河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学试题

这是一份河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则的子集的个数为（ ）
A．8B．7C．4D．3
2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．B．1C．-2D．2
3．设向量，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则（ ）
A．B．C．D．
5．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（ ）
A．2B．32C．1D．
6．关于函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象关于y轴对称B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小正周期为2πD．函数的最小值为2
7．如图，直四棱柱，点M，N，P分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（ ）
A．，使得
B．函数y=f(x)的最大值为0
C．a的取值范围为
D．过作y=f(x)的切线，有且只有一条
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为
10．已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．AO长度的最大值为B．线段BD长度的最小值为
C．点M的轨迹是一个圆D．四边形ABCD面积的取值范围为
三、填空题
12．已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为 .
13．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为 .
14．甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片(舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
16．已知两定点，，动点P满足
(1)求点P的轨迹方程;
(2)过的直线l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线x=2交于点C，设O为坐标原点，若，求直线l的方程.
17．如图，在斜三棱柱中，M为的中点，底面为等腰直角三角形，且
(1)若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离;
(2)若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知函数且，y=f(x)关于对称的函数记为
(1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值;
(2)讨论方程在上实数解的个数;
(3)若，设函数，若，求的取值范围.
19．如果数列满足，为常数，，，则称数列为数列，已知项数为n的数列的所有项的和为，且为数列.
(1)若，，，写出所有可能的的值;
(2)若，，证明：“”是“数列为递增数列”的充要条件;
(3)若，，证明：若，则或，
《河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学试题》参考答案
1．A
【分析】化简集合A，求出，进而判断其子集个数.
【详解】集合或，，
，
中元素的个数为3，子集个数为
故选：A.
2．C
【分析】根据复数的运算化简判断.
【详解】由，
得，其虚部为
故选：C.
3．C
【分析】对A，由向量坐标求出模判断；对B，由数量积坐标运算求解；对C，由两向量垂直的坐标运算求解判断；对D，由两向量平行的坐标关系判断.
【详解】对于A，，
，，故不正确，即A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，由，所以，故C正确；
对于D，，， 不成立，故D错误.
故选：C.
4．B
【分析】设事件A为：，事件B为：，用列举法写出事件事件和事件的各种情况，计数后由条件概率公式计算．
【详解】设事件A为：
当时，
分两种情况：
第一次掷出4，第二次掷出大于等于4的数，即第二次可以是4，5，6，7，8，共5种情况;
第二次掷出4，第一次掷出大于等于4的数，即第一次可以是4，5，6，7，8，共5种情况，
两种情况都有第一次和第二次都掷出4，共1种情况，
所以事件A包含的基本事件数为
设事件B为：，
则事件AB为：且，
有，和，两种情况.
由条件概率公式：
故选：B．
5．A
【分析】根据题意得到函数的最小正周期，再用最小正周期公式可解.
【详解】由，是函数两个相邻的最值点，
，
所以，即.
故选：A.
6．C
【分析】对A，利用偶函数定义判断；对B，利用函数对称性的定义判断；对C，根据周期函数的定义判断；对D，令，则 ，利用基本不等式求出最小值.
【详解】对于A，的定义域为 R ，
因为 ，
所以是 R 上的偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称，故A正确；
对于B，对于任意的，
，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，因为 ，
所以 为函数的一个周期，故不是函数的最小正周期，故C错误；
对于D，因为，设 ，
则 ，因为 ，当且仅当 ，即时等号成立，
所以函数 的最小值为2，故 D 正确.
故选：C.
7．C
【分析】证明平面，然后以以P为原点，分别以直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出后可比较大小
【详解】解：连接，由底面为菱形，，
所以为等边三角形，故
取中点，连接，
因为是直四棱柱，所以平面，
又平面，所以
不妨设，所以，故，
由三线两两互相垂直，故以P为原点，
所在方向建立x，y，z轴，如下图所示：
则,，
，
由平面ABCD，所以平面ABCD可取，
设平面PMN的法向量为，
所以，
取，则，故
由MN与所成的角为，MN与平面ABCD所成的角为，
二面角的平面角为，
其中
所以，
，
所以，
，
因为在上递减，，
又，
所以
故选：C
8．D
【分析】利用单调性说明的解判断A，由导数求最值判断B，由，使得求解判断C，设切点坐标为，代入所过点坐标求，引入新函数，由导数确定方程只有一个解，从而判断D．
【详解】对于A，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以当00，
当时，，
故无论a取什么值，均，使得，
则a的取值范围为R，故C错误;
对于D，不妨设切点为，，
切线方程为，
把代入可得：，
即：
令，，
，
因为对恒成立，
所以当时，h′x0时，h′x>0，
故hx在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以hx只有一个零点0，
即只有时，成立，
故过作y=f(x)的切线，有且只有一条，故D正确.
