新高考数学二轮复习 专题04 统计概率 解答题 巩固练习五（2份，原卷版+教师版）

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(2)若本批产品次品率为，比较选择哪种方案容易通过验收？
【答案】(1)均值为；(2)答案见解析；
【解析】（1）随机变量需要抽取次数.其分布列为：
，，，；
.需要抽取次数的均值为.
（2）按照方案一：通过验收的概率为：
按照方案二：通过验收的概率为：
当时，即，解得，此时选择方案一更容易通过验收；
当时，，此时选择方案一、方案二结果相同；
当时，即，解得，此时选择方案二更容易通过验收；
2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京顺利召开，会议过后，某市宣传部组织市民积极参加“学习十四大”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了100人，统计了他们的竞赛成绩，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求这100位市民竞赛成绩的第75百分位数；
(2)该市某企业赞助了本次知识竞赛，并对每位参赛市民给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：按竞赛成绩进行分类奖励：当时，每人奖励60元；当时，每人奖励120元；当时，每人奖励180元.方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有一次抽奖机会，竞赛成绩不低于样本中位数的有两次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如表.
若该市某社区的所有参赛市民决定选择同一种奖励方案，试利用样本的频率估计总体的概率，从数学期望的角度分析，该社区参赛市民选择哪种奖励方案更有利？
【答案】(1)79.75；(2)方案二更有利
【解析】（1）由频率分布直方图可知：，，
故第75百分位数位于之间，，
故这100位市民的竞赛成绩的第75百分位数是79.75；
（2）方案一、设奖励为X，则X的可能取值为60，120，180，结合频率分布直方图可知，
，
故X的分布列为：
则，
方案二、设奖励为Y，则Y的可能取值为60，120，180，240，
则
，
故Y的分布列为：
则,显然103.2＜120，故方案二更有利.
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正常工作相互独立．若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作．
(1)若该系统安装了3个元件，且，求它稳定工作的概率；
(2)试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）设安装3个元件的系统稳定工作的概率为P，则3个元件中至少2个元件正常工作．
又因为各元件是否正常工作相互独立，所以．
所以安装3个元件的系统稳定工作的概率为．
（2）由（1）知，安装3个元件的系统稳定工作的概率．
设安装5个元件的系统稳定工作的概率为，则
．
所以．
当时，，两个系统工作的稳定性相同；
当时，，3个元件的系统比5个元件的系统更稳定；
当时，，5个元件的系统比3个元件的系统更稳定．
4．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考模拟预测）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为.
(1)现从三个班中随机抽取一位同学：
（i）求该同学有购买意向的概率；
（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.
【答案】(1)（i）；（ii）(2)0.75.
【解析】（1）（i）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.
由题意可知，，
所以，由全概率公式可得：
.
（ii）由条件概率可得.
（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.
设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：
①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；
②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.
于是得到，易得，
由于，
于是当时，数列是以首项为，公比为的等比数列，故.
于是
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.
5．（2023·湖北武汉·统考三模）某考生在做高考数学模拟题第12题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有3个选项正确．评分标准为：全部选对得5分，部分选对得2分，选到错误选项得0分．设此题正确答案为2个选项的概率为．已知该考生随机选择若干个（至少一个）．
(1)若，该考生随机选择2个选项，求得分X的分布列及数学期望；
(2)为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下三种方案中选一种，并说明理由．
方案一：随机选择一个选项；
方案二：随机选择两个选项；
方案三：随机选择三个选项．
【答案】(1)分布列见解析，(2)选择方案一，理由见解析
【解析】（1）设多选题正确答案是“选两项”为事件，正确答案是“选三项”为事件，则．
考生得0分，2分，5分为事件，，，，．
当时，，则正确答案是“选两项”时，考生选2项，全对得5分，有选错得0分；
正确答案是“选三项”时，考生选2项，选出了2个正确选项得2分，有选错得0分．
因为，
所以
．
因为，
所以，
．
所以，得分X的分布列为：
得分X的数学期望．
（2）（2）方案一：随机选择一个选项
正确答案是“选两项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分；
正确答案是“选三项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分．
因为，所以．
因为，所以
所以，随机选择一个选项得分的数学期望．
方案二：随机选择两个选项；
，
，
．
所以，随机选择两个选项得分的数学期望．
方案三：随机选择三个选项．
正确答案是“选两项”时，考生选3项，得0分；
正确答案是“选三项”时，考生选3项，选对得5分，有选错得0分．
，
，
所以，随机选择三个选项得分的数学期望．
因为，．
所以选择方案一．
奖金
60
120
概率
X
60
120
180
P
0.36
0.56
0.08
Y
60
120
180
240
P
X
0
2
5
P