（人教版）数学八年级下册期末复习训练专题 一次函数与四边形的综合应用 （2份，原卷版+解析版）

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题型一 一次函数与平行四边形问题
【例题1】（2022春•临渭区期末）如图，平面直角坐标系中，直线yx+4与x、y轴分别相交于点A、B．点C的坐标为（0，﹣2），经过A、C作直线．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点P是直线AB上的动点，点Q是直线AC上的动点，当以点O，A、P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
【变式1-1】（2022•梅江区校级开学）已知：直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式．
（2）求AC的长．
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标．
【变式1-2】（2022春•龙江县期末）综合与探究
如图，直线l1：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝4，AB＝5，点D（t，0）是x轴上一点，过D点作直线l2⊥x轴．
（1）求直线l1的解析式；
（2）当t＝1时，点P在直线l2上，当PA+PB的值最小时，求点P坐标；
（3）当t＝ 时，△ABD的面积为4；
（4）当t＝2时，在坐标平面内是否存在点Q，使以点A、B、D、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-3】（2022春•广水市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：yx+3交x轴于点C，交y轴于点A，点B在x轴的负半轴，且BC．
（1）求直线AB的解析式；
（2）试判断△ABC的形状；
（3）若点E在直线AB上，E点坐标是，F点坐标是（﹣1，0），点M、N分别是直线AB、AC上的动点，若以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M、N的坐标．
【变式1-4】（2022春•渝北区期末）如图1，菱形OABC的顶点O在原点，顶点C在x轴上，OA＝2，∠AOC＝60°．
（1）求边AO所在直线的解析式；
（2）如图1，D，E分别是边BC，OC上的点（包含端点），且∠EAD＝60°，连接AE，AD，ED，求△AED周长的最小值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，若M为平面内一点，当以点E，C，A，M为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【变式1-5】（2023春•江都区月考）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-6】（2022春•抚顺期末）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C（3，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图，M为线段BC上一点，当S△AMB＝S△AOB时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二 一次函数与矩形问题
【例题2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与直线y＝2x平行，且直线l与x、y轴分别交于点A（﹣1，0）、点B，点C（1，a）在直线l上．
（1）求直线l的表达式以及点C的坐标；
（2）点P在y轴正半轴上，点Q是坐标平面内一点，如果四边形PAQC为矩形，求点P、Q的坐标．
【变式2-1】（2022秋•莲湖区校级期中）（1）【问题发现】Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，斜边BC上的高AD＝ ；
（2）【问题探究】如图①，将Rt△AOB置于平面直角坐标系中，直角顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B落在y轴上，已知A（4，0），B（0，3），C是x轴上一点，将Rt△AOB沿BC折叠，使点O落在AB边上的点D处，求出点C的坐标；
（3）【问题解决】如图②，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（12，5），E是OA上一点，将长方形OABC沿CE折叠，点O恰好落在对角线AC上的点F处，求OF所在直线的函数表达式．
【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴正半轴上，点E在边OA上，点F在边OC上，且AE＝EF，已知B（6，8），F（0，2 ）．
（1）求点E的坐标；
（2）点E关于点A的对称点为点D，点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，设P点的运动时间为t秒，△PBD的面积为S，用含t的代数式表示S；
（3）在（2）的条件下，点M为平面内一点，点P在线段BC上运动时，作∠PDO的平分线交y轴于点N，t为何值时，四边形DPNM为矩形？并求此时点M的坐标．
【变式2-3】（2022春•平南县期末）如图，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，点B的坐标为（﹣2，4）．
（1）求直线BD的表达式；
（2）求△DEH的面积；
（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三 一次函数与菱形问题
【例题3】（2022秋•奉贤区月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过菱形OABC的顶点A（2，0）和顶点B．
（1）求b的值以及顶点C的坐标；
（2）将该菱形向下平移，其中顶点C的对应点是C1．
①当点C1恰好落在对角线OB上时，求该菱形平移的距离；
②当点C1在x轴上时，原菱形边OC上一点P平移后的对应点是Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．
【变式3-1】（2022春•宛城区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以AB为边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；否则，说明理由．
【变式3-2】（2023春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+4分别与x轴，y轴交于点B，C．直线l2：yx．
（1）直接写出点B，C的坐标：B ，C ．
（2）若D是直线l2上的点，且△COD的面积为6，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q．使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接求点Q的坐标．
