2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题24最值模型之将军饮马模型(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题24最值模型之将军饮马模型(原卷版+解析)，共69页。试卷主要包含了求两条线段和的最小值， 求多条线段和最小值，求两条线段差最大值等内容，欢迎下载使用。
在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．

例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3B．5C．D．
例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）

A．B．3C．D．
例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图，是的直径，点C、D是上的点．且，分别与、相交于点E，F．若的半径为5，，点P是线段上任意一点，则的最小值是 ．

例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．
例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边、的对称点分别为，，
∴，，，，
∴即周长的的最小值为
∵，∴∴是等腰直角三角形．
学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
例2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．

例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则
（1）的最小值是________；（2）若，则的最小值为________．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：

延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：

过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．

例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ．
课后专项训练
1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
6．（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
7．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·江苏·九年级月考）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
9．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，F，点D是边的中点，点M是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．（2023上·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．

11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．

12．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
13．（2022·重庆大渡口·九年级期中）如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则______．
14．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）中，，，点P为高上的一个动点，连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P与垂直的直线于点Q，连接，则周长的最小值是______．
15．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．

16．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．

17．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
18．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
19．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．
21．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，已知点，，在抛物线上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线上方的抛物线上求一点，使的面积为；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，当的值最大时，求点的坐标；
22．（2023·广东深圳·九年级校考开学考试）已知，如图，函数y＝，的图象交于点A、B．
(1)直接写出A、B两点的坐标：A ，B ；(2)观察图象，直接写出不等式的解集： ；
(3)点P是坐标轴上的动点，当取得最小值时，求点P的坐标．

23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
24．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
25．（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小．
模型应用：（1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点．
①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则的最小值为 ．
模型变式：（2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．
专题24 最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

【答案】/
【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵为高上的动点．∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴∴
∴，∴点在射线上运动，如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，根据的面积为，，结合三角形的面积公式求出，即可解答．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，
∵是的平分线，∴，∴是点C到直线的最短距离（垂线段最短），
∵的面积为，，∴，
∵的最小值是．故选：D．
例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接交于一点F，连接，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接交于一点F，连接，

∵四边形是正方形，∴点A与点C关于对称，∴，
∴，此时最小，
∵正方形的边长为4，∴，∵点E在上，且，
∴，即的最小值为故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3B．5C．D．
【答案】A
【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．
【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，
，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．
∵菱形ABCD，，点，∴，，
∴∴△CDB是等边三角形∴
∵点是的中点，∴,且BE⊥CD， ∴故选：A．
【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．
例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）

A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为．
【详解】解：四边形是矩形，，，
点M，N分别是的中点，，，，，
，，，又，四边形是平行四边形，
，，
如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，则，

当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，
在中，，，
，的最小值，故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．
例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图，是的直径，点C、D是上的点．且，分别与、相交于点E，F．若的半径为5，，点P是线段上任意一点，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得，，作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．
【详解】解：∵是的直径，∴，
∵，∴，∴，∴，
作点关于的对称点，交于，连接，如图，

∵，∴，∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，
∵，∴，∴，
∵点和点关于对称，∴，∴，
作于，如图，则，则，
在中，，∴，
∴，∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．
【答案】
【分析】作点A关于线段的对称点F，连接，交于点O，连接，过点F作，交的延长线于点H，过点作，交的延长线于点G，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而可得，推出，勾股定理求出的长即可得解．
【详解】解：作点A关于线段的对称点F，连接，交于点O，连接，过点F作，交的延长线于点H，过点作，交的延长线于点G，如图所示：
由轴对称的性质可知：，，，
∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
当点E与点O重合时，则的最小值即为的长，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴
∴，∴即的最小值为；故答案为．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．
例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，∴；
（2）∵，∴，设直线，
则：，解得：，∴，当时，，∴；
作点关于轴的对称点，连接，则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，∴，即：的最小值为：；
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边、的对称点分别为，，
∴，，，，
∴即周长的的最小值为
∵，∴∴是等腰直角三角形．
学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)等边(2)(3)存在，
【分析】（1）根据对称性，得到，，，进而得到：，即可得到为等边三角形；（2）作的垂直平分线，交于点，连接，根据中垂线的性质，得到，，推出是含的直角三角形，用分别表示出，再利用，求出，进而求出的面积．（3）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交，于点M，N，此时的周长最小，可以求出，由推出最小时，的值最大，此时的面积最大，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为，，

