上海市上海中学2024-2025学年三上学期1月模拟考试数学试卷

这是一份上海市上海中学2024-2025学年三上学期1月模拟考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则 ．
2．不等式的解集为 ．
3．已知复数，其中为虚数单位，则 ．
4．已知，，若//，则 ．
5．已知，则 ．
6．已知的展开式中常数项是，则 ．
7．已知是首项为、公差为的等差数列，是首项为、公比为()的等比数列． 若数列的前三项和为，则 ．
8．关于的方程的解集为 ．
9．已知是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ．
10．已知双曲线()的左、右焦点分别为、．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得．若的面积为，则的值为 ．
11．如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线PQ为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM = DN = 3．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料BQRR，当其面积有最大值时，AQ的长为________．
在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ．
二、选择题 (本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分)
13．如右图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是( )．
A．和 B．和
C．和 D．和.
14．幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是( )．
A． B． C． D．
15．有一四边形，对于其四边、、、，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达点的概率为( )． A． B． C． D．．
16．已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下不可能的是( )． A． B． C． D．
三、解答题 (本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分)
17. （第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在三棱锥中，平面平面，，.
（1）若是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积；
（2）求二面角的大小．
18. （第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）若，，求；（2）若，求的面积的最大值．
19．（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图 (单位：厘米)，以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．
甲、乙两小组组员身高分布茎叶图
（1）求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
（2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
（3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中，已知曲线:()，点、分别为上不同的两点，．
（1）求所在椭圆的离心率；
（2）若，在轴上，若到直线的距离为，求的坐标；
（3）是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数的定义域是．对于，定义集合．
（1），求；
（2）对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是 “对任意，是对称集”；
（3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．甲队
乙队
15
9
7
7
5
5
4
16
0
3
5
5
6
7
8
8
8
5
4
3
2
2
17
2
3
18