2024~2025学年湖北省武汉市江岸区九年级上期中数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省武汉市江岸区九年级上期中数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程化为一般形式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别可以是（ ）
A. 2，3，1B. 2，3， C. 2，，1D. 2，3，0
【答案】A
【解析】解：，则，
∴，
故选：A．
2. 下列文物标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. 黄鹤楼B. 太阳神鸟
C. 华表D. 天坛
【答案】B
【解析】、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故选：．
3. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意知，抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为，
故选：A．
4. 判断方程的根的情况正确的是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：．
5. 如图，在平面内将绕点O按顺时针方向旋转后得到，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由旋转得，
∴，
故选：D．
6. 下列说法中，正确的是（ ）
①同圆中，所有的半径都相等；
②圆中的直径是弦，弦是直径；
③在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；
④相等的圆心角所对的弧相等．
A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④
【答案】B
【解析】解：由题意知，同圆中，所有的半径都相等；①正确，故符合要求；
圆中的直径是弦，弦不一定是直径；②错误，故不符合要求；
在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；③正确，故符合要求；
同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；④错误，故不符合要求；
故选：B．
7. 根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：将点，，代入，
得，
解得，
，
故选：B．
8. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径AB为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设点为圆的圆心，点为AB的中点，连接，则由垂径定理的推论可得，
∴，
∵铅球直径为，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
9. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线x=1，
∵点和在二次函数图象上，
∴点关系对称轴对称，，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
10. 对于正数x，规定，例如：，，，则的值为（ ）
A. 2023B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 已知 是方程的两个不相等的实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】解：∵是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程________．（不必解方程）
【答案】
【解析】解：某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，
该种植物共有个支干，个小分支，
根据题意得：．
故答案为：．
14. 如图，点A，B，C在圆O上，与的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若，则_______．
【答案】或
【解析】解：∵与的角平分线交于点P，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
当在上方时，如图，
∴，
当在下方时，如图，
∴，
综上所述，或，
故答案为：或．
15. 已知二次函数（a为常数），下列四个结论：
①若，则该二次函数图象与x轴有两个交点；
②该二次函数图象经过定点；
③ 该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上；
④ 若，该二次函数图象与直线交于点，则．
其中正确的结论序号是_______．
【答案】①③
【解析】解：对于①，，
若，则，
∴
∴该二次函数图象与x轴有两个交点，
故①正确；
对于②，，
即，
使得过定点，则与无关，
故，
∴，
∴过定点，
故②错误；
对于③，，
∴顶点为，
若二次函数图象的顶点始终在y轴的正半轴上，则，此时无解，
故顶点始终不在y轴的正半轴上，
故③正确；
对于④，，该二次函数图象与直线交于点，
则得到，
此时为该一元二次方程的两根，
则，
∵，
∴，
故④错误，
故答案为：①③．
16. 点C在以为直径的圆上，，点E为线段的中点，点D在的延长线上，，若，则_____．
【答案】
【解析】解法一：设圆的圆心为，与相交于点，连接，，过点作于点，如下图，
是的直径，
．
，，
，
．
点E为线段的中点，，
是的中位线，
．
在和中，
，
，
，．
设，
．
，
，，
，，
，
．
在中，，
，
整理得，
解得（舍去），（舍去），，
，
．
故答案为：．
解法二：
解∶为直径，
，
，
，
点E为线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 解方程：．
解：，
，
∴或，
解得，．
18. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？
解：设有 人参加聚会，根据题意列方程得，，
解得 (不合题意，舍去)；
答：有 人参加聚会．
19. 已知函数．
（1）该函数图象的开口方向是 ；
（2）抛物线与y轴的交点坐标是 ；
（3）当时，则函数y的最小值是 ；
（4）当时，则自变量x的取值范围是 ．
解：（1）∵，
∴开口向上，
故答案为：向上；
（2）当x=0时，，
∴与y轴的交点坐标为，
故答案为：；
（3）对于，
可得对称轴为直线：，
∵，开口向上，
∴当时，，
故答案为：；
（4）当时，则，
解得：，
∴与抛物线的两个交点的横坐标分别为
如图：
∴当，自变量x的取值范围为或．
20. 如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，连接，于点F，．
（1）求证：点D是的中点；
（2）若，求的长．
解：（1）证明：如图，记与交于点，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：如图，
设半径为，则，
∵，
∴中，由勾股定理得：，
解得：，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 下图是由单位长度为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在射线AB上取格点，使；
（2）画的角平分线；
（3）在上取点，使；
（4）将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到．
解：（1）如图所示，点即为所求；
（2）如图所示，射线即为所求；
（3）如图所示，点即为所求；
（4）如图所示，即为所求．
22. 又是一年秋风起，武汉某花圃基地计划将如图1所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉，其中花卉B区是正方形（边长不超过），育苗区一边与花卉B区重合，另一边长是．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，300元．
（1）设花卉B区的边长为，用含x的代数式表示下列各量：
花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 ．
（2）花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）如图2，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A、B区铺设一条宽为a米（）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73000元，则a的值为 ．（直接填写答案）
解：（1）∵花卉B区的边长为x，
∴面积是．
∵育苗区另一边长是10，
∴花卉A区的一边长为：，另一边长为：．
∴面积为：．
∵花卉C区的一边长为：，另一边长为：，
∴面积为：．
故答案为：，，．
（2）∵A，B两种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，A，B两种花卉的总产值相等，
∴．
化简得．
解得或（舍去）．
故花卉B区的边长为时，A，B两种花卉的总产值相等．
（3）设，，三种花卉的总产值之和为百元．
∵花卉、区铺设一条宽为米（）且与大矩形边平行的小路，
∴花卉区种植面积：．
花卉区种植面积：．则
．
∴的对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而小，
∵，
∴，
∵花卉区是正方形（边长不超过）即
∴当时，有最小值．
∴．
解得．
故答案为：．
23. （）[问题背景]如图，在中，，为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点，于点，且．求证：；
（）[类比探究]如图，在中，，为外一点，当，，，时，求的长度；
（）[拓展应用]如图，在中，，点分别在边上，， ，连接AD、DE，点是DE延长线上一点，且，连接CF．求证：．
解：（1）证明：∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，作于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴CE垂直平分，
∴，
即的长度为；
（3）证明：如图，作的外接圆交AD于点，连接，
则，
∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点重合，
∴点在的外接圆上，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（为常数，且）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知点，点为轴下方的抛物线上一点，满足，试求点的横坐标；
（3）如图，若直线与抛物线交于两点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
解：（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为，
∵点，
∴点在对称轴上，且在顶点下方，设直线AD与对称轴相交于点，如图，
设点，直线AD的函数解析式为，
把、代入得，
，
解得，
∴直线AD的函数解析式为，
当x=1时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
解得或，
当时，；
当时，；
∵点为轴下方的抛物线上一点，
∴点的纵坐标为负数，
∴不合题意，舍去，
∴点的横坐标为；
（3）证明：∵直线，
∴直线恒过点，
由，得，
设Mx1,y1，Nx2,y2，则，，
设直线与对称轴x=1相交于点，与对称轴x=1相交于点，过点作于点，则，
∴，，
∴，，
∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
即，
∵，
，
∴，，
∴，
整理得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线过定点，定点坐标为．
x
…
0
1
2
…
y
…
-5
5
…