山东省潍坊市2025届高三下学期诊断性调研监测考试数学试题（2025.2）

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一、未知
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．1C．3D．
3．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．若圆锥的母线与轴的夹角为，高为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
5．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
6．从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
9．某学校准备组织部分同学去研学旅行，为了便于识别，他们准备定做一批容量一致的双肩包，为此，活动负责人征求了参加同学的意向，得到了如下数据：
对于上述数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数为31B．第一四分位数为28
C．平均数大于28D．标准差小于2
10．已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．数列为等比数列
C．D．
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等．已知卵形线C：，则（ ）
A．C关于直线对称
B．C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个
C．C上存在点P，使得P到点的距离小于1
D．C围成区域的面积大于4
12．的展开式的第8项是 ．
13．已知正项等比数列的前n项和为，若，则 ．
14．已知函数则 ；若恰有三个不同的零点，，，则 ．
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若的角平分线AD与BC交于点D，且，．求的面积，
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E为PB中点．
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
17．已知函数，．
(1)若恒成立，求a的最小值；
(2)若是的极小值点，求n的取值范围．
18．截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的8.9%．某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下：
(1)请根据所给数据，完成上面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关；
(2)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查．
（ⅰ）抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率；
（ⅱ）记抽取的2人中，来自女性驾驶员且偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：
19．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为F，，短轴长为2．
(1)求C的方程；
(2)斜率不为0的直线l交C于M，N两点，，的斜率分别记为，，且．
（ⅰ）当C的上顶点B到l的距离最大时，求l的方程；
（ⅱ）若直线和交于点T，记的面积为，的面积为，求出的取值范围．
容量/L
22
25
28
31
34
37
频数
4
1
5
21
2
2
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
女性驾驶员
100
400
合计
400
1000
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828