高考数学一轮复习—平面向量-真题和模拟题数学分专题训练(教师版含解析)

这是一份高考数学一轮复习—平面向量-真题和模拟题数学分专题训练(教师版含解析)，共16页。试卷主要包含了【全国甲卷】已知向量a=,b=等内容，欢迎下载使用。
1．【全国乙卷】已知向量a=(2,1)，b=(−2,4)，则a−b( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得a−b，然后求得a−b.
【详解】
因为a−b=2,1−−2,4=4,−3，所以a−b=42+−32=5.
故选：D
2．【全国乙卷】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a−2b|=3，则a⋅b=( )
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵|a−2b|2=|a|2−4a⋅b+4b2，
又∵|a|=1,|b|=3,|a−2b|=3,
∴9=1−4a⋅b+4×3=13−4a⋅b，
∴a⋅b=1
故选：C.
3．【新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=( )
A．3m−2nB．−2m+3nC．3m+2nD．2m+3n
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD−CB=2CA−CD，
所以CB= 3CD−2CA=3n−2m =−2m+3n．
故选：B．
4．【新高考2卷】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=( )
A．−6B．−5C．5D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
解：c=3+t,4,csa,c=csb,c,即9+3t+165c=3+tc,解得t=5,
故选：C
5．【北京】在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⋅PB的取值范围是( )
A．[−5,3]B．[−3,5]C．[−6,4]D．[−4,6]
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意建立平面直角坐标系，设Pcsθ,sinθ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C0,0，A3,0，B0,4，
因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
设Pcsθ,sinθ，θ∈0,2π，
所以PA=3−csθ,−sinθ，PB=−csθ,4−sinθ，
所以PA⋅PB=−csθ×3−csθ+4−sinθ×−sinθ
=cs2θ−3csθ−4sinθ+sin2θ
=1−3csθ−4sinθ
=1−5sinθ+φ，其中sinφ=35，csφ=45，
因为−1≤sinθ+φ≤1，所以−4≤1−5sinθ+φ≤6，即PA⋅PB∈−4,6；
故选：D
6．【全国甲卷】已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a⊥b，则m=______________．
【答案】−34##−0.75
【解析】
【分析】
直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
由题意知：a⋅b=m+3(m+1)=0，解得m=−34.
故答案为：−34.
7．【全国甲卷】设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+b⋅b=_________．
【答案】11
【解析】
【分析】
设a与b的夹角为θ，依题意可得csθ=13，再根据数量积的定义求出a⋅b，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】
解：设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即csθ=13，
又a=1，b=3，所以a⋅b=a⋅bcsθ=1×3×13=1，
所以2a+b⋅b=2a⋅b+b2=2a⋅b+b2=2×1+32=11．
故答案为：11．
8．【浙江】设点P在单位圆的内接正八边形A1A2⋯A8的边A1A2上，则PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是_______．
【答案】[12+22,16]
【解析】
【分析】
根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到PA12+PA22+⋯+PA82=8(x2+y2)+8，然后利用cs22.5∘≤|OP|≤1即可解出．
【详解】
以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A1(0,1),A2(22,22),A3(1,0),A4(22,−22),A5(0,−1),A6(−22,−22),A7(−1,0),A8(−22,22)，设P(x,y),于是PA12+PA22+⋯+PA82=8(x2+y2)+8，
因为cs22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cs45∘2≤x2+y2≤1，故PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是[12+22,16].
故答案为：[12+22,16]．
1．(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))在直角坐标系xOy中的三点，，，若向量与在向量方向上的投影相等，则m与n的关系为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果.
【详解】
,,,
向量在向量方向上的投影为，
向量在向量方向上的投影为，
由题意可得，即.
故选：A.
2．(2022·山东潍坊·三模)已知，是平面内两个不共线的向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量共线的充要条件有且，即可得答案.
【详解】
由，，三点共线的充要条件是且，
所以，故.