∴，，，
∵，∴，∴，
∵，∴为等边三角形；故答案为：等边；
（2）解：∵，，点D是的中点，
∴，，，
作的垂直平分线，交于点，连接，
则：，，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴；
（3）解：存在；理由如下：如图，以点为圆心，为半径画圆，分别作点关于，的对称点，，则点，在上，连接，分别交，于点，，此时的周长最小．
∴，，，
∵，∴，且，∴，
过点作于，∴，，∴，∴，
∵，
∵为定值，∴最小时，的值最大，此时的面积最大，
过点作于点，则 ，
∴当时，即O点与Q点重合时，的值最大，
∴，∴，∴，
∴，
∴，∴∴，
此时是等边三角形，∴，
∵，∴，
∴ ，∴的最大值．
【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形、隐圆等知识．通过构造轴对称，利用轴对称进行求解，是解题的关键．
例2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，过点O作交的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点P与点H重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，

∵，且，∴，
∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，
∴，，，
∵，∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为，
∴的面积的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．
【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，
∴∠NON′=60°，，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
例4．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则
（1）的最小值是________；（2）若，则的最小值为________．
【答案】 /
【分析】（1）延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，即为最小值；
（2）过点E作于P，可得，则，故求的最小值即先求的最小值．过点E作，且，可知当D，E，三点共线时，最小．利用，可求得，进一步计算即可得出答案．
【详解】解：（1）如下图所示，延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，

可得，∴，∴的最小值为，
∵，且，四边形为矩形，∴四边形为矩形，
∵为的中点∴，，∴；
（2）过点E作于P，∵，∴，∴，
则，∴求的最小值即先求的最小值．
过点E作，且，
∴，∴当D，E，三点共线时，最小．此时，
∴，∴，∴，
设，则．∴，解得，
∴，，，，
∴，∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：

延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：

过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．

【答案】
【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．
【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴，
当在同一条直线上时，有最大值，
∵在菱形中，，∴，，
∴是等边三角形，∴，，，
∵，∴，∵，∴，
∵点为的中点，∴为的中点，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
【答案】
【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，∴，，∴，
∵点O是的中点，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，∴，过点P作于点P，
∵，∴四边形是矩形，
∴，，∴，
∴，∴；

②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，∴，
∴，，∴，，
∴，∴的最小值为：，故答案为：；．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．
例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
【答案】6
【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接，
∵为等腰直角三角形，，∴，，
∵，∴，∵点A与A′关于CD对称，
∴CD⊥AA′，，，∴，
∵AC=BC，∴，，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键．
课后专项训练
1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，∵A与关于BC对称，∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
∵正方形，点O为对角线的交点，∴，
∵对称，∴，∴，
在中，，故选：D．
【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵∴F是BC的中点，∴AF⊥BC．
则AF＝AB•sin60°＝2．即的最小值是．故选：C
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键．
3．（2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
【答案】A
【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长，依题意∴是等边三角形，

∵是的中点，∴，∵，∴
∴，∴∴，
∴四边形是平行四边形，则为的中点，如图所示，
设的中点分别为，则
∴当点在上运动时，在上运动，当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，∴到的距离相等，则，
此时 此时和的边长都为2，则最小，
∴，∴∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，

此时 故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；
周长等于，即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，
∵，则
如图，延长,，交于点，则，
∴是等边三角形，∴，
在与中，∴
∴∴∴
∴，则，∴是直角三角形，

在中，∴当时，最短，
∵∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵∴四边形面积等于
∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键．
4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取，则,证明得出，进而证明，即可证明，得出，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，取，则,连接，

∵，，
∴点在以为圆心为半径的圆上运动，点在以为圆心为半径的圆上运动，
在中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，即，∴，
又，，∴，∴，
当时，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，，故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF，证FG⊥BC，则FG的长即为PB+PQ的最小值．
【详解】解：取BC的中点G，连接AG．在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，
作点B关于AC的对称点F，连接GF， 交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，
当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，
∴BP+PQ的最小值为2．故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键．
6．（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
【答案】A
【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，，则，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则四边形是矩形，，，则，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，∴，，
在和中∵，∴，
∴，同理，∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形周长最小时点、的位置关系．
7．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，即可解．
【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，
∵，，∴，．
∵，D是的中点，∴是的中位线，
∴，，∵，∴，
∴，即，，，
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形的周长最小时，P、Q的位置．
8．（2022·江苏·九年级月考）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
【答案】A
【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，
∵，，，∴，，，
在中，根据勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；
如图所示，延长AB交MN于点，
∵，，∴当点P运动到点时，最大，
过点B作，则， ∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，即，∴，故选A．
【点睛】本题考查最短线路问题和勾股定理，解题关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．
9．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，F，点D是边的中点，点M是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】连接，
∵，点D是边的中点，∴，∴，解得，
∵是的垂直平分线，∴，∴，
∴当点M在线段上时，的值最小，∴的最小值为．故选：A．
10．（2023上·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】首先利用在直线上的同侧有两个点、，在直线上有到、的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．
【详解】作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．

