湖南省三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2024-2025学年高三下学期2月入学大联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2024-2025学年高三下学期2月入学大联考数学试卷（Word版附解析），共13页。
数学
本试卷共 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合 ，若 ，则
A． B． C． D．
2． 的虚部为
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则
A． B．1 C． D．
4．已知非零向量 满足 ，且 ，则
A． B． C．1 D．
5．记数列 的前 项和为 ，若数列 是公差为 1 的等差数列，则
A．1 B．2 C．2025 D．2022
6．已知 ，则
A．1 B． C． D．2
7．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为 6，下底面半径是上底面半径的 2 倍，则球
的表面积为
A． B． C． D．
8．在直角坐标系 中， 分别为椭圆 的左、右焦点，过点 作 轴的垂
线交 于 两点，连接 并延长交 于另一点 ，且 ，则 的长轴长为
A．7 或 10 B．6 C．7 或 9 D．10
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分．
9．已知函数 ，则
A． 的最小值为
B． 的最小正周期为
C． 的图象关于直线 对称
D．将 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象
10．设 ，则使得“ ”成立的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
11．已知等比数列 的公比 ，当 取得最小值时，下列说法正确的是
A． B． 不为整数
C． 中有且仅有一项为奇数 D． 中的所有整数之和
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．某高三年级组采用随机抽样的方式抽取了 20 名学生在某次数学周测中解答填空压轴题的时间记录如下
表：
解答时间/分钟
频数 2 8 8 2
根据上表数据估计这 20 名学生解答时间的平均值为_________，中位数为_________．
13．已知 为抛物线 上一点，以 为圆心，1 为半径作得圆 ．过点 作圆 的两条切
线，切点分别为 ，则四边形 MANB 周长的最小值是________．
14．若 ，则 ________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）记 的内角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 外接圆面积的最小值．
16．（15 分）如图四棱锥 中， 平面 ，
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
17．（15 分）在直角坐标系 中，已知双曲线 的离心率为 ，且 的实轴
长为 4．
（1）求 的标准方程；
（2）设 的上焦点为 ，过第一象限 上一点 分别作直线 与 的垂线，垂足分别为点
，直线 交 于另一点 ，当四边形 的面积为 8 时，求 的值．
18．（17 分）已知函数 ．
（1）若 ，且 与 在切点 处的切线相同，求 的值；
（2）在（1）的条件下，求函数 的单调区间；
（3）若 与 的图象有两个不同的交点，探究 与 在这两个交点处是否各存在
一条与两函数图象相切的公切线？若存在，求出一组满足题意的 的值；若不存在，给出证明．
19．（17 分）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设
为其分布列与未知参数 有关的离散型随机变量，其中 的取值范围为 ．若对已知结果 ，有
，且 ，有 成立，则称 为 在 下的一个极
大似然估计．
（1）（i）若 服从二项分布 ，求 在 下的极大似然估计；
（ii）若 服从二项分布 ，求 在 下的极大似然估计．
（2）若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品．已知每次点击按钮
后，获得 1 积分的概率为 ，不获得积分的概率为 ．小丽参加这个抽奖活动后总共获得了
积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数 的取值为 ，证明： ，并指出等号成
立的条件．
三湘名校教育联盟 五市十校教研教改共同体
2025 届高三 2 月入学大联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．【答案】D
【解析】由 可知 ，当 时， ，解得 或 ，即
．故 ，故选 D．
2．【答案】A
【解析】 ，其虚部为 ，故选 A．
3．【答案】B
【 解 析 】 易 得 函 数 的 定 义 域 为 ， 且
，故选 B．
4．【答案】B
【解析】由 两边平方得 ，整理得 ，所以
，所以 ，故选 B．
5．【答案】A
【 解 析 】 易 知 ， 故 ， 当 时 ， ， 两 式 相 减 得
，即 ，故 为常数列，则 ，故 ，故选 A．
6．【答案】C
【 解 析 】 由 ， 可 得 ， 即 ， 即 有
， 解 得 ， 故
，故选 C．
7．【答案】D
【解析】考虑圆台的轴截面（如图），记球的半径为 ，两底面圆圆心分别为 ，线段 的中点为