故选：C
3．(2022·江苏苏州·模拟预测)在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可.
【详解】
设，，因为
所以有，
因此，
因为，，，
所以，
故选：B
4．(2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模(文))若，，下列正确的是( )
A．B．
C．方向上的投影是D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断BC，根据向量的投影的定义判断C.
【详解】
由已知，，
所以，，
因为，所以不平行，A错，
因为，所以不垂直，B错，
因为方向上的投影为，C对，
因为，所以不垂直，D错，
故选：C.
5．(2022·内蒙古赤峰·模拟预测(理))若向量，满足，，，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数量积的运算律得到，再根据计算可得；
【详解】
解：因为，，，所以，
即，所以，设与的夹角为，
则，因为，所以；
故选：B
6．(2022·北京·潞河中学三模)已知菱形的边长为，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.
【详解】
解：，
则.
故选：A.
7．(2022·湖北·华中师大一附中模拟预测)已知向量，，若与反向共线，则的值为( )
A．0B．48C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量反向共线求得，再应用向量线性运算及模长的表示求.
【详解】
由题意，得，
又与反向共线，故，此时，
故.
故选：C.
8．(2022·山东淄博·三模)如图在中，，为中点，，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；
【详解】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
又，，，
则，
即，即，
则，
则，，
则；
故选：C．
9．(2022·河北·石家庄二中模拟预测)数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.
【详解】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
10．(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)已知均为单位向量，且满足，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过向量的线性运算进行化简求值即可.
【详解】
，同理
．
故选：B.
11．(2022·辽宁沈阳·三模)已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为( )
A．4B．2C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解.
【详解】
设，由可知，，
，，
，
，时，的最小值为，解得.
当时，的最大值为.
故选：D
12．(2022·安徽师范大学附属中学模拟预测(理))非零向量满足，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】
由得：，即，解得，
因此，，而，解得，
所以与的夹角为.
故选：B
13．(2022·浙江省江山中学模拟预测)在中，E，F分别为的中点，点D是线段(不含端点)内的任意一点，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定的关系和范围.
【详解】
因为点D是线段(不含端点)内的任意一点，
所以可设，
因为E，F分别为的中点，
所以，
所以，又，
所以，，，，
所以A，B，D错误，C正确，
故选：C.
14．(2022·安徽·合肥一中模拟预测(文))已知向量，，向量与垂直，则实数的值为( )
A．B．2C．D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得化简即得解.
【详解】
因为与垂直，
所以，
所以.
故选：C.
15．(2022·海南华侨中学模拟预测)已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则( )
A．B．2C．3D．2或3
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出，转化，列方程即可求出.
【详解】
由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.
因为，所以，
即，
所以
即，解得：或3.
所以||=2或3
故选：D
16．(2022·贵州贵阳·模拟预测(理))已知，，，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】
由题意，又，则，故．
故答案为：．
17．(2022·河北·沧县中学模拟预测)已知向量的夹角为，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据求解即可.
【详解】
，
则，
则．
故答案为：
18．(2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测(文))已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
由两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量的夹角
【详解】
因为，所以
因为，
所以，又，
所以，所以，
向量的夹角为,则
所以，则.
故答案为：.
19．(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))已知在平行四边形中，，则值为__________．
【答案】##2.25
【解析】
【分析】
由向量加法的几何意义及数量积运算律有，再由结合数量积运算律，即可得结果.
【详解】
由题设可得如下图：，而，
所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
故答案为：
20．(2022·浙江·镇海中学模拟预测)设为不共线的向量，满足，且，若，则的最大值为________．
【答案】324
【解析】
【分析】
采用建系法，令，将各个点用坐标表示，然后表达出面积的最大值，进而求得的最大值；
【详解】
令，又因为，
即，
则点C为的外心，因为，
设，不妨取
则点在圆上，
由，代入坐标，，
解得，
联立和，
解得，故
，
当且仅当即时取“=”.
故，于是
.
故答案为：324
【点睛】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用