2024年高考数学一轮复习-二项式定理及其应用（原卷版）

这是一份2024年高考数学一轮复习-二项式定理及其应用（原卷版），共12页。试卷主要包含了二项式定理，二项式系数的性质，各二项式系数和，的展开式中，含项的系数是，如果，那么的值等于等内容，欢迎下载使用。

知识点总结
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝________________________________________ (n∈N*)；
(2)通项：Tk＋1＝__________，它表示第________________项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2．二项式系数的性质
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数_____.这一性质可直接由Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)得到．
直线r＝eq \f(n,2)将函数ƒ(r)＝Ceq \\al(r,n)的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值
因为Ceq \\al(k,n)＝eq \f(nn－1…n－k＋2n－k＋1,k－1！k)
＝Ceq \\al(k－1,n)eq \f(n－k＋1,k)，
即eq \f(C\\al(k,n),C\\al(k－1,n))＝eq \f(n－k＋1,k)，所以，当eq \f(n－k＋1,k)>1，即keq \f(n＋1,2)时，Ceq \\al(k,n)随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项_____取得最大值；当n是奇数时，中间的两项__________与_____相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数和
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝ _____；
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝_____；
(3)Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝_____.
1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．
2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．
3．(1＋x)n＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)x＋…＋Ceq \\al(k,n)xk＋…＋Ceq \\al(n,n)xn.
典型例题分析
考向一 求展开式中的特定项或特定项系数
【例1】 (1)(2022·上海奉贤区二模)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
【变式】(2019·浙江高考)在二项式(eq \r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.

1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式得所求．
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
考向二 二项展开式中系数的和
【例2】 若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)))n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )
A．－1 B．1
C．27 D．－27
赋值法的应用
(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1.
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.
(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)－g(－1)]．
【变式】(多选)若(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2022x2022(x∈R)，则( )
A．a0＝1
B．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝eq \f(32021＋1,2)
C．a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝eq \f(32022＋1,2)
D.eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2022,22022)＝－1
考向三 二项式系数的最值问题
【例3】二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A．3 B．5
C．6 D．7
求二项式系数最大的项
(1)如果n是偶数，那么中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)＋1))项))的二项式系数最大．
(2)如果n是奇数，那么中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,2)＋1))项))的二项式系数相等并最大．
【变式】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
考向四 项的系数的最值问题
【例4】 (1)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,12)，\f(1,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,12)，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(2,5)))
【变式1】(2021·上海高考)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________.
求展开式中系数最大的项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来．
【变式2】已知(eq \r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________.
考向五 二项式定理的应用
【例5】设a∈Z，且0≤a