2024-2025学年皖中名校联盟合肥八中第一学期高二年级期末检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年皖中名校联盟合肥八中第一学期高二年级期末检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=− 3x+1的倾斜角为( )
A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6
2.如图，M是三棱锥P−ABC的底面ΔABC的重心．若PM=xPA+yPB+2zPC(x、y、z∈R)，则x+y−z的值为( )
A. 1B. 12C. −13D. −12
3.若两平行直线x+my+2=0与2x−4y+n=0(n>0)之间的距离是 5，则m+n=( )
A. −2B. −12C. 12D. 14
4.已知向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，{i,j,k}是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：a×b=ay&azby&bzi−ax&azbx&bzj+ax&aybx&byk=ay&azby&bz,−ax&azbx&bz,ax&aybx&by ，其中行列式计算表示为a&bc&d=ad−bc，所得向量a×b垂直于向量a，b所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量AB=(1,1,2)，AC=(3,2,1)，则平面ABC的法向量为( )
A. −3,5,−1B. 4,−10,3C. 1,5,−3D. 3,−2,3
5.已知等比数列an满足1a1+1a2+1a3=2，a2=2，记Sn为其前n项和，则S3=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
6.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，直线DD1与平面ACD1所成角的正切值为12，则点D到平面ACD1的距离为( )
A. 105B. 2 55C. 2 33D. 33
7.如图，F1、F2是椭圆C1：x2a2+y2b2=1与双曲线C2：x22−y2=1的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C1的离心率是 ( )
A. 12B. 22C. 32D. 62
8.已知曲线E:x|x|−y|y|=2，则下列结论中错误的是( )．
A. 曲线E与直线y=x无公共点
B. 曲线E上的点到直线y=x的最大距离是 2
C. 曲线E关于直线y=−x对称
D. 曲线E与圆x2+y2=3有三个公共点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线E:x23−m+y2m−1=1，则下列选项正确的有( )
A. 若10)的离心率为 22，其四个顶点构成的四边形面积为2 2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点，AP//OM,BP//ON．
①证明：kOMkON为定值；
②ΔOMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
18.(本小题17分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在对角线BD1上，AC∩BD=O，平面ACP//平面A1C1D．
(1)求证：B1P=2PO；
(2)若A1在底面上的投影是O，且AB=AD=2,A1O= 6，∠BAD=π3，求平面PAB与平面A1AC夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知点P1(t+2,t)在抛物线C:x2=8y上，按照如下方法依次构造点Pn(n=2,3,⋯)，过点Pn−1作斜率为−1的直线与抛物线C交于另一点Qn−1，令Pn为Qn−1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为xn,yn.
(1)求t的值；
(2)求证：数列xn是等差数列，并求xn,yn；
(3)求ΔPnPn+1Pn+2的面积．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.A
5.D
6.A
7.C
8.D
9.BD
10.BC
11.ABC
12.4
13.600
14. 2
15.解：(1)因为{an}的前n项和Tn=2n+1+m，所以T1=4+m，T2=8+m，T3=16+m，
所以a1=4+m，a2=T2−T1=(8+m)−(4+m)=4，a3=T3−T2=(16+m)−(8+m)=8，
若{an}是等比数列，则a1⋅a3=a22，求得m=−2．
当m=−2时，a1=T1=2，
又当n≥2时，an=Tn−Tn−1=2n，
则当n=1时，a1=2也适合此通项公式.即an=2n，n∈N∗，
由于an−1an=2对n∈N∗都成立，所以此时数列{an}为等比数列，
所以当m=−2时，数列{an}为等比数列，此时数列的通项公式为an=2n；
(2)当m=0时，Tn=2n+1，bn=nTn=n⋅2n+1，
则Sn=1×22+2×23+3×24+⋯+n⋅2n+1，
2Sn=1×23+2×24+3×25+⋯+n⋅2n+2，
所以−Sn=22+23+24+⋯+2n+1−n⋅2n+2=22(1−2n)1−2−n⋅2n+2=(1−n)⋅2n+2−4，
故Sn=(n−1)⋅2n+2+4．
16.解：(1)曲线y=x2−4x+3与坐标轴的交点分别为(1,0)，(3,0)，(0,3)，
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