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
9．AD
【分析】利用二项分布的方差公式计算出方差，再由方差的性质计算判断A，根据方差的定义求解判断BD，根据正态分布的性质判断C．
【详解】解：对于A，由，得，则，故A正确;
对于B，由题意，总体均值为，若两层样本容量依次为m，n，
则，
当且仅当时，故B错误;
对于C，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小，故C错误；
对于D，加入数据5后，平均数为，则这5个数据的方差为，故D正确.
故选：AD．
10．ACD
【分析】对A，由递推关系求出通项公式，运算判断；对B，将代入求出通项，求解判断；对C，根据，的通项公式计算判断；对D，根据与的通项公式，找出它们相同的项，从而可求的前10项的和.
【详解】对于A，因为，即，
所以，
故数列为等比数列，又，所以，
则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，，，，
又，，，
因为，
为正奇数组成，的项也是奇数，
由上面推理可得，…是由的前14项去掉的前4项余下的项组成，
所以
故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】根据圆的一般方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断B；由AO长度表示圆上点到原点的距离，即可判断A；若M，H，G，F分别是AB，BC，CD，AD的中点，圆心到直线AC，BD的距离且 ，易证四边形MHGF为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定点M的轨迹判断C；根据 ，得到四边形ABCD的面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围，判断D
【详解】由已知可得圆心为，半径，
由圆的性质知：圆心与直线BD距离最大为 2，
线段AO长度最大，则圆心与A，O共线且在它们中间，
此时2，故A错误；
由圆的性质知：当圆心与直线BD距离最大为 2时弦BD的长度最小，
此时，故B正确；
若M，H，G，F分别是AB，BC，CD，AD的中点，
则且 ，且 ，
又，易知：四边形为矩形，而 ，
若圆心到直线AC，BD的距离且 ，
所以 ，
则 ，故，
所以点M在以为直径，，的交点为圆心的圆上，故C正确；
由以上分析： ， ，
而 ，
所以 ，
令 ，则S ，
当，即时，，
当或2，即或时，，
所以，故D正确．
故选：BCD．
12．12
【分析】根据双曲线定义求解.
【详解】由双曲线，得，，，
设其左右焦点为，，
则由双曲线的定义，得，
可设，则有(舍去)或12，
故P在左支上，P到另一个焦点的距离为12.
故答案为：
13．
【分析】设，，，根据已知有，再应用基本不等式求的最大值，即可求面积的最大值.
【详解】设，，，则，
因为的周长为4，所以，
因为，当且仅当时取等号，
故，则，则面积满足
故面积的最大值为
故答案为：.
14．216
【分析】甲，乙出卡片的种数均有种，不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，先求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，分三种情况：甲、乙每轮所出数字大小有一张、有两张、有三张卡片数字相同讨论，进而求出甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种，则，得解.
【详解】甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种.
不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，
若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，
则乙每轮所出数字有以下三种情况：
①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同，
不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同，
有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况，
则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况；
②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同，
不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同，
有1，2，4，3一种情况，
则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况；
③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同，
则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况.
故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有种，
所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4，
甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种.
故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种.
故答案为：216.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，得到甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况.
15．(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出，再由，结合平方关系可求的值；
（2）结合（1）可得，再利用三角形面积相等可求得边上的高.
【详解】（1）在中，
，，
而A为三角形内角，
，
，
整理得，得，
又，且，
（2）由正弦定理得，
得，
由（1）得，，，
，
设边上的高为h，则，
边上的高为
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据椭圆的定义求解；
（2）设直线l的方程为，设，，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，再由面积比得出关系，两者结合起来求得得直线方程．
【详解】（1）依题意知，，
点P的轨迹是以、为焦点的椭圆，且焦点在x轴上，
设椭圆方程为，
由，，得，，，
故所求点P的轨迹方程为
（2）依题意，设直线l的斜率为，则直线l的方程为，
设，，
联立，消y得，，
可得：①，②，
由，，，
，整理得③，
由①③得，，代入②，解得，
直线l的方程为或
17．(1)2；
(2)
【分析】（1）取的中点O，可得，证明面，即点A到平面的距离，得解；
（2）取的中点O，易得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式运算求解.
【详解】（1）如图，取的中点O，连接
为等腰三角形，，，
又在底面内的射影为点B，
面，又面，，
又，且面，
面，
即为点A到平面的距离.
又为等腰直角三角形，且
点A到平面的距离为2.
（2）如图，
取的中点O，连接，，
在底面内的射影为的中点，
面
为等腰三角形，，
建立如图所示的空间直角坐标系，易知，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，
由，令，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为
18．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出，设y=f(x)与有公共点，解由及组成的方程组求出可得答案；
（2）由，两边同取对数得令，利用导数判断出其单调性，分0