此时最小，且等于的长．连接，，
，，∵为的中点，∴，
，，，则，
又，则．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，解题的关键是确定点的位置．
最短问题，属于中考常考题型．
11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．

【答案】
【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，由，可推出为等边三角形，再根据三角形三边关系即可推出结论．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，，，，，∴，∴，

∵，∴为等边三角形，点为的中点，，，
∵，的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确作出辅助线利用三角形的三边关系求解是解题的关键．
12．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键．
根据题意可证是边上的高，设点Q关于直线对称的对称点为，可得，根据题意可证点在上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可．
【详解】解：∵，是的平分线，∴，
设点Q关于直线对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，∴点在上，∴，
∴当且C、P、三点共线时，有最小值，即，
∵,，，，
∴，解得，，∴的最小值是，故答案为：．
13．（2022·重庆大渡口·九年级期中）如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则______．
【答案】12
【分析】如图1中，过点P作PH⊥BC于点H．求出PH＝2，推出点P在BC的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的值最小，如图2中，设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解决问题．
【详解】解：如图1中，过点P作PH⊥BC于点H．

∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4，∵S△BCP＝4，∴4×PH＝4，∴PH＝2，
∴点P在BC的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BP＝BP′，
∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，∴当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的值最小，如图2中，
设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，
∴PM＝4+2＝6，∴S△ACP′AC×PM4×6＝12，故答案为：12．
【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）中，，，点P为高上的一个动点，连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P与垂直的直线于点Q，连接，则周长的最小值是______．
【答案】
【分析】以为边向下作正方形，连接、，证明，可得，点Q在上移动，然后根据点D与点E关于对称可知当点A、Q、E在一条直线上时，取最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，进而可得答案．
【详解】解：如图，以为边向下作正方形，连接、，
由题意知和是等腰直角三角形，
∴，，∴，∴，
∵为的高线，∴，∴，
∴，∴点Q在上移动，
∵四边形是正方形，∴点D与点E关于对称，
∴当点A、Q、E在一条直线上时，取最小值，最小值为的长，
∵在等腰直角中，为高线，，
∴，，∴，
∴，
∴周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质以及轴对称最短路径问题，作出合适的辅助线，判断出点Q的运动路径是解题的关键．
15．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．

【答案】
【分析】首先说明点在射线上运动，作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，即可得出答案．
【详解】解：证明：四边形是正方形，，
，，，，
在上取点，使，连接，
，，，
，，，，
，，

作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，
在中，由勾股定理得，
以、、为顶点的三角形周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题等知识，确定点的运动路径是解题的关键．
16．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．

【答案】
【分析】将正方形展开，取及两个面，过点作于点Q，交于点P，此时取最小值，由正方形的性质可得出，再利用特殊角的三角函数值即可求出的长度，此题得解．
【详解】解：将正方形展开，取及两个面，过点作于点Q，交于点P，此时取最小值．

∵为正方形，∴．
在中，，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短路线问题、正方形的性质以及特殊角的三角函数值，找出点P、Q的位置是解题的关键．
17．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
【答案】6
【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；
∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中，，，∴，∴，
由对称的性质，得，，∴，∴
∵，，∴△BEF是等边三角形，
∴，∴是直角三角形，
∴，∴的最小值为6；故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．
18．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
【答案】/
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB==，∴OA=，∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键．
19．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
【答案】
【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，
由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，∴点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，
∵MN+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值为MF的长，
连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，
∵AD=CD=2，DE=1，∴CE==，∵CE×DO=CD×DE， ∴DO=，∴EO=，
∵MF⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，
∵CE为线段DM的垂直平分线，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，
∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四边形DEMG为平行四边形，
∵∠MOG=90°，∴四边形DEMG为菱形，∴EG=2OE=，GM= DE=1，∴CG=，
∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，
∴，即， ∴FG=，∴MF=1+=，∴MN+NP的最小值为．故答案为：．
【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．
【答案】##
【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，分别求出EF和FH，即可求解．
【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，
在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，
∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，
∵E，F分别是AD，AB的中点，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，
∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四边形ADKF为矩形，
∴DK=AF=4，FK=AD=6，∴HK=1，∴，
∴FH+EF=，即的周长最小为．故答案为：
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．
21．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，已知点，，在抛物线上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线上方的抛物线上求一点，使的面积为；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，当的值最大时，求点的坐标；
【答案】（1）；（2）点P的坐标为（1，）或（2，1）；（3）（1，2）；（4）存在，点Q的坐标为（1，）
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入即可求出结论；
（2）过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，连接PC、PB，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点P的坐标为，则点D的坐标为，求出PD的长，然后利用三角形的面积列出方程即可求出结论；（3）根据三角形的三边关系，＜AC，当A、C、M共线时，=AC，从而得出当A、C、M共线时，最大，利用待定系数法求出直线AC的解析式，并求出抛物线的对称轴，即可求出点M的坐标；
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
将点C的坐标代入，得 解得：
∴该抛物线的解析式为；
（2）过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，连接PC、PB，
设直线BC的解析式为y=kx＋d 将点B和点C的坐标分别代入，得
解得：∴直线BC的解析式为
设点P的坐标为，则点D的坐标为
∴PD=∴
∵1∴解得：∴点P的坐标为（1，）或（2，1）；
（3）根据三角形的三边关系，＜AC，当A、C、M共线时，=AC
∴当A、C、M共线时，最大
设直线AC的解析式为y=mx＋n 将点A、C的坐标分别代入，得
解得：∴直线AC的解析式为y=x＋1
抛物线的对称轴为直线x==
将x=1代入y=x＋1中，解得y=2 ∴点M的坐标为（1，2）；
【点睛】此题考查的是抛物线的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和勾股定理是解题关键．
22．（2023·广东深圳·九年级校考开学考试）已知，如图，函数y＝，的图象交于点A、B．

