炎德英才大联考长郡中学2024-2025学年高三上学期月考试卷（六）数学试题及参考答案

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
7.D【解析】由1n，令且，则，
所以在上递减，则，即，所以，
由，只需比较与的大小，
根据与，相交于两点，图象如图，
由，结合图知，故，综上，，
8.C【解析】由题意知，设，直线的斜率分别为，
则，
又，即，即，
由正弦定理得.
又，则，
联立解得，即，所以，即.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）
10.CD【解析】设动点，根据点到点与直线的距离之和等于10，
所以，即，
化简得，当时，，
当时，，图象如图，
选项A，根据图象得，曲线C不关于y轴对称，故A错误；
选项B，若点在曲线C上，则，所以，
由，得，所以，故B错误；
选项C，若点在曲线C上，则.C正确；
选项D，若点在曲线C上，
当时，，得，故；
当时，，得，故.
所以，D正确.
11.ABD【解析】
.
因为的最小正周期为的最小正周有为，
所以的最小正周期为，故A正确；
.
又，令，，
因为的周期为，所以只需讨论内的的最大值，
此时当时，，当时，，
故当，即时，有极大值，
又，因此的最大值为，故B正确；
因为，
所以直线不是图象的对称轴，故C错误；
，
所以点是图象的对称点，故D正确.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.861 【解析】由题意可知，观察得从第一个数开始每连续四个数需要删掉后两个数，，可被2整除，
则为第11组的第一个数，即.
13. 【解析】因为集合中的元素恰有两个整数，
所以，解得，
当时，集合A中的两个整数分别为2，3，则，解得
当时，，此时，集合A中元素为整数的只有3，4，合乎题意，
综上所述，实数m的取值范围是
14.（1）18 （2）（第一空2分，第二空3分）
【解析】（1）18；
（2）如图3，圆环分为n等份，对有3种不同的种法，对都有两种不同的种法，
但这样的种法只能保证与不同颜色，但不能保证与不同颜色.
于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种；
另一类是与同色的种法，这时可以把与看成一部分，
这样的种法相当于对部分符合要求的种法，记为种，共有种种法，
这样就有，即，
则数列是首项为，公比为－1的等比数列，
则，由题意知：，则，
.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.【解析】（1）由已加Sur，
.
是锐角，，
由余弦定理可得，则.
是四边形外接圆的直径，
利用正弦定理知.
（2）由，
则，又，则，
因此，
故意的面积为.
16.【解析】（1）若，则.
设过点的切线方程的切点为，
则切线方程为.
代入点得，
解得，故切线方程为.
（2）当时，设，则，
令，得；令.但，
，
设，则，
令，得；令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
，即.
17.【解析】（1）为定值.
理由：①当直线的斜率为0时，有；
②当直线的斜率不为0 时，设直线，
联立直线与椭圆C的方程消去x整理得，
则，
所以，所以
.
综上，为定值.
（2）设线段PM的中点为，易得
可得直线AQ的方程为，则，
直线的方程为，则，
所以，
由（1）知，所以，
又直线的字提为，所以点在直线上，
即直线过线段PM的中点.
18.【解析】（1）设平面平两
由于平面平面，因此平面，
又平面平面，因此，
而，因此.
而平面平面，平面平面平面，
因比平面PDC，
而平面PDC，因此，故是直角三角形.
（2）由于，，因此是以为直径的半圆上的点，
而平面，
因此平面，而平面，因此平面平面，
故到平面的最大距离为，所以四棱锥的体积最大为.
（3）设EF中点为，在平面中，作过垂直EF的直线.
设平面PEF与平面的夹角为.
以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
则.
易知平面PEF的一个法向量为，
可设，则，.
设平面PBC的法向量为，因此可取，
则，
不妨设，
因此随的增大而增大，因此.
19.【解析】（1）图为，所以.
（2）对一个4元集合A，中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数.
同时中没有两个数互为相反数，因此A其中没有两个数是互为相反数，
由此知，的绝对值互不相等，不妨设，
那么则有：（）中最小的与次小的两个数分别是及，
最大的与次大的两个数分别是及，
从而必须有：，
于是，故，
结合，只可能取，
由此易知，或，
经检验知这两组解均满足问题的条件，故.
（3）设，不妨设，
因为，所以有，
由于，故为5元集.
设集合的元素为，的元素为，
于是，
由知中有三项分别为，已知，
下证明至多存在2组满足，
假设存在2组记为，则中不存在0，
否则由比例给定立即得到矛盾！
于是，必为（3，4，5）和（4，5，6），这同时也说明了A至多只有2组.
另一方面，根据上述说明容易给出存在2个A的构造，
，，
.
所以，满足的非空有限正数集合的个数的最大可能值为2.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
B
A
A
D
D
C
BD
CD
ABD