2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题36最值模型之逆等线模型解读与提分精练(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题36最值模型之逆等线模型解读与提分精练(原卷版+解析)，共56页。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc27355" PAGEREF _Tc27355 \h 1
\l "_Tc16770" 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） PAGEREF _Tc16770 \h 1
\l "_Tc14521" 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） PAGEREF _Tc14521 \h 6
\l "_Tc31233" 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） PAGEREF _Tc31233 \h 9
\l "_Tc14350" 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） PAGEREF _Tc14350 \h 11
\l "_Tc21541" 模型5.最值模型-加权逆等线模型 PAGEREF _Tc21541 \h 14
\l "_Tc10586" PAGEREF _Tc10586 \h 19
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）
逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。

逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。
条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。
证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD；
④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；
⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。
例1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在等边三角形中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，，y与x的函数图象如图，图象过点，则图象最低点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．

例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ．
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）
条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。

证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；
④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°
例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ．
例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ．
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）
条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，
求CD+CE的最小值。

证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD；
④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；
⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。
例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．

例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）
特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。
条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF，
求AF+AE的最小值。

证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG；
④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。
例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．
例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，点、分别是边和对角线上的例2．动点，且，则的最小值是 ．

例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ．
模型5.最值模型-加权逆等线模型
条件：已知在中，∠ACB=，AB=a，AC=b，点E、D是线段AB、BC上的动点，且满足BE=kAD，
求AE+kCD的最小值。
证明思路：①AD在△ADC中，以BE为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；
②即过点B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=kAC=kb。（构造一边一角，得相似）；
③构造出△EBF≌△DAC ( SAS)；证出EF=kDC；
④AE+kCD=AE+EF，根据两点之间，线段最短，连接AF，则AF即为所求，此时，A、F、E三点共线；
⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB=，再利用三角函数求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。
例1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边中，，E，F分别是边、上的动点，且满足，则的最小值为 ；
例2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，、分别为、上的动点，且，则的最小值为 ．
例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形ABCD，，，，点E、F为对角线BD上的动点，，连接AE、CF，则的最小值为 ．
例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ．
1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（ ）

A．4B．10C．6D．20
2．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且．（1）若，则 ；（2）的最小值为 ．

4．（2024·四川绵阳·三模）在中，，，点D，E分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ．
5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ．
6．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ．
7．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形的边长为2，E、F分别是对角线和边上的动点，满足．当时，线段的长度为 ．
8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．

9．（2024·湖北武汉·二模）如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ．
10．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且满足，连接，，则的最小值是 ．
11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图：等边三角形ABC中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ．
12．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形中，、分别是、边上的动点，且，若，则的最小值是 ．
13．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，以点为直角顶点、为直角边向下作直角，且，连接，则的最大值是 ．

14．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图所示，在矩形中，，，E，F分别是上的动点，且，连接，当E为中点时，则 ；在整个运动过程中，的最小值为 ．
15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．6
16．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为 ．
17．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；

（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
18．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，．
(1)直接写出结果： ； ；点的坐标为 ； ；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值．
专题36 最值模型之逆等线模型
最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc27355" PAGEREF _Tc27355 \h 1
\l "_Tc16770" 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） PAGEREF _Tc16770 \h 1
\l "_Tc14521" 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） PAGEREF _Tc14521 \h 6
\l "_Tc31233" 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） PAGEREF _Tc31233 \h 9
\l "_Tc14350" 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） PAGEREF _Tc14350 \h 11
\l "_Tc21541" 模型5.最值模型-加权逆等线模型 PAGEREF _Tc21541 \h 14
\l "_Tc10586" PAGEREF _Tc10586 \h 19
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）
逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。

逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。
条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。
证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD；
④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；
⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。
例1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在等边三角形中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，，y与x的函数图象如图，图象过点，则图象最低点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合函数图像，当时，，求得等边三角形的边长，证明，得出，当时，最小，勾股定理即可求解．
【详解】当时，，∵三角形是等边三角形，∴,
∵，∴，
∴，当时，最小，最小值为，
∴的最小值为，即图象最低点的纵坐标是，故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，求得等边三角形的边长是解题的关键．
例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．

【答案】
【分析】过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，由题意易得∠HAD=∠BCE，进而可证△HAD≌△BCE，则有CD+BE=CD+HD，当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，然后可得，则有，，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可得如图所示：

