2025届全国高三筑梦杯第四次线上联考数学试题

这是一份2025届全国高三筑梦杯第四次线上联考数学试题，共3页。试卷主要包含了未知，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、未知
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．设，是两平面，m，n是两直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．，，，则
D．，，则
4．数列，均为等差数列，若，则（ ）
A．B．C．1D．
5．曲线过点的切线条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．12个不同元素排成前后两排，每排6个元素，其中3个元素要并排，且不能从最边上排起，2个元素只能排在最边上，有4个元素不能相邻，则不同的方法数有（ ）种．
A．1000B．2000C．24192D．48384
7．在三棱锥中，，平面平面ABC，若，A，B，C，D四点共球，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．2
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形
C．若，，则有两解
D．在C选项的条件下，的取值范围为
10．已知函数，则（ ）
A．若，则是的极小值点
B．过上一点能作的三条切线的充分不必要条件是
C．曲线上存在唯一一条切线平行于过零点的法线
D．若点是的对称中心，则是的极大值点
11．已知数列满足递推式，则（ ）
A．若，则是递减数列
B．若是的前几项和，则
C．若，则
D．若，则存在唯一M，，使
12．有一组数据：，，，，…，（m为正偶数），则该组数据的下五分位数为 （用含m的代数式表示）．
13．从2-9中随机取4个数，尽可能地将它们平均分成“互质”与“不互质”的两组数，则一组数的和恰好是另一组数的和的整数倍的概率为 ．
14．已知曲线E：，过点作两条直线，，使它们与E总共相交8个点，则斜率积的取值范围为 ．
15．口袋中共有形状、大小、质地均匀的红球6个，白球4个．
(1)求第2个取到的是白球的前提下，第1个取到的是红球的概率；
(2)将红球编上1-6号数字，白球编上7-10号数字，从中任取5个小球，记事件“取到的球中编号最大的数”，求X的分布列和数学期望．
二、解答题
16．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
三、未知
17．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
18．在中，，D，E分别为BC，AC的中点，作BC的垂直平分线交BC于点Q，满足恒成立．建立恰当的笛卡尔平面直角坐标系．
(1)记A的轨迹为，E的轨迹为；动圆F分别与外切，与内切，求F的轨迹；
(2)记F的轨迹为，它与x轴的交点为G；M，N，P，T是上四点，斜率积，直线PT交x轴于H，且M，H，T三点共线，过H作PT的垂线，垂足为S，求是否存在一点K使得为定值；若不存在，请说明理由．
19．在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD中点，，G是EF中点，沿AE、AF、EF翻折，使B，C，D三点重合于点P．
(1)证明：平面PEF；
(2)平面PEF内有一点Q，求证：当且仅当QA与平面PAF不垂直也不重合时，Q的轨迹为双曲线；
(3)若QA与平面PAF的夹角正切值为，取PA中点M，N为M关于平面PEF对称的点，点T满足：．平面，求二面角的余弦值的范围．