热点2-2 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（10题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（新高考通用）

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题型1 函数的单调性（单调区间）的判定
1．（23-24高三上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东普宁·月考）函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·四川宜宾·一模）下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
题型2 利用函数的单调性求参数
1．（24-25高三上·陕西渭南·月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·山西大同·月考）已知函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数满足且，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
题型3 函数奇偶性的判定
1．（24-25高三上·天津北辰·期末）下列函数中，图象关于原点对称的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·四川自贡·期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·青海·期中）设函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·河北邢台·月考）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数
D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数
题型4 利用函数奇偶性求值求参
1．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．2B．3C．−2D．
2．（24-25高三上·河南南阳·月考）已知定义在R上的偶函数满足当时，则 ．
3．（24-25高三上·湖南·月考）已知是偶函数，则（ ）
A．2B．1C．0D．
4．（24-25高三上·安徽·期中）若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
题型5 “M+N”中值模型的应用
1．（24-25高三上·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（24-25高三上·河南·期中）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
3．（23-24高三上·安徽安庆·月考）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ．
4．（23-24高三下·上海徐汇·月考）若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为 .
题型6 利用单调奇偶比较大小
1．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·山东潍坊·月考）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知，为偶函数，当时，，设，则（ ）
A．B．
C．D．
题型7 利用单调奇偶解不等式
1．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
2．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·山东德州·期末）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型8 函数的周期性及应用
1．（24-25高三上·四川华蓥·月考）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知是定义在上的函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．0C．D．
4．（24-25高三上·河北·月考）已知定义在上的函数，满足，为偶函数，满足，则 ．
题型9 函数的对称性及应用
1．（24-25高三上·山东枣庄·月考）函数图象的对称中心的坐标为 ．
2．（24-25高三上·江苏南通·月考）若函数满足，且的图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知函数，曲线y=fx与y=gx有两个交点Ax1,y1,Bx2,y2，则（ ）
A．B．C．D．
题型10 函数性质的综合应用
1．（24-25高三上·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为偶函数
2．（24-25高三上·海南·模拟预测）（多选）已如定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则B．函数的最小正周期是4
C．函数在上单调递增D．直线是图象的对称轴
3．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．为奇函数
C．D．
4．（24-25高三上·辽宁·期末）（多选）已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于点中心对称
C．D．
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（24-25高三上·吉林·期末）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·福建泉州·月考）已知为奇函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（24-25高三上·江西宜春·期中）定义在R上的偶函数，满足，在区间上单调递减，设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·河南周口·期末）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·广东·月考）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·江西抚州·月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（ ）
A．4B．8C．D．
8．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知定义在上的函数满足，，若，且对任意的，，当时，都有恒成立，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（24-25高三上·湖南长沙·月考）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（24-25高三上·河北张家口·期末）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，，且，，都有，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．D．为偶函数
三、填空题
12．（24-25高三上·湖南永州·月考）函数是定义在上的偶函数，且，若，，则 ．
13．（24-25高三上·江西·月考）已知函数，则 ．
14．（24-25高三上·海南·月考）已知定义在上的偶函数满足，当时，.设，则与图象的所有交点的横坐标之和为 .
四、解答题
15．（24-25高三上·山西晋中·月考）已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数．
(1)求和的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
16．（24-25高三上·江苏·月考）设函数的表达式为（且）．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数，求的值．三年考情分析
2025考向预测
近三年高考中，对函数基本性质的考查以选择题和填空题为主，偶尔也会在解答题中渗透考查，分值的占比相对稳定，是高考必考且重点考查的内容之一．常将函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性结合在一起考查，同时还可能与函数图像、函数零点、不等式等知识综合命题．虽然考查形式多样且综合性强，但题目多基于对函数基本性质的理解和应用，部分题目在命题形式和考查角度上具有一定创新性．
预计2025年高考仍将重点考查函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，尤其是这些性质的综合应用．可能会继续将函数性质与其他数学知识如导数、不等式、数列等结合考查，增加题目的综合性和难度．在保持传统考查方式的基础上，可能会进一步创新命题形式，如设计一些新颖的函数模型或实际应用背景，考查学生运用函数性质解决实际问题的能力．
判断函数的单调性的4种方法
1、定义法：按照取值、作差变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；
2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性；
3、直接法：利用已知的结论，直接得出函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接得到
4、导数法：先求导函数，利用导数值的正负确定函数的单调性；
5、性质法：（1）对于有基本初等函数的和、差构成的函数，根据“加减”的性质进行判断；（2）针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性．
【注意】求函数的单调区间，尤其是复合函数的单调区间，一定要注意原相应函数的定义域．
利用单调性求参数的三种情况：
1、直接利用题意条件和单调性代入求参；
2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；
3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题．
1、函数奇偶性的判断方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．
（2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
（3）性质法：同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇．
2、常见的奇函数与偶函数
（1）（）为偶函数；
（2）（）为奇函数；
（3）（）为奇函数；
（4）（）为奇函数；
（5）（）为奇函数；
（6）为偶函数；
（7）为奇函数．
1、由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．
2、由函数的奇偶性求函数值：若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．
若函数，则我们把它称为准奇函数，求准奇函数最大值+最小值之和（），我们把它叫做中值模型．
（1）若为奇函数，则其最大值与最小值和为0，即；
（2）若为奇函数，则；
（3）常见考向
一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小．
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式．
（是不为0的常数）
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则（）
（7）若，则； （8）若，则；
1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．
2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
1、灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、周期性等，先画出函数在某个基本区间上的图象，然后利用对称性、周期性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上的大致图象；
2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如求导、因式分解、配方等，以求解相关问题；
3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题．