代入点坐标可解得D=−4，E=−4，F=3，
从而圆的方程为x2+y2−4x−4y+3=0，
即(x−2)2+(y−2)2=5;
(2)|AB|=2得圆心(2,2)到直线距离为2，
当直线l斜率不存在时，方程为x=4，满足题意，
直线l斜率存在时，设直线l1:y+2=k(x−4)，即kx−y−4k−2=0，
由题d=|−2k−4| 1+k2=2，解得k=−34，
所以直线方程为y+2=−34(x−4)，即3x+4y−4=0，
综上，从而直线l方程为x=4或者3x+4y−4=0

17.(1)由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为12⋅2a⋅2b=2 2，且e=ca= 22，
所以a= 2，b=c=1，椭圆的方程是x22+y2=1
(2) ①由题意可得A(− 2,0)，B( 2,0)，设P(x0,y0)，可得x022+y02=1，
即x02+2y02=2，则kAPkBP=y0x0− 2⋅y0x0+ 2=y02x02−2=−12
因为AP//OM，BP//ON，则kAPkBP=kOMkON=−12
②易知直线l的斜率存在，设直线l:y=kx+n，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立直线y=kx+n和x2+2y2=2，可得(1+2k2)x2+4knx+2n2−2=0，
可得∴x1+x2=−4kn1+2k2，x1x2=2n2−21+2k2，
y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+nk(x1+x2)+n2，
由kOM⋅kON=y1y2x1x2=k2+−4k2n22n2−2+n2(2k2+1)2n2−2=−12，
可得n2=k2+12
由弦长公式可得，|MN|= 1+k2·|x1−x2|= 1+k2· (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2· (−4kn1+2k2)2−4(2n2−21+2k2)= 1+k21+2k2· 16k2n2−8(n2−1)(2k2+1)=2 1+k2 2k2+1
点(0,0)到直线l的距离为d=|n| k2+1== 12+k2 k2+1，
所以S△OMN=12d|MN|= 22，
综上可知，△OMN的面积为定值 22．
18.(1)证明：连B1D1交A1C1于O1，连DO1．
在平行六面体ABCD−AB1C1D1中，BB1=DD1且BB1//DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，BD=B1D1且BD/​/B1D1，又O，O1分别为BD，B1D1的中点，所以OD=O1B1，OD//O1B1，
所以四边形ODO1B1是平行四边形，于是OB1//O1D，
因为平面ACP//平面A1C1D，平面ACP∩平面BDD1B1=OP，平面A1C1D∩平面BDD1B1=O1D，所以OP//O1D，
因为OB1，OP都经过点O，所以O，P，B1三点共线．
所以△OBP∽△B1D1P，B1PPO=B1D1OB=2，则B1P=2PO
(2)解：因为AB=AD=2，∠BAD=π3，则平行四边形ABCD是菱形，
所以BD=2，BO=OD=1，AO= 3
又A1在底面上的投影是O，A1O⊥AO，A1O⊥OB，以点O为原点，
分别以OA，OB，OA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A1(0,0, 6)，A( 3,0,0)，B(0,1,0)，D(0,−1,0)，
所以AA1=(− 3,0, 6)=DD1，于是D1(− 3,−1, 6)，又BP=13BD1，所以BP=(− 33,−23, 63)，AB=(− 3,1,0)，
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅BP=0m⋅AB=0,
于是可得− 3x−2y+ 6z=0− 3x+y=0，
不妨令x=2，则m=(2.2 3,3 2)，
平面AA1C的一个法向量为n=(0,1,0)，cs⟨m，n⟩=m⋅n|m|⋅|n|=2 3 34= 10217，
所以平面PAB与平面A1AC夹角的余弦值为 10217．
19.解：(1)因为点P1(t+2,t)在抛物线C:x2=8y上，可得(t+2)2=8t，解得t=2;
(2)证明：由(1)知：P1(4,2)，即x1=4，y1=2，
因为点Pn(xn,yn)在抛物线C:x2=8y上，则yn=xn28，且Qn−1(−xn,yn)，
过Pn−1(xn−1,xn−128)，且斜率为−1的直线Pn−1Qn−1:y−xn−128=−(x−xn−1)，
联立方程组y−xn−128=−(x−xn−1)x2=8y,
可得x2+8x−8xn−1−xn−12=0，
解得x=xn−1或x=−xu−1−8，
所以−xn=−xn−1−8，可得xn−xn−1=8，
所以数列xn是以首项为4，公差为8的等差数列，
所以xn=4+8(n−1)=8n−4，yn=xn28=2(2n−1)2．
(3)由(2)知：Pn(8n−4,2(2n−1)2)，Pn+1(8n+4,2(2n+1)2)，Pn+2(8n+12,2(2n+3)2)，
过点Pn作PnTn⊥y轴于点Tn，则四边形TnPnPn+1Tn+1为直角梯形，
可得梯形TnPnPn+1Tn+1的面积为：
STnPnPn+1Tn+1=12|TnTn+1|(|TnPn|+|Pn+1Tn+1|)=12[2(2n+1)2−2(2n−1)2](8n−4+8n+4)=128n2，
同理可得STn+1Pn+1Pn+2Tn+2=128(n+1)2，
又由梯形TnPnPn+2Tn+2的面积为：
STnPnPn+2Tn+2=12|TnTn+2|(|TnPn|+|Pn+2Tn+2|)=12[2(2n+3)2−2(2n−1)2](8n−4+8n+12)=64(2n+1)2，
则△PnPn+1Pn+2的面积为：
．