过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示，∴∠HAD=∠ABC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE，
∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD，
∴当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，
∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，
∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴，
∵，∴，∵，
∴（AAS），∴，，
∵AF∥MN，点M是AB的中点，∴，
∴，∴在Rt△MNC中，，
∴，∴CD+BE的最小值为；故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之间线段最短进行求解即可．
例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过作，使，连接，，作交延长线于点，证明四边形是正方形，由勾股定理得，然后证明，当，，三点共线时，有最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】过作，使，连接，，作交延长线于点，
∴，∴四边形是矩形，∴，
∴四边形是正方形，∴，∴，∴，
∵，，，∴，
∴，∴，即，
当，，三点共线时，有最小值，故答案为：．
例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解．
【详解】如图所示，过作交的于，
∵，， ∴∴，，
∵，∴，∴
如图所示，作且，连接，，∵
∴∴∴，
当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，
∵，∴，∵∴
∵在中，，∴
∴，即的最小值为；
如图所示，作关于的对称点，连接,则

∵则∴，
∵对称，∴∴都是等边三角形，连接，
∵，∴，则，
又∵∴∴，
∴∴是等边三角形，∴
∴当在上时，， 如图所示
此时取得最小值，最小值 故答案为：，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）
条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。

证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；
④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°
【答案】B
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选B．
【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ．
【答案】
【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到．
【详解】解：在下方作，使，连接．
则，．∴，
即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上．
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ．
【答案】4
【分析】由等腰中，，可得，由平分，可得，如图，作，使，连接，则，证明，则，，，可知当三点共线时，最小，即，证明是等边三角形，则，进而可求．
【详解】解：∵等腰中，，∴，
∵平分，∴，如图，作，使，连接，
∴，∵，，，
∴，∴，，∴，
∴当三点共线时，最小，即，
∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）
条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，
求CD+CE的最小值。

证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD；
④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；
⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。
例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，先证，得，再证，得，进而得出，当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，，然后根据直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半求出的值，从而得出结果．
【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，
，，，，，，
，，，，
，，，，
当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，．
的最小值是的长，，，，
，，，的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助线找出恰当的全等三角形是解本题的关键．
例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．

【答案】17
【分析】如图，连接，，由全等三角形判定（）可以证得，得到，进而得到，再根据题意及勾股定理求出的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，
四边形是矩形，，，，，
，，，，，
又，为矩形的对角线，，
是直角三角形，，，，
移项得，
配方得，，解得，或
，，，故答案为：17．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）
特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。
条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF，
求AF+AE的最小值。

证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG；
④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。
例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，．
四边形是菱形，，，，
，，，，，
，，
，，
，，的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，点、分别是边和对角线上的例2．动点，且，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】设点D关于的对称点为G，在上截取，连接，可证，从而，那么，A、H都是固定点，过点H作于点M，结合相似三角形和勾股定理即可求得，
【详解】如图，设点D关于的对称点为G，在上截取，连接，过点H作于点M，
∵四边形是矩形，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
在中，，∵，∴∴，
∴，∴，∴，∴，
在中，，∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．这里根据把的最小值转化为是关键．
例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，，可得，，，证明四边形为平行四边形，可得，则，当三点共线时，此时取等于号，最小，证明当三点共线时，重合，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，，
∴，，，∵菱形， ∴，，，
∵，，∴，，
∴四边形为平行四边形，∴，∴，
当三点共线时，此时取等于号，最小，
∵菱形，，∴，，∴为等边三角形，∴，
∵，∴，∵，，∴，
∴，，∵，∴，
∴三点共线，∴当三点共线时，重合，
∵，∴，即最小值为4．故答案为4
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
模型5.最值模型-加权逆等线模型
条件：已知在中，∠ACB=，AB=a，AC=b，点E、D是线段AB、BC上的动点，且满足BE=kAD，
求AE+kCD的最小值。
证明思路：①AD在△ADC中，以BE为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；
②即过点B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=kAC=kb。（构造一边一角，得相似）；
③构造出△EBF≌△DAC ( SAS)；证出EF=kDC；
④AE+kCD=AE+EF，根据两点之间，线段最短，连接AF，则AF即为所求，此时，A、F、E三点共线；
⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB=，再利用三角函数求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。
例1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边中，，E，F分别是边、上的动点，且满足，则的最小值为 ；
【答案】
【分析】取、的中点、，连接、，则可得，，因此转而求的最小值；过作，且，连接、，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值．
【详解】解：如图，取、的中点、，连接、，

