
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江苏省南京市、盐城市2025届高三上学期期末调研考试 数学
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这是一份江苏省南京市、盐城市2025届高三上学期期末调研考试 数学,共11页。试卷主要包含了01, 313.14.等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分150分,考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第I卷(选择题 共58分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,计40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题纸的指定位置填涂答案选项.
1.已知集合S=(-1,1),集合T={y|y=sinx},则S∪T=
A.B.SC.TD.R
2.已知向量a=(1,m),b=(2,-1).若a⊥b,则实数m的值是
A.-2B.2C.-D.
3.设a为实数,则“a<1”是“(a-1)(a-2)>0”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.在(1+x)8的展开式中,系数为整数的项数是
A.9B.4C.3D.2
5.若函数f(x)=x2-2xsinα+1有零点,则cs2α的取值集合为
A.{-1,1}B.{0}C.{1}D.{-1}
6.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),若f(x)的图象经过点(0,1),且f(x)在[0,π]上恰有2个零点,则实数ω的取值范围是
A.[,+∞)B.[,)
C.[,)D.[,+∞)
7.第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行.本届航展规模空前,首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局,尽显逐梦长空的中国力量.航展共开辟了三处观展区,分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区.甲、乙、丙、丁四人相约去参观,每个观展区至少有1人,每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下,甲与乙不到同一观展区的概率为
A.B.C.D.
8.已知点F1,F2是椭圆Ω的两个焦点,P是椭圆Ω上一点,△PF1F2的内切圆的圆心为Q.若5+3+3=0,则椭圆Ω的离心率为
A.B.C.D.
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某体育器材厂生产一批篮球,设单个篮球的质量为X(单位:克).若X~N(600,σ2),其中σ>0,则
A.P(X<600)=B.P(592<X<598)<P(602<X<606)
C.P(X<595)=P(X>605)D.σ越小,P(X<598)越大
10.设z1,z2为复数,则下列说法中正确的有
A.|z1|+|z2|=|z1+z2|B.+=
C.若|z1|=|z2|,则z=zD.若z<0,则z1为纯虚数
11.已知曲线C:x3+y3=1,则
A.曲线C关于直线y=x对称
B.曲线C关于原点对称
C.曲线C在直线x+y=0的上方
D.曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于
第II卷(非选择题 共92分)
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上.
12.函数f(x)=x2+lnx的图象在点(1,1)处的切线的斜率为 ▲ .
13.已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,点E满足=.设三棱锥P-ACE和四棱锥P-ABCD的体积分别为V1和V2,则的值为 ▲ .
14.已知等差数列{an}的公差不为0.若在{an}的前100项中随机抽取4项,则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为 ▲ .(用最简分数作答)
四、解答题:本大题共5小题,计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中,AB=6,BC=5.
(1)若C=2A,求sinA的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,csA=,求ΔABC的面积.
16.(本小题满分15分)
如图,在所有棱长都为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,点E是棱AA1的中点,AB1⊥CE.
(1)求证:平面A1ABB1⊥平面ABC;
(2)若∠A1AB=,点P满足=3,求直线CP与平面A1ABB1所成角的正弦值.
17.(本小题满分15分)
已知点F1,F2分别为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点F1到双曲线E的渐近线的距离为2,点A为双曲线E的右顶点,且AF1=2AF2.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)若四边形ABCD为矩形,其中点B,D在双曲线E上,求证:直线BD过定点.
18.(本小题满分17分)
设函数f(x)=ax+ka-x(k∈R,a>0,a≠1).
(1)当k=4时,求f(x)的最小值;
(2)讨论函数f(x)的图象是否有对称中心.若有,请求出;若无,请说明理由;
(3)当k=0时, x∈(-∞,)都有f(x)≤,求实数a的取值集合.
19.(本小题满分17分)
若数列{an}满足:对任意n∈N*(n≥3),总存在i,j∈N*,使得an=aiaj(i≠j,i<n,j<n),则称{an}是融积数列.