，易知 ．作 ，由过圆外一点作圆的切线，切线长相等得 ，于是
， 而 ， 故 可 知 ， 故
，即 ，故球的表面积 ，故选 D．
8．【答案】D
【 解 析 】 由 题 意 可 知 ， 设 椭 圆 的 半 长 轴 长 为 ， 则
， ，在 中，
， 在 中 ，
，所
以 ，整理得 ，即 ，解得 或 ，
当 时 ， ， 不 满 足 题 意 ， 故 舍 去 ； 当 时 ，
，满足题意，故 的长轴长为 10，故选 D．
9．【答案】BC
【解析】 ，最小值为－2，故 A 错误；由最小正周期 ，
可 知 B 正 确 ； 因 为 ， 故 C 正 确 ； 将 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 得 到
的图象，故 D 错误，故选 BC．
10【答案】BCD
【解析】由题意可得 ，易知函数 单调递增，故 ，对于 A，
， 故 “ ” 是 “ ” 的 充 要 条 件 ， 故 A 错 误 ； 对 于 B， 由
得 ， 能 推 出 ， 反 之 不 成 立 ， 所 以 “ ” 是
“ ” 的 充 分 不 必 要 条 件 ， 故 B 正 确 ； 对 于 C， 由 可 得 ， 故
，反之不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 C 正确；对
于 D， 或 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 D 正
确，故选 BCD．
11．【答案】BCD
【解析】由题意可得 ，要使 取得最小值，则函数 要取得最小值，
这等价于函数 取得最小值，易得 ，因为
，所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，故当 时， 取
得最小值，故 A 错误； 不为整数，故 B 正确；由于 ，若 为 4 的倍数，
则 为整数；若 不为 4 的倍数，则 不为整数，且 均不为整数，将 代入，解得
，则 均不为整数，所以 中有且仅有一项为奇数， 中的所有整
数之和 ，故 CD 正确，故选 BCD．
12【答案】10，10（第一个空 3 分，第二个空 2 分）
【解析】 ．因为解答时间位于区间 的频率为
，所以解答时间的中位数为 10．故答案为 10，10．
13．【答案】
【 解 析 】 易 得 ， 其 中 ． 设 点
，则 ，故 ，于是四边形 周长的最小值
是 ．故答案为 ．
14．【答案】－7
【解析】等式两边求导可得 ，代入 ，有 ，
故 ，故答案为－7．
15．【解析】（1）由已知得 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．
（2）外接圆半径 ，要使外接圆的半径最小，只需 最小，
而 ，
当且仅当 时取等号，此时 ，则 ．
故 外接圆面积的最小值为 ．
16．【解析】（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ，因为 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 ，所以 ，易知四边形 为矩形，所以 ，
又 ，所以 ，所以 为等腰直角三角形，其斜边上的高为 ．
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，过 作垂直于平面 的直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
，
，
设平面 的法向量为 ，则
取 ，可得 ．
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17．【解析】（1）由 的实轴长为 4，得 ，
由 ，得 ，
故 的标准方程为 ．
（2）设 ，
点 到直线 的距离 ，同理点 到直线 的距离 ，
因为直线 与 互相垂直，所以四边形 为矩形，
其面积为 ，
由 点 在 上 ， 得 ， 所 以 ， 所 以
，因为 在第一象限，所以 ，
代入 的方程得 ，所以 ，又 ，
所以直线 的方程为 ，与 联立消 整理得 ，
由 ，得 ，
由平面几何知识可得 ．
18．【解析】（1）易得 ，则 ，
，
，
解得 ．
（2）由题意可得 ，
则 ，
故 在 单调递增，所以 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
（3）法一：由题意可转化为 两次与 轴相切．
，可转化为 存在两个变号零点，
设 ，其中 ，
显然 ，
则 在区间 和 上为正，在区间 上为负，
若 ，则 ；若 ，则 不可能与 轴相切两次，
故不存在．
法二：假设存在满足题意的实数 ，设切点分别为 ，不妨 ，
则 ，即 ，则 ，
则关于 的二次方程 有两相异实根，故 ，
同时 ，显然 ，
而 相减得 ，
整理得 ，故 ，
先证 ，即证 ，
令 ，设函数 ，则 ，
故 在定义域内单调递减， ，原不等式成立，
则 ，两边平方得 ，由于 ，故 ，得 与 ，矛盾，
故不存在．
19．【解析】（1）（i）由题意可得 ，
故当 时取最大值，其极大似然估计为 ．
（ii）由题得 ，且 ，
，
令 ，则 ，
其中 ．当 时， ，则 ；
当 时，有 ；当 时， ，故 在 或 有最大值，
则 在 下的极大似然估计为 5 或 6．
（2）显然有 ，设 次点击后获得的积分为随机变量 ，由题可知 服从二项分布 ，
则 ，
同（1）（ii）设 ，
则 ．
当 ，即 时， ，
当 时， ，当 时， ．
①：若 为整数，则对 的极大似然估计 为 和 ，满足 ，当 时等号成立，
②：若 不为整数，记 为小于 的最大整数，则 ，则 时， ；
当 时， ，
则 的极大似然估计 为 ，故 ，综上可知：等号能成立的条件为 ．