2024-2025学年山东省青岛三十九中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛三十九中高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.将直线l1：x−y+1=0绕点(0,1)逆时针旋转90°得到直线l2，则l2的方程是( )
A. x+y−2=0B. x+y−1=0C. 2x−y+2=0D. 2x−y+1=0
2.已知双曲线C:x2m+y2n=1，则“它的渐近线方程为y=±2x”是“它的离心率为 5”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.在正四面体P−ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE⋅BC的值为( )
A. −1B. 1C. 3D. 73
4.根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温(单位：℃)记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有( )
A. 平均数小于4且中位数小于或等于3B. 平均数小于4且极差小于或等于3
C. 平均数小于4且标准差小于或等于4D. 众数等于6且极差小于或等于4
5.P为直线y=kx−2上一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线，则k的最小值( )
A. 3B. 33C. − 33D. − 3
6.已知双曲线Q与椭圆E:x225+y221=1有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则双曲线Q的标准方程为( )
A. x23−y2=1B. x29−y25=1C. x2−y23=1D. y2−x23=1
7.设动点P在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的对角线BD1上，D1PD1B=λ，当∠APC为锐角时，λ的取值范围是( )
A. [0,13)
B. [0,12)
C. (13,1)
D. (12,1)
8.设O为坐标原点，直线l过抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F且与C交于A，B两点(点A在第一象限)，ABmin=4，l为C的准线，AM⊥l，垂足为M，Q0,1，则下列说法正确的是( )
A. p=4
B. AM+AQ的最小值为2
C. 若∠MFO=π3，则AB=5
D. x轴上存在一点N，使kAN+kBN为定值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(2,2)，B(1,0)，C(3,−2)，且四边形ABCD是平行四边形，则( )
A. 直线AD的方程为x+y−4=0B. v=(1,2)是直线CD的一个方向向量
C. |BC|=4D. 四边形ABCD的面积为3
10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10，则( )
A. a=0.004
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
11.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线(将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”.若黄金双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左右两顶点分别为A1，A2，虚轴上下两端点分别为B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点.设双曲线C的离心率为e，则下列说法正确的有( )
A. e= 5+12B. kEF⋅kOM=e2
C. 直线F1B2与双曲线C的一条渐近线垂直D. |A1A2|⋅|F1F2|=|B1B2|2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人(用分层抽样的方法)，则北面共有 人.
13.已知直线l ​1：kx+y=0(k∈R)与直线l ​2：x−ky+2k−2=0相交于点A，点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点，则|AB|的最大值为__________．
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|=|PA|，则椭圆的离心率为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−2,−1,2),b=(−1,1,2),c=(x,2,2)．
(1)当|c|=2 2时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值;
(2)若向量c与向量a,b共面，求实数x的值．
16.(本小题15分)
某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为14，在乙处投篮命中率为45，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投．
(1)求小明得3分的概率；
(2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大．
17.(本小题15分)
已知直线l：x=my+n(n≠0)与抛物线y2=4x交于M，N两点，且∠MON=90°．
(1)求M，N两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求△MON面积的最小值．
18.(本小题17分)
已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，过点B(−2,0)的直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，|MN|=2 19．
(1)求圆A的标准方程；
(2)求直线l的方程；
(3)P(x,y)为圆上任意一点，在(1)的条件下，求(x+1)2+(y+3)2的最小值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点E(−1,0),F(1,0),点P满足|PE|+|PF|=2 3.记P的轨迹为Γ．
(1)求Γ的方程;
(2)已知直线l:y=x+m，若点M(− 3,0)关于直线l的对称点N(与M不重合)在Γ上，求实数m的值;
(3)设直线l′的斜率为k，且与Γ有两个不同的交点A,B，设T(−2,0)，直线TA与Γ的另一个交点为C，直线TB与Γ的另一个交点为D，若点C,D和点Q(−74,12)三点共线，求实数k的值．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.B
5.D
6.C
7.A
8.D
9.AB
10.BCD
11.ACD
12.100
13.5+2 2
14. 33
15.解：(1)因为|c|= x2+22+22=2 2，
所以x=0．
ka+b=−2k−1,1−k,2k+2，
因为向量ka+b与c垂直，
所以(ka+b)⋅c=0，
即0×−2k−1+21−k+22k+2=0，
即2k+6=0，解得k=−3，
所以实数k的值为−3．
(2)因为向量c与向量a,b共面，
所以c=λa+μb(λ,μ∈R)，
因为(x,2,2)=λ(−2,−1,2)+μ(−1,1,2)，
x=−2λ−μ2=μ−λ2=2λ+2μ，所以 x=−12 λ=−12 μ=32,
所以实数x的值为−12．

