河北省保定市高中2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（B）（解析版）

这是一份河北省保定市高中2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（B）（解析版），共18页。试卷主要包含了 下列函数为奇函数的是， 函数的部分图象大致为， 已知函数满足等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合，结合交集的定义求结论.
【详解】不等式可化为，
故，
所以或，
所以或，
所以或，
又，
所以.
故选：A.
2. 已知样本数据为，，，，平均数为，则数据，，，，与原数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 众数D. 中位数
【答案】A
【解析】
【分析】利用平均数的计算方法判断A，举反例排除BCD，从而得解.
【详解】对于A，原数据的平均数为，新数据为，
所以新数据的总和为：，
则新数据的平均数为：，即平均数没有变化，故A正确；
对于B，不妨设原数据为，则，方差为，
则新数据为，平均数为，方差为，
此时方差发生了变化，故B错误；
对于C，不妨设原数据，则，众数为，
则新数据为，众数为，此时众数发生了变化，故C错误；
对于D，不妨设原数据为，则，中位数为，
则新数据为，中位数为，此时中位数发生了变化，故D错误.
故选：A.
3. 下列命题中，真命题的选项是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域，正弦函数、指数函数以及余弦函数的值域即可判断.
【详解】对A，当时，不成立，所以A错误；
对B，当时，不存在，所以B错误；
对C，当时，，所以C正确；
对D，因为函数的值域为，所以D错误.
故选：C.
4. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的判定方法一一分析即可.
【详解】对于选项A，，，，所以函数不是奇函数；
对于选项B，，所以，且函数定义域为，所以函数为偶函数；
对于选项C，，，解得，则其定义域为，关于原点对称，
而，，所以函数是奇函数；
对于选项D，，
所以，且定义域为，关于原点对称，所以函数为偶函数；
故选：C
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用函数的奇偶性的判定方法，结合对数函数的性质判断得的奇偶性排除AC，再利用区间法判断得时，从而排除B，由此得解.
【详解】对于，有，解得且，
所以的定义域为，
又，所以为偶函数，
所以的图象关于轴对称，故排除A、C；
当时，，，所以，故排除B.
故选：D.
6. 已知平面向量，满足，，则的最大值为（ ）
A. 8B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积运算律得，再利用向量不等式即可得到答案.
【详解】因为则，则，
所以，所以，
，
故选：C.
7. 设，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的性质比较大小关系即可.
【详解】因为指数函数在上单调递减，则，即，
因为指数函数在上单调递减，则，即，
又因为指数函数在上单调递增，则，即，
则.
故选：D
8. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，；若函数，，则函数在上零点个数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先将问题化为和图象交点个数问题，再利用的周期性与解析式作出的图象，同时也作出的图象，从而数形结合即可得解.
【详解】因为函数在R上零点的个数等于函数和图象交点的个数，
又的定义域为，又，
所以是周期为的周期函数，
当时，，
作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象，
同时作出，的图象，
因为，，
所以函数fx,gx在上有三个交点，在上无交点，
又，，则，
则函数是偶函数，图象关于轴对称，
所以由数形结合知fx,gx的图象的交点的个数为6.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 改革开放以来，某地区率先推进经济转型升级和高质量发展，成功实现从传统的农业、工业化经济向现代化服务型、创新型、数字经济转化，实现了从粗放型增长向高质量发展的迈进.该地区经过近十年的发展，经济总收入增加了两倍，下图统计了该地区经济转型前和经济转型后经济总收入的构成比例，则下面结论中正确的是（ ）
A. 经济转型后，农业收入减少
B. 经济转型后，工业收入增加了一倍以上
C. 经济转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上
D. 经济转型后，第三产业收入超过了经济转型前经济总收入
【答案】BCD
【解析】
【分析】设该地区经济转型前经济总收入为，经济转型后经济总收入为．通过选项逐一分析经济转型前后经济收入情况，利用数据推出结果．
【详解】设该地区经济转型前经济总收入为，经济转型后经济总收入为．由图可知：
A项，经济转型后农业收入，经济转型前农业收入，
故转型后，农业收入增加了，故A项错误．
B项，经济转型后工业收入，经济转型前工业收入，故转型后，工业收入增加了一倍以上，故B项正确．
C项，经济转型后其他产业收入，经济转型前其他产业收入，故转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上，故C项正确．
D项，经济转型后第三产业收入，经济转型前经济总收入，故转型后，第三产业收入超过经济转型前经济总收入，D正确.
故选：BCD
10. 设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合有，结合对数函数、二次函数的性质可得、，进而逐项判断正误.
【详解】对A，由解析式，可得大致图象如下，结合题设和图象知，A错，
令，可得或，
所以，
对B，由于当时，图象的对称轴为直线，所以，B对，
对C，当时，令，则，，
则，C错，
对D，由且，而在上单调递增，
所以，D对.