(1)直接写出A、B两点的坐标：A ，B ；(2)观察图象，直接写出不等式的解集： ；
(3)点P是坐标轴上的动点，当取得最小值时，求点P的坐标．
【答案】(1)；(2)或(3)点P的坐标为或
【分析】（1）一次函数与反比例函数组成方程组即可求得交点坐标；
（2）根据反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，是反比例函数值大于一次函数值，可得答案；
（3）分两种情况：①点在轴上，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用轴对称得出的最小值为线段，进而利用待定系数法求出解析式，即可得出点坐标；②点在轴上，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用轴对称得出的最小值为线段，进而利用待定系数法求出解析式，即可得出点坐标．
【详解】（1）解：由题意得：，解之得：，，
、两点坐标分别为、；
（2）解：由图象得：不等式的解集为或；
（3）解：分两种情况：①如果点在轴上，

作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，
所以，即的最小值为线段的长度．
设直线的解析式为，，，
，解得，直线的解析式为，
当时，，点的坐标为；
②如果点在轴上，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，
所以，即的最小值为线段的长度．
设直线的解析式为，，，
，解得，直线的解析式为，
当时，，点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，进行分类讨论、利用数形结合以及方程思想是解题的关键．
23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证；（2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．
(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，
又∵点在的延长线上，∴，∴四边形为平行四边形，
又∵，∴四边形为菱形．
(2)解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，∴，
当、、共线时，，过点作，垂足为，
∵，∴的最小值即为平行线间的距离的长，
∵是边长为2的等边三角形，∴在中，，，，
∴，∴的最小值为．
【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．
24．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；；②12,；③，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合P是的中点证明；
（2）①设，在中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可；
②当点恰好位于对角线上时，最小，利用勾股定理计算即可；
③过点作，交于点M，证明，再由即可得到．
(1)解：如图9-1，在矩形中，，

即，∴．
∵点P是的中点，∴．∴．
(2)①证明：如图9-2，在矩形中，，
∴．由折叠可知，∴．∴．
在矩形中，，∵点P是的中点，∴．
由折叠可知，．
设，则．∴．在中，由勾股定理得，
∴，∴，即．
②解：如图9-3，由折叠可知，．
∴．
由两点之间线段最短可知，当点恰好位于对角线上时，最小．
连接，在中，，∴，
∴，∴．
③解：与的数量关系是．
理由是：如图9-4，由折叠可知．
过点作，交于点M，∵，∴，
∴．∴，∴点H是中点．
∵，即，∴．
∵，∴．∴．∴．
∵点G为中点，点H是中点，∴．
∴．∴．∴．
【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．
25．（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小．
模型应用：
（1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点．
①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则的最小值为 ．
模型变式：
（2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．

【答案】（1）①见解析；②8；（2）
【分析】此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题，
（1）①根据轴对称的性质点，关于对称，进而连接交于点即可；
②根据轴对称的性质，进而解答即可；（2）分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于，利用轴对称的性质解答即可．解题的关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答．
【详解】（1）①如图所示点为所求的点：

②，关于对称，，，
的最小值，故答案为：8；
（2）如图所示，分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于．
由轴对称性质可得，，，，
，则为等边三角形，
即．即周长的最小值等于．