2024年辽宁省盘锦市数学模拟中考试题试卷（解析）

这是一份2024年辽宁省盘锦市数学模拟中考试题试卷（解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. ﹣2的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 3x+4y=7xyB. （﹣a）3•a2=a5C. （x3y）5=x8y5D. m10÷m7=m3
【答案】D
【解析】
分析：根据同类项的定义、幂的运算法则逐一计算即可判断．
详解：A、3x、4y不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、（-a）3•a2=-a5，此选项错误；
C、（x3y）5=x15y5，此选项错误；
D、m10÷m7=m3，此选项正确；
故选D．
点睛：本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项的定义、幂的运算法则．
4. 某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（ ）
A. 5.035×10﹣6B. 50.35×10﹣5C. 5.035×106D. 5.035×10﹣5
【答案】A
【解析】
试题分析：0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A．
考点：科学记数法—表示较小的数．
5. 要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，经过数据分析，3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，则这10次测试成绩比较稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法确定
【答案】C
【解析】
分析：根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答即可．
详解：因为3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，
所以这10次测试成绩比较稳定的是丙，
故选C．
点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（ ）
A. 1.70，1.75B. 1.70，1.70C. 1.65，1.75D. 1.65，1.70
【答案】A
【解析】
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
详解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；
跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；
故选A．
点睛：本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
7. 如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A. 15°B. 25°C. 30°D. 50°
【答案】B
【解析】
分析：连接OB，由垂径定理及圆心角定理可得∠AOB=∠AOC=50°，再利用圆周角定理即可得出答案．
详解：如图连接OB，
∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴∠AOB=∠AOC=50°，
则∠ADB=∠AOB=25°，
故选B．
点睛：本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理．
8. 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为（ ）
A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π
【答案】B
【解析】
分析：直接利用弧长公式计算得出答案．
详解：的展直长度为：=6π（m）．
故选B．
点睛：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
9. 如图，已知在▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是（ ）
A. FA：FB=1：2B. AE：BC=1：2
C. BE：CF=1：2D. S△ABE：S△FBC=1：4
【答案】C
【解析】
分析：根据平行四边形的性质得到CD∥AB，CD=AB，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算，判断即可．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∴△DEC∽△AEF，
∴，
∵E为AD的中点，
∴CD=AF，FE=EC，
∴FA：FB=1：2，A说法正确，不符合题意；
∵FE=EC，FA=AB，
∴AE：BC=1：2，B说法正确，不符合题意；
∵∠FBC不一定是直角，
∴BE：CF不一定等于1：2，C说法错误，符合题意；
∵AE∥BC，AE=BC，
∴S△ABE：S△FBC=1：4，D说法正确，不符合题意；
故选C．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（ ）
A. △ONC≌△OAM
B. 四边形DAMN与△OMN面积相等
C. ON=MN
D. 若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，+1）
【答案】C
【解析】
分析：根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，而OC=OA，则NC=AM，再根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；根据S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，即可得到S四边形DAMN=S△OMN；
根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，无法确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=x，EM=x-x=（-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+，所以ON2=（x）2=4+2，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为+1，从而得到C点坐标为（0，+1）．
详解：∵点M、N都在y=图象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，
∴A正确；
∵S△OND=S△OAM=k，
而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，
∴B正确；
∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，
∴C错误；
作NE⊥OM于E点，如图所示：
∵∠MON=45°，∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（ -1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（ -1）x]2，
∴x2=2+，
∴ON2=（x）2=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴C点坐标为（0，+1），
∴D正确．
故选C．
点睛：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；本题难度较大，综合性强；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行推理计算．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 因式分解：x3-x=______________.