(1)断数列{e2n}是否为融积数列,并说明理由;
(2)若等差数列{an}是融积数列,求{an}的通项公式;
(3)若融积数列{an}单调递增,a1=2,a2=8,求使an=2123成立的n的最值.
盐城市、南京市2024-2025学年度第一学期期末调研考试
高三数学参考答案 2025.01
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.C 2.B3.A 4.C
5.D6.B7.A8.D
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分,部分选对得部分分,不选或有错选的得0分.
9.AC10.BD11.ACD
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 313.14.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
解:(1)因为C=2A,所以sinC=sin2A=2sinAcsA,
所以csA=.
在△ABC中,由正弦定理得=,
而AB=6,BC=5,所以csA==.
因为A∈(0,π),所以sinA===.
(2)在△ABC中,因为csA=,所以sinA===.
由正弦定理得=,所以sinC=sinA=×=.
因为△ABC为锐角三角形,所以csC===,
所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sinAcsC+csAsinC=×+×=.
所以△ABC的面积SΔABC=×AB×BC×sinB=×6×5×=.
16.(本小题满分15分)
(1)证明:取AB的中点O,连接EO,A1B,OC.
因为E为AA1中点,O为AB中点,所以EO//A1B.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,则四边形ABB1A1是菱形,得AB1⊥A1B,
则AB1⊥EO,又AB1⊥CE,EO∩CE=E,EO,CE平面EOC,
所以AB1⊥平面EOC.
又因为OC平面EOC,所以OC⊥AB1.
因为ΔABC是等边三角形,O为AB中点,所以OC⊥AB.
又因为OC⊥AB1,AB∩AB1=A,AB,AB1平面A1ABB1,
所以OC⊥平面A1ABB1.
又因为OC面ABC,
所以平面A1ABB1⊥平面ABC.
(2)解:连接A1O.
因为∠A1AB=,AB=AA1,所以△A1AB是等边三角形,所以A1O⊥AB.
又因为平面A1ABB1⊥平面ABC,平面A1ABB1∩平面ABC=AB,
所以A1O⊥平面ABC.
如图,以O为原点,OC、OB、OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
则O(0,0,0),C(,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,),B1(0,2,).
设C1(x,y,z),又=,解得C1(,1,),
则=+=(-,,).
平面A1ABB1的一个法向量n=(1,0,0),所以cs<,n>==-.
设直线CP与平面A1ABB1所成角为θ,
则sinθ=|cs<,n>|=.
17.(本小题满分15分)
解:(1)设焦距为2c,则F1(-c,0),
故点F1到双曲线E的渐近线bx±ay=0的距离为=b=2.
由AF1=2AF2,知c+a=2(c-a),得c=3a.
又因为c2=a2+b2,所以(3a)2=a2+8,解得a2=1.
所以双曲线E的标准方程为x2-=1.
(2)证明:①当直线BD的斜率不存在时,
由AB⊥AD可得直线BD的方程为x=-.
②当直线BD的斜率存在时,设直线BD的方程为y=kx+m,B(x1,y1),D(x2,y2),
联立得(8-k2)x2-2kmx-m2-8=0.
当时,x1+x2=,x1x2=-.
因为四边形ABCD为矩形,所以AB⊥AD,
所以·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
所以(x1-1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1=0,
所以-++=0,
所以7m2-2km-9k2=0,
所以(m+k)(7m-9k)=0,所以m=-k或m=k.
当m=-k时,直线BD的方程为y=kx-k=k(x-1),恒过定点A(1,0),不合题意,舍去.
当m=k时,直线BD的方程为y=kx+k=k(x+),恒过定点(-,0).
综上①②,直线BD恒过定点(-,0).
18.(本小题满分17分)
解:(1)当k=4时,f(x)=ax+4a-x≥2=4(当且仅当ax=4a-x,即x=lga2时取等号),
所以,当x=lga2时,f(x)取最小值4.