对CD方法二：当时，，所以，所以，C错误;
因为，所以，故，
又，所以，
因为函数在上单调递增，
故，D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：画出函数图象，利用相关函数性质确定零点的范围及相关参数的关系为关键.
11. 函数，，已知为函数的一个对称中心，为的一条对称轴，且函数在上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 直线为函数图象的一条对称轴
C. 函数在区间上有1个零点
D. 对于任意的，关于的方程总有奇数个根
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用对称中心和对称轴求解满足的关系式，再利用周期性确定的范围，最后通过讨论可确定的取值，再利用正弦型函数的性质即可判断其它选项.
【详解】由为函数的一个对称中心，所以有，，
由为的一条对称轴，所以有，，
上两式相减得：，
设函数的周期为，因为函数在上单调递减，，
所以，又因为，所以有，
则有，即或，
此时或，
当时，由为的一条对称轴，且函数在上单调递减，
所以，则，
所以有，，由于，此时无解；
当时，由，则，
所以有，，由于，此时；
所以满足题意，故A错误；
此时有，由，
故B正确；
当时，，此时由，
得，故C正确；
由，可知函数关于点对称，
所以过这个对称中心的直线与函数的图象至少有一个交点点，
再根据函数是关于这个点的中心对称图象，
所以除这个对称中心之外的交点是成对出现的，即肯定是有奇数个交点，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分类讨论的取值，根据题意确定的取值，从而得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用余弦定理和三角形面积公式即可得到答案.
【详解】由，结合正弦定理得，
，
因为，所以,
利用余弦定理，解得，
所以.
故答案为：.
13. 已知函数，且，，，，，，则函数的解析式为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题目累乘可得的表达式，再令可得的解析式.
【详解】将各式累乘可得
又因为，所以，令，则有.
故答案为：.
14. 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 ______________.（注：）
【答案】
【解析】
【分析】推导出函数是周期为4的函数，计算出的值，结合函数的周期性得所求代数式的值.
【详解】因为，令，则，
所以函数的图象关于直线对称，则，
因为函数的图象关于点对称，设，
则，即，即，
令，则，故函数奇函数，
所以，则，
故函数是周期为4的周期函数，
由，得，
所以当时，，则，，，，
所以：
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）求和；
（2）若集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式、指数不等式求集合，再应用集合的交并补运算求集合；
（2）根据已知有，讨论、求参数范围.
【小问1详解】
由，即，
由，即，
所以，且，则.
【小问2详解】
由题设，
若，即时，满足要求；
若，即时，则，故，
综上，.
16. 如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）
（1）证明：为定值；
（2）求的最小值，并求此时的，的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案；
（2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果.
【小问1详解】
因为是边边上中线，，所以.
又是的中点，，
所以.
因三点共线，所以且
所以，即为定值；
【小问2详解】
由（1）
所以
，
当且仅当,即时，等号成立.
所以时，的最小值.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果；
（2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可知，
因为，
整理得，
因为，所以，所以，即，
又因为，所以．
【小问2详解】
如图，设，，由正弦定理有，得，
因为，所以，所以，
在中，由余弦定理可知，，
即，解得或．
若，，
则的面积为：，即；
若，则，
则，
因为，
所以，
综上可得的面积的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）当时，若函数在区间有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用的奇偶性，结合指数幂的运算即可得解；
（2）利用换元法，构造函数，将问题转化为在上有两个零点，利用二次函数零点的分布得到关于的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
因为是奇函数，所以，
即，所以，
则，
所以，解得.
【小问2详解】
当时，，
所以，
函数在区间有2个零点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
整理得，令，由，则，
即在上有两个不相等的实数根，
令，在上有两个零点，
则满足，解得，
综上可知，实数m的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的解决关键在于，利用换元法与构造函数法，将问题转化为二次函数的零点分布问题，从而得解.
19. 已知函数的定义域为，若对于任意，，，能够成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”.
（1）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，求的取值范围；
（2）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，在函数的图象上，是否存在三个不同的点，，，当时，，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）不存在
【解析】
【分析】（1）转化为，再利用对勾函数单调性对分类讨论即可；
（2）通过假设存在计算得到，再得到，又分析出，则得到矛盾点，即证明其不存在.
【小问1详解】
根据条件，如果函数为集合M上的“三角形函数”只需满足，
因为对勾函数在单调递减，在单调递增，
当时，,,
因为，所以函数为三角形函数；
当时，,因，，
此时满足，所以函数为三角形函数；
当时，,,
若函数为三角形函数，只需，即
综上，t的取值范围为
【小问2详解】
因为，，
则，所以，
因为，得，
因为，则，所以，
假设存在三个点，
则
所以当时，，
又因为，所以.
所以，这与矛盾.
所以不存在三个不同的点
当时，.
【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是利用对勾函数的性质，再对进行分类讨论.