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重难点02 利用导函数研究函数的零点（含隐零点问题）（5题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）
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题型1判断（讨论）零点（根）个数问题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知.
(1)若，证明：存在唯一零点；
(2)当时，讨论零点个数.
【答案】(1)证明见详解
(2)有2个零点
【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）利用导函数研究函数在上的单调性，进而根据零点存在性定理证明即可；
（2）分类讨论，利用导函数研究单调性，根据零点存在性定理求解即可.
【详解】（1）由题意，，
则，
由于，所以，则，又，所以，
进而，所以在上单调递减，
又，，
根据零点存在性定理可知：函数在上存在唯一零点.
（2），，则，，
当 时，因为，
所以，
此时单调递减，，
所以在上没有零点，
当时，令，
则，
所以f′x 在上单调递增，又，
故当时，f′x0 ，故在上单调递增，
因此，当时，只有一个零点，即，
当时，，所以f′x在上单调递减，
又，，
故，使得，且当时，f′x>0，单调递增，
当时，，f′x0；当x∈1,+∞时，f′x
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