广东省珠海市梅华中学、子期中学2025届九年级上学期10月期中考试数学试卷(含解析）

这是一份广东省珠海市梅华中学、子期中学2025届九年级上学期10月期中考试数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了全卷共4页，已知方程的两个根是，则的值为，若点都在二次函数的图象上，则，由二次函数可知，如图，把绕点按顺时针旋转，得到，函数与的图象可能是等内容，欢迎下载使用。
初三数学
说明：
1．全卷共4页．满分120分，考试用时120分钟．
2．答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
3．如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（ ）
A．逆时针旋转120°得到B．逆时针旋转60°得到
C．顺时针旋转120°得到D．顺时针旋转60°得到
5．已知方程的两个根是，则的值为（ ）
A．1B．C．6D．
6．若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
8．由二次函数可知（ ）
A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为
C．其最大值为D．当时，随的增大而减小
9．如图，把绕点按顺时针旋转，得到．点落在边上，若于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．函数与的图象可能是（ ）
A． B．

C．
D．

二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．点关于原点对称的点的坐标为 ．
12．将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到 ．
13．已知关于的方程的一个根是2，则该方程的另一个根是 ．
14．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上若设，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
15．如图，四边形中，，垂足是E，若线段，则S四边形ABCD= ．
三、解答题（一）（本大题3小愿，每小题7分，共21分）
16．（1）解方程：；
（2）若，请直接写出时x的取值范围．
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标，请解答下列问题：画出关于原点对称的，并求出的面积．
18．如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径．
四、解答题（二）．（木大题3小题每小题9分，共27分）
19．如图，正方形和正方形全等，与交于点O，正方形绕点O旋转，交于点E，交于F，如果正方形的边长为3．
(1)在上述旋转过程中，判断与有怎样的数量关系，并证明；
(2)请直接写出四边形的面积为__________，周长最小值为___________．
20．如图，的直径为10，弦为6，是的中点，弦和交于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的长．
21．跳大绳是天家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状，有一次跳大绳，甲、乙两人的手、离地面高度都为1米，现以地面为轴，过点向地面作的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，米，绳子甩到最高处点离地面2.8米，此时所有点都处于同一平面内．
(1)求此时绳子所对应的抛物线表达式；
(2)身高1.55米的小红跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？
(3)若身高与小红相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题4分，共27分）
22．【课本再现】
（1）如图1，都是等边三角形．与交于点O，试猪想与之间的数量关系，并证明．
【深入研究】
（2）在（1）的条件下，证明平分．
【探究应用】
（3）如图2，都是等腰直角三形，连接，点M是的中点，判断与之间的关系，并证明．
23．已知抛物线与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点，求的最小值；
（2）已知点中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等．
1．C
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．
2．C
解：∵，
∴，
∴一元二次方程没有实数根．
故选：C．
3．C
解：∵四边形内接于，，
∴．
故选：C．
4．A
解：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心逆时针旋转120°得到．
故选A．
5．D
解：∵方程的两个根是，
∴，
故选D．
6．A
解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
7．A
解：是的直径，
，
，
，
，
故选：A．
8．D
解：，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
函数有最小值，当时，随的增大而减小，
故选：D．
9．A
解：把绕点顺时针旋转，得到，
，，
于点，
，
，，
．
故选：A．
10．B
解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限，
当时，即，，
当时，即，
则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为
A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意．
C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意．
D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
11．
解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
12．##
解：抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是，
故答案为：或．
13．-7
解：设方程的另一个根为，
∵关于x的方程的一个根为2，
∴，
解得，
故答案为：．
14．
解：如图所示，∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=2，∴∠1+∠2=90°，∵四边形EFGH为正方形，∴∠HEF=90°，EH=EF，∴∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，在△AHE与△BEF中，∵∠A=∠B，∠2=∠3，EH=FE，∴△AHE≌△BEF（AAS），∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，在Rt△AHE中，由勾股定理得：EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；即（0＜x＜2），故答案为（0＜x＜2）．
15．16
解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
而∠C=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF=4，S△ABE=S△ADF，
∴四边形AECF是边长为5的正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形AECF=42=16．
16．（1），；（2）
解：（1），
，
或，
解得，；
（2）由（1）可知，函数与轴的交点为和，
，
抛物线开口向上，
时的取值范围是．
17．作图见解析，
解：如图所示：
即为所求，．
18．
解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2．
在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm，
∵OC2＝OM2＋CM2，
∴，
解得：r＝．
19．(1)，证明见解析
(2)，6
解：（1）
解：，
证明：四边形是正方形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）
解：，
．
，
即，
，
．
当时，四边形的周长最小，最小值为6，
故答案为：，6
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
解：（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）证明：是的中点，
，
，
，
，
即，
；
（3）解：过作于点，连接，，
为的直径，
，，
由（2）可知：，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
在等腰直角三角形中，，
在中，，
．
21．(1)
(2)她离A点的水平方向上最小距离为0.5米，最大距离为5.5米
(3)此绳最多可容纳6人一起跳
（1）解：根据题意，由抛物线的对称性可知顶点，
设抛物线解析式为，
把点代入中，
解得，
∴绳子所对应的抛物线表达式为；
（2）当时，，整理得，
解得：，，
∴她离点的水平方向上最小距离为0.5米，最大距离为5.5米；
（3）米，，
答：此绳最多可容纳6人一起跳．
22．（1），证明见解析：（2）证明见解析：（3），且，证明见解析
（1）解：，证明如下：
和都是等边三角形，
，，，
，
即．
在和中
，
，
；
（2）证明：过点分别作，，垂足为点，．
由（1）知：，
点在的平分线上，
即平分；
（3），且，证明如下：
延长到，使，连接，延长交于，如图：
点是的中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
23．（1）-1；（2）①；②见解析
解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，
以方程有两个相等的实数根，
所以，即．
（1）因为抛物线过点，所以，
所以，即．
所以，
当时，取到最小值．
（2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点中恰有两点在抛物线的图象上，
所以只能是在抛物线的图象上，
由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，
即，因为，所以．
又点在抛物线的图象上，所以，
故抛物线的解析式为．
②由题意设，则．
记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，
即，
因为，所以．
又，所以，所以．
所以，所以，即．
所以，
即．①
把代入，得，
解得，
所以．②
将②代入①，得，
即，解得，即．
所以过点A且与x轴垂直的直线为，
将代入，得，即，
将代入，得，
即，
所以，因此，
所以与的面积相等．