
变式27．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
变式28．（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
变式30．（2023·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知函数，()，
(1)当时，令函数，求的单调区间；
【通性通解总结】
1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3、利用草稿图像辅助说明．
情形四：函数为准二次函数型
变式31．（2023·四川泸州·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)若，试讨论在上的单调性；
变式32．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若，讨论函数的单调性；
变式33．（2023·福建宁德·高三统考期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
变式34．（2023·北京·高三北京四中校考期中）已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
变式35．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
变式36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（e为自然对数的底数，且）.
(1)讨论的单调性；
命题方向六：分段分析法讨论
例16．（2023·北京·高三专题练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：在上单调递增；
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
例18．（2023·福建龙岩·高三校联考期末）已知.
(1)若，求f（x）在的最大值；
(2)若，证明：在上单调递增.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)求证：在上单调递增；
变式38．（2023·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数
(1)求证：函数在上单调递增；
【通性通解总结】
1、二次型结构，当且仅当时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．
2、对于不可以因式分解的二次型结构，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负．
3、注意定义域以及根的大小关系．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·河南南阳·高三校考阶段练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．不存在这样的实数k
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河南三门峡·高三统考阶段练习）已知函数，若在上是单调减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西咸阳·高三陕西咸阳中学校考阶段练习）已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·广东深圳·高三统考阶段练习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）“”是“函数在区间内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023·河南·高三期末）函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数，对任意的，有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．是偶函数
D．在区间上是增函数
10．（2023·江苏苏州·高三校考期中）已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．当时，对于任意的，都有
D．函数的图像有条切线方程为
11．（2023·浙江金华·高三校考阶段练习）已知函数在上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·山东临沂·高三校考期末）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
13．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知是函数的导函数，写出一个同时具有下列性质①②③的函数________．
①定义域为；②对任意，；③的图象关于原点中心对称．
14．（2023·全国·模拟预测）设向量，满足，，若函数单调递增，则的取值范围为_____________．
15．（2023·浙江宁波·高三统考竞赛）已知实数满足，则_____．
16．（2023·安徽芜湖·高三统考期末）函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
四、解答题
17．（2023·宁夏银川·高三校考阶段练习）（1）若幂函数在单调递减，求实数值；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
18．（2023·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知函数，，．
(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
19．（2023·云南怒江·高三校考期末）已知函数，．
(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)根据的取值，讨论函数的单调性．
20．（2023·北京·高三北师大二附中校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.
21．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)若，是函数的极值点，证明：；
(2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围．
条件
恒有
结论
函数在区间上可导
f（x）在区间上单调递增
f（x）在区间上单调递减
f（x）在区间上是常数函数