∵是等边三角形，，，
根据三角形中位线可得，∴，
的最小值转化为求的最小值，
在等边三角形中，，∴，，，，
，，；过作，且，连接、，
则，，，
，当点在线段上时，取得最小值，
且最小值为线段的长，，
在中，由勾股定理得：，
的最小值．故答案为：．
【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在．
例2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，、分别为、上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，延长到H，使得，连接，证明，得到，则，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接，
∵四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，
在中，，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形ABCD，，，，点E、F为对角线BD上的动点，，连接AE、CF，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，在直线DB的上方作，且使得．过点T作交AD的延长线于H．首先利用相似三角形的性质证明，解直角三角形求出AT，根据，推出，即可解决问题．
【详解】解：如图，在直线DB的上方作，且使得．
过点T作交AD的延长线于H，连接ET、AT．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，∴，
∵，∴∽，∴，∴，
∵，，，∴，，
∴，∴，
∵，，∴，∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题属四边形综合题目，考查平行四边形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造直角 三角形和相似三角形是解题的关键．
例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意构造相似三角形，作，取，连接，，得到，进而得出，当三点共线时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理即可解出．
【详解】作，取，连接，，如图所示，
在菱形中，，
，，，，
当三点共线时，的值最小，即的值最小，在菱形中，，
，是等腰三角形，，，，
在中，，，故答案为：．
1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（ ）

A．4B．10C．6D．20
【答案】B
【分析】如图，连接，，由全等三角形判定可以证得，得到，进而得到，再根据题意及勾股定理求出的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，

四边形是矩形，，，，，
，，，
，，又，为矩形的对角线，
，
是直角三角形，，，
移项得，解得，或
，则不符合题意，，，故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程的方法是解题关键．
2．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
【答案】C
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
【详解】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且．（1）若，则 ；（2）的最小值为 ．

【答案】 /
【分析】（1）由正方形的性质可得，从而得到，由勾股定理计算出的长，即可得到答案；（2）连接，通过证明可得，作点关于的对称点，连接，则，从而得到，当在同一直线时，最小，利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）四边形是正方形，且边长为4，，
，，，
，，故答案为：；
（2）连接，
，
四边形是正方形，且边长为4，，
，，，
在和中，，，，
作点关于的对称点，连接，则，
，当在同一直线时，最小，
，在中，，
的最小值为：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、最短距离问题、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
4．（2024·四川绵阳·三模）在中，，，点D，E分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ．
【答案】
【分析】过点B作，且，连接，交于点，过点A作，交的延长线于点H，证明，得出，则，即的最小值即为的长，此时点E与点重合，由勾股定理及相似三角形的性质可得出答案．
【详解】过点B作，且，连接，交BC于点，过点A作，交的延长线于点H，如图所示：则，在等腰直角中，，，
在和中，，∴，∴，
∴，即的最小值即为的长，此时点E与点重合，
∵，∴，，
∵，∴，∴，∴，∴，
根据勾股定理得，∴，∴或（舍去），
∴，∴，∵，，
∴，∴，即，解得，
∴，∴取得最小值时，的长度为．故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形三条边的关系，相似三角形的判定与性质；熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点作，使，连接，，得到，．根据菱形的边长为2，得到．证明 ．得到．得到．推出．得到．得到．即得的最小值为．
【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，．
∵菱形的边长为2，∴．，
∴．∴．∴．
在和中，，∴．
∴．∴．即．
∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形，全等三角形．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，是解决问题的关键．
6．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，延长至使得，连接，则进而勾股定理，即可求解；
【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接，
在中，，∴，∴，
∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，
∵，，，∴
∵，∴，
在中，，∴，
∴，如图所示，延长至使得，连接，则， ，
∴，故答案为：，．
7．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形的边长为2，E、F分别是对角线和边上的动点，满足．当时，线段的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考点是正方形的性质，难点是构建三角形全等转化线段和最小值的计算，特别需要注意的知识点是两点之间直线最短，同时需要熟练运用相似比求线段的长度．连接，作，且，连接，，与交于点，作交于点，首先证明得到，再计算出的长度，推导出当，，三点共线时满足，然后证明，利用相似比计算出的长度最后计算出和的长度．
【详解】解：连接，作，且，连接，，与交于点，作交于点，如图：正方形的边长为2，，，
，，
，，；
在与中，，，，
，，又，即，且，
当，，三点共线时最短，即，重合时满足，设，
，，，，，
，，，，即，
，故答案为：．
8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：

∵四边形为平行四边形，∴，，，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，

∵，∴，∴，即，解得．故答案为：．
9．（2024·湖北武汉·二模）如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，过点作于．设，则．由勾股定理得到，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，和的距离之和最小（如下图），作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值．
【详解】解：如图，过点作于．设，则．