【答案】
【解析】
x3-x=x(x2-1)=
12. 计算：﹣=__．
【答案】
【解析】
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
详解：原式=3-2
=．
故答案为．
点睛：本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
13. 如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是__．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．
【详解】如图所示：连接OA，
∵正六边形内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴OC∥AB，
∴S△ABC=S△OBC，
∴S阴=S扇形OBC，
则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．
14. 若式子有意义，则x的取值范围是__．
【答案】1≤x≤2
【解析】
分析：直接根据二次根式的意义建立不等式组即可得出结论．
详解：根据二次根式的意义，得
，
∴1≤x≤2，
故答案为1≤x≤2．
点睛：此题主要考查了二次根式的意义，解不等式组，建立不等式组是解本题的关键．
15. 不等式组的解集是__．
【答案】0＜x≤8
【解析】
分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
详解： ，
∵解不等式①得：x≤8，
解不等式②得：x＞0，
∴不等式组的解集为0＜x≤8，
故答案为0＜x≤8．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
16. 如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为__．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据图象②得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
【详解】解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10-4=6，
所以矩形ABCD的面积是4×6=24，
故答案为24．
【点睛】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
17. 如图，是某立体图形的三视图，则这个立体图形的侧面展开图的面积是__．（结果保留π）
【答案】65π
【解析】
分析：从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，故母线长为13，据此可以求得其侧面积．
详解：由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，所以母线长为13，
所以侧面积为πrl=π×5×13=65π，
故答案为65π．
点睛：本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积．牢记公式是解题的关键，难度不大．
18. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．
【答案】或
【解析】
分析：依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
详解：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，
∴∠C=30°，AB=AC=+2，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=DN=AN，
∴BN=AB=，
∴AN=2BN=，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN=；
②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD=DN=AN，BN=BD，
又∵AB=+2，
∴AN=2，BN=，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH=AN=1，HN=，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN=，
∴MN=，
故答案为或．
点睛：本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题
19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．
【答案】原式==+1．
【解析】
分析：先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
详解：原式=
=
=
当a=2+
原式=．
点睛：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
20. 某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人．
（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
【答案】（1）50；（2）72°；（3）补全条形统计图见解析；（4）640；（5）抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为．
【解析】
【分析】
（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（4）用2000乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可；
（5）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）14÷28%=50，
所以本次共调查了50名学生；
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数=360°×=72°；
（3）最喜欢舞蹈类的人数为50-10-14-16=10（人），
补全条形统计图为：
（4）2000×=640，
估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人；
故答案为50；72；640；
（5）画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，
所以抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21. 两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．
（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？
（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．
【答案】（1）此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．
【解析】
分析：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可；
（2）连接BC，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
详解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，
由图可知，FH=CD=30m，
∵∠BFH=∠α=30°，
在Rt△BFH中，BH=FH＝10≈17.32，
≈5.8，
答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；
（2）连接BC，∵BD=3×10=30=CD，
∴∠BCD=45°，
答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是利用利用直角三角形的性质和三角函数解答．
22. 东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是35元．
【解析】
分析：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入-成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
详解：（1）设第一批悠悠球每套进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得：
，
解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，
根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售价至少是35元．
点睛：本题考查了分式方程应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求⊙O的半径r；
（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为2；（3）四边形OAFE是菱形，理由见解析.
【解析】
分析：（1）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出∠AOE=60°，进而得出∠BEO=90°，即可得出结论；
（2）先求出∠AEC=60°，利用锐角三角函数求出AE，最后用三角函数即可得出结论；
（3）先判断出△AOF是等边三角形，得出OA=AF，∠AOF=60°，进而判断出△OEF是等边三角形，即可判断出四边相等，即可得出结论．
详解：（1）如图1，
连接OE，∴OA=OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵∠BAE=30°，
∴∠OEA=30°，
∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°，
在△BOE中，∠B=30°，
∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，
∴OE⊥BC，
∵点E在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
∵∠B=∠BAE=30°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，
在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，
∴AE=，
连接DE，∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cs∠DAE=，
∴AD=，
∴⊙O的半径r=AD=2；
（3）以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
连接OF，∴OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA=AF，∠AOF=60°，
连接EF，OE，
∴OE=OF，
∵∠OEB=90°，∠B=30°，
∴∠AOE=90°+30°=120°，
∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，
∵OE=OF，
∴△OEF是等边三角形，
∴OE=EF，
∵OA=OE，
∴OA=AF=EF=OE，
∴四边形OAFE是菱形．
点睛：此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，三角形的外角的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，求出∠AEC=60°是解本题的关键．
24. 鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？
②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？
【答案】（1）y=100+10（60﹣x）=﹣10x+700；（2）每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元；（3）①当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润；②每星期至少要销售该款童装170件．
【解析】
【分析】
（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）①根据方程即可解决问题；②列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题．
【详解】（1）y=100+10（60-x）=-10x+700．
（2）设每星期利润为W元，
W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000．
∴x=50时，W最大值=4000．
∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．
（3）①由题意：-10（x-50）2+4000=3910
解得：x=53或47，
∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．
②由题意：：-10（x-50）2+4000≥3910，
解得：47≤x≤53，
∵y=100+10（60-x）=-10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，学会利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
25. 如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．
（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；
（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；
（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．
理由：∵AD∥EF，AD∥BC，
∴BC∥EF，
∴∠EFM=∠HBM，
在△FME和△BMH中，
，
∴△FME≌△BMH，
∴HM=EM，EF=BH，
∵CD=BC，
∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，
∴CM=ME，CM⊥EM．
（2）如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，
∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，
∴点B、E、D在同一条直线上，
∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，
∴CM=AF，EM=AF，
∴CM=ME，
∵∠EFD=45°，
∴∠EFC=135°，
∵CM=FM=ME，
∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，
∴∠MCF+∠MEF=135°，
∴∠CME=360°-135°-135°=90°，
∴CM⊥ME．
（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，
在△EDM和△GDM中，
，
∴△EDM≌△GDM，
∴ME=MG，∠MED=∠MGD，
∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，
∴GN=NC，又MN⊥CD，
∴MC=MG，
∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，
∵∠MGC+∠MGD=180°，
∴∠MCG+∠MED=180°，
∴∠CME+∠CDE=180°，
∵∠CDE=90°，
∴∠CME=90°，
∴（1）中的结论成立．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26. 如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，﹣）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）
【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得
∴抛物线解析式为：y=x2−x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
∴y=-x
则P点坐标为（1，-）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标（a，-a-1）
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，a−1）
把M代入y=x2−x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．