(2)设点P(m,n)为函数f(x)的对称中心,则f(x)+f(2m-x)=2n,
所以ax+ka-x+a2m-x+ka-2m+x=2n,即ax(1+ka-2m)+a-x(k+a2m)=2n,
所以a2x(1+ka-2m)-2nax+(k+a2m)=0,
于是1+ka-2m=0,且k+a2m=0,且2n=0,
即a2m=-k,n=0
所以当k≥0时,m无解,此时函数f(x)的图象没有对称中心;
当k<0时,m=lga(-k),此时函数f(x)图象的对称中心为P(lga(-k),0).
(3)当k=0时,f(x)=ax,所以ax≤在(-∞,)上恒成立,即xlna+ln(1-2x)≤0.
令φ(x)=xlna+ln(1-2x),则φ(0)=0,
所以φ'(x)=lna-,φ''(x)=-<0,
所以φ'(x)在(-∞,)上单调递减,
①当0<a<1时,φ'(x)<0,则φ(x)在(-∞,)上单调递减,
此时当x<0时,φ(x)>φ(0)=0,舍去;
②当a>1时,由φ'(x)=lna-=0,解得x=-<.
1°当a=e2时,-=0,
所以x∈(-∞,0)时,φ'(x)>0,则φ(x)单调递增;
x∈(0,)时,φ'(x)<0,则φ(x)单调递减;
所以x=0时,φ(x)取极大值,则φ(x)≤φ(0)=0,
所以a=e2满足;
2°当1<a<e2时,-<0,
因为x∈(-,)时,φ'(x)<0,则φ(x)单调递减,
所以x∈(-,0)时,φ(x)>φ(0)=0,舍去;
3°当a>e2时,->0,
因为x∈(-∞,-)时,φ'(x)>0,则φ(x)单调递增,
所以x∈(0,-)时,φ(x)>φ(0)=0,舍去;
综上,实数a的取值集合为{e2}.
19.(本小题满分17分)
解:(1){e2n}是融积数列,下证明.
设bn=e2n,当n≥3时,取i=1<j=n-1<n,则bibj=e2ie2j=e2e2n-2=e2n=bn,
即存在i,j∈N*,i≠j,i<n,j<n,使得bn=bibj,
则{e2n}是融积数列.
(2)设等差数列{an}的公差为d.
又{an}是融积数列,所以对任意的n∈N*(n≥3),总存在i,j∈N*,使得an=aiaj(i≠j,i<n,j<n),则a3=a1a2.
考察a4,有下列三情况:
①若则或;
②若则或;
③若则或或;
由①②③得an=0,或an=1,或an=-n+.
对于an=0,取i=1<j=n-1<n(n≥3),则an=0=0×0=aiaj,则{an}是融积数列.
对于an=1,同上可得{an}也是融积数列.
对于an=-n+,则a5=0,当i<5,j<5时都有ai≠0,aj≠0,
故不存在i,j∈N*,使得a5=aiaj,故{an}不是融积数列.
综上,an=0或an=1.
(3)因为{an}是单调递增的融积数列,a1=2,a2=8,所以an+2≤an+1an,
所以a3=a1a2=24,a4≤a2a3=27,a5≤a3a4≤211,a6≤a4a5≤218,
a7≤a5a6≤229,a8≤a6a7≤247,a9≤a7a8≤276,a10≤a8a9≤2123,
所以an=2123≥a10.
又因为{an}单调递增,所以n≥10,
当以上各式等号同时成立时a10=2123,故(n)min=10.
因为{an}是融积数列,所以对任意的n∈N*(n≥3),总存在i,j∈N*,使得an=aiaj,
而a1=2,a2=8=23,所以对任意的n∈N*必存在k∈N*,使得an=2k,
又因为{an}是单调递增数列,所以an+1≥2an,则··…·≥2n-2(n≥3),
则an≥2n+1,由an=2123≥2n+1,得n≤122,
当an=时取等号,故(n)max=122,
综上,(n)min=10,(n)max=122.
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