四边形是矩形，，，，四边形是矩形，
，，，，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，和的距离之和最小（如下图），作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值，
，，，的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
10．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且满足，连接，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接，可得且∠，证明△，得出结论，从而可得求的最小值，即求的最小值，求出的最小值即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且∠
∴∠， 连接，如图，
∵∴∴且∠
∴△∴∴
∴∴求的最小值，即求的最小值，
∴作B关于AD的对称点，连接，交AD于M，此时与的交点为点E，这时最小
∴的最小值∵∠∴∠，∠
∴∴∴∴
∴的最小值即的最小值故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短．
11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图：等边三角形ABC中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线，角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位线和全等三角形，将进行转化．取中点G，中点H，，在的外侧作，的长度即为所求．
【详解】取中点G，中点H，作，使，作，交延长线于点J，连接， 是的中位线，
是等边三角形
又
当I，E，C三点共线时，取得最小值，即取得最小值
在中，
取得最小值为故答案为：
12．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形中，、分别是、边上的动点，且，若，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】延长到点，使得，继续延长到点，使得，取的中点，连接、、，判定是的中位线，根据正方形的性质、勾股定理，推出，结合三角形中位线的性质，推出，根据“两点之间线段最短”、勾股定理，得出的最小值计算出答案即可．
【详解】解：如图，延长到点，使得，继续延长到点，使得，取的中点，连接、、，
∵，点是的中点，∴，∵四边形是正方形，，
∴，，
∴点是的中点，，，，
∴是的中位线，，∴，∴，
∴的最小值的最小值，∵当、、在同一直线上时，取得最小值，
∴的最小值，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质、两点之间线段最短，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键．
13．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，以点为直角顶点、为直角边向下作直角，且，连接，则的最大值是 ．

【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系．作，使，证明，由相似三角形的性质得出，得出，由三角形的三边关系可得的最大值．
【详解】解：如图，作，使，连接，

∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴当点C，点A，点E共线时，有最大值，
∴的最大值为．故答案为：．
14．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图所示，在矩形中，，，E，F分别是上的动点，且，连接，当E为中点时，则 ；在整个运动过程中，的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理可得的长，从而得到，再由，可得，然后根据勾股定理可求出，即可；在右侧构造，并截取，使，连接，可证明，可得∴，从而得到，当且仅当B、F、G三点共线时，取得最小值，最小值为，过点 G 作交延长线于点H，可证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：在矩形中，，，∴，∴，
∵E为中点，∴，∵，∴，
∴，∴；
在右侧构造，并截取，使，连接，如图，
在矩形中，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴，
当且仅当B、F、G三点共线时，取得最小值，最小值为，
如图，过点 G 作交延长线于点H，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，解得：，∴，
∴，∴的最小值为．故答案为：；
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．6
【答案】A
【分析】连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，根据题意证明出，得出，得到当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，如图所示：
∵四边形为菱形，∴，，∴，
∵，∴∴，∴是等边三角形，
∵点A，点H关于对称，∴，，∴，
又∵是等边三角形，∴，， ∴，
∵，，∴，又∵∴，
∴，∴，
∴当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长，
∵，∴，∵，∴，
∴，即的最小值为4．故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，构造是解题的关键．在上截取，延长至，使得，连接，过点作于，先证明，得到，结合勾股定理即可得到答案．
【详解】解：在上截取，延长至，使得，连接，过点作于，在矩形中，，，
在与中，，，，
，垂直平分，，，
，，，
，，
，故的最小值为，故答案为：．
17．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；

（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
【答案】（1）2（2）（3）（4）
【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可.
【详解】解：如图，∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，∴设，，
∴，，∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．

（2）如图，∵，∴，，，，
∴，如图，结合图形变换可得：；
（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，∴当与相切时，最大，∴，
∴，由（2）可得：，∵，，
∴，∴；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，∴当三点共线时，最短，
∵，，∴，，∴；
∴的最小值为；
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
18．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，．
(1)直接写出结果： ； ；点的坐标为 ； ；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值．
【答案】(1)，2，，；(2)点P坐标为(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，由可得，根据正切定义可求出；（2）过点作轴，交于点，过点作轴，由可得，证明，得到，设点坐标为，可得，解之即可求解；（3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）抛物线经过点，，
，解得，抛物线解析式为，
抛物线与轴交于、两点，
时，，解得，，，，，
在中，，故答案为：，2，，；
（2）如图1，过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，
，，， ，
由（1）可得，，即，，
，，轴，轴，
，，，
又，，，
设点坐标为，则，，
，解得（舍去）或，点坐标为
（3）如图2，作，且使，连接，
，，，
，，，，
，，，共线时，的值最小，作于点，
，，，，，，
设，则，，解得或（舍去），，
，，，．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．