16.解：(1)设小明在甲处投进为事件A，在乙处投进为事件B，
于是PA=14，PB=45，
小明得3分的概率P=PABB=PAPBPB=14×15×15=1100．
(2)小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率
P1=P(BB)+P(BBB)+P(BBB)=
45×45+15×45×45+45×15×45=112125，
小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率
P2=PAB+PABB+PABB=14×45+14×15×45+34×45×45=1825，
P1−P2=112125−1825=22125>0，所以选择都在乙处投篮通过率更大．

17.解：(1)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
因为直线l：x=my+n(n≠0)，
所以y1y2≠0，
因为∠MON=90°，
所以OM⊥ON，
所以x1x2+y1y2=0，
因为y12=4x1，y22=4x2，
所以y124⋅y224+y1y2=0，
所以y1y2=−16，x1x2=16．
(2)令直线l：x=my+n(n≠0)中y=0，
可得直线与x轴交点P(n,0)，
联立x=my+ny2=4x，得y2−4my−4n=0，
所以y1y2=−4n，
由(1)知y1y2=−16，
所以n=4，即P点的坐标为(4,0)，
所以S△MON=S△MOP+S△NOP=12|OP|(|y1|+|y2|)
=2(y1|+|y2|)≥2×2 |y1||y2|=16，
当且仅当|y1|=|y2|=4时，等号成立，
所以△MON面积的最小值为16．
18.解：(1)由题意可知，圆A的半径为r=|−1+4+7| 5=2 5，
因此，圆A的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=20；
(2)由题意可知，圆心A到直线l的距离为d= r2−(|MN|2)2=1，
①当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=−2，此时圆心A到直线l的距离为1，合乎题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，即kx−y+2k=0，
由题意可得d=−k−2+2k k2+1=k−2 k2+1=1，解得k=34，
此时，直线l的方程为y=34x+2，即3x−4y+6=0；
综上所述，直线l的方程为x=−2或3x−4y+6=0；
(3)记点E−1,−3，则PE2=x+12+y+32，
∵−1+12+−3−22>20，所以，点E在圆A外，如下图所示：
由图可知，当P为线段AE与圆A的交点时，PE取最小值，且 PEmin=AE−r=5−2 5 ，
因此， x+12+y+32 的最小值为(5−2 5)2=45−20 5．

19.解：(1)由椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆，
则c=1，a= 3，∴b2=a2−c2=2，
∴Γ:x23+y22=1．
(2)∵M与N关于直线l对称，M(− 3,0)，
设MN:y=−x− 3，与椭圆方程Γ:x23+y22=1，
联立得：5x2+6 3x+3=0，
设G(x0,y0)为MN中点，
∴x0=−3 35，y0=−2 35，即G(−3 35,−2 35).
又∵点G在直线l上，所以m= 35．
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，
则有x123+y122=1，x223+y222=1，
∵T(−2,0)，则k1=kTA=y1x1+2，TA:y=k1(x+2)，
y=k1(x+2)x23+y22=1联立得：(2+3k12)x2+12k12x+12k12−6=0，
所以x1+x3=−12k122+3k12，
即x3=−12k122+3k12−x1=−12(y1x1+2)22+3(y1x1+2)2−x1=−7x1−124x1+7，
∴y3=y14x1+7，∴C(−7x1−124x1+7,y14x1+7)，
同理可得：D(−7x2−124x2+7,y24x2+7)，
∴QC=(−7x1−124x1+7+74,y14x1+7−12)=(14(4x1+7),y14x1+7−12)，
QD=(14(4x2+7),y24x2+7−12)，
∵C、D、Q三点共线，∴QC//QD．
∴14(4x1+7)(y24x2+7−12)−14(4x2+7)(y14x1+7−12)=0，
化简得y2−y1=2(x2−x1)，∴k=y2−y1x2−x1=2．