【变式3-3】（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB： 与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求直线CD的解析表达式；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【变式3-4】（2021春•江北区期末）如图所示，直线l：yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．
（1）求△AOB的面积；
（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四 一次函数与正方形问题
【例题4】（2021春•横县期末）已知边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF与GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．
（1）求GH的长．
（2）当AG＝1时，求直线GH的解析式；
（3）如图2，其他条件不变，若O是正方形对角线的交点时，求CH的长．
【变式4-1】（2022春•凤山县期末）如图矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝a，OC＝b，且a，b满足|b﹣7|＝0，一次函数yx+5的图象与边OC，AB分别交于D，E两点．
（1）求点B的坐标；
（2）直线OB与一次函数yx+5交于点M，求点M的坐标；
（3）点G在线段DE上运动，过点G作GF⊥BC，GH⊥AB垂足分别为点F，H．是否存在这样的点G，使以F，G，H，B为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2021春•柳南区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，B、D分别在y轴负半轴、x轴正半轴上，点E是x轴的一个动点，连接CE，以CE为边，在直线CE的右侧作正方形CEFG．
（1）如图1，当点E与点O重合时，请直接写出点F的坐标为 ，点G的坐标为 ．
（2）如图2，若点E在线段OD上，且OE＝1，求正方形CEFG的面积．
（3）当点E在x轴上移动时，点F是否在某条直线上运动？如果是，请求出相应直线的表达式；如果不是，请说明理由．
【变式4-3】（2022•南京模拟）矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB，将△ABC沿AB折叠得△ABE，AE交y轴于点D，线段OD＝3，
OA＝4．
（1）点P为直线AB上一点，连接PO、PD，当△POD的周长最小时，求点P的坐标；
（2）点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否存在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 一次函数与四边形的综合问题
【例题5】（2021春•吉林期末）如图，已知直线AB的函数解析式为，与y轴交于点A，与x轴交于点B．点P为线段AB上的一个动点（点P不与A，B重合），连接OP，以PB，PO为邻边作OPBC．设点P的横坐标为m，OPBC的面积为S．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）①当OPBC为菱形时，S＝ ；
②求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）BC边的最小值为 ．
【变式5-1】（2022春•温州期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：yx+4与坐标轴交于A，B两点，点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
（1）直接写出点C的坐标为 ．
（2）如图2，过点D作DG⊥y轴于G，过点C作CH⊥x轴于H．证明：△PDG≌△CQH．
（3）如图3，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
【变式5-2】（2022•西山区一模）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，y轴交于点B，线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC，AD．
（1）求证：四边形OADC是平行四边形；
（2）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．当点P，Q运动至四边形CPAQ矩形时，请求此时t的值．
【变式5-3】（2022春•上蔡县期末）如图，已知一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．过点C作CE⊥x轴于点E，点G（m，0）是线段OB上的动点，过点G作GF⊥x轴分别交AB、AD于点F、H，连接CF．
（1）求点C的坐标．
（2）当OG＝GB时，判断四边形CEGF的形状，并说明理由．
（3）当FG＝FH时，请直接写出点H的坐标．
【变式5-4】（2022春•曾都区期末）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，2），过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P（点P不与点B，C重合），以点P为顶点在直线BC的下方作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D．
（1）求证：△APD为等腰三角形；
（2）若△APD为等腰直角三角形．
①求直线AP的函数解析式；
②若点M是直线AP上的一个动点，试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以点O，A，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，简要说明理由．
【变式5-5】（2022春•崇阳县期末）如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x，y轴的正半轴上，且OA＝8，OC＝4．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，将矩形OABC沿某条直线折叠，使点A与点C重合，折痕交CB于点D，交OA于点E，求直线DE的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在直线DE上，在直线AC上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-6】（2022春•海口期末）如图，直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴交于点C（3，0），P是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点P作直线PQ∥x轴，交直线BC于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）设动点P的横坐标为t．
①当t＝﹣2时，求四边形PEFQ的周长；
②当t为何值时，四边形PEFQ是正方形；
③在x轴上存在点M，使得四边形PMQB是平行四边形，请直接写出此时点M的坐标．