2024-2025学年天津市西青区高三上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年天津市西青区高三上册第一次月考数学检测试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了已知集合，则，“”是“”的，三个数的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分亲件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.三个数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A. B.
C. D.
5.随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温.某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ）
A.根据表中数据可知，变量与正相关
B.经验回归方程中
C.可以预测时房屋交易量约为1.72（万套）
D.时，残差为
6.正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为
A. B. C. D.
7.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A.
B.在上单调递增
C.在上的最小值为
D.直线是图象的一条对称轴
8.已知双曲线，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
9.已知函数，且，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.
10.已知是虚数单位，则复数__________.
11.的展开式中常数项是__________.（用数字作答）
12.袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为__________；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为__________.
13.在中，已知，P为线段的中点，若，则__________.
14.已知实数，则的最小值为__________.
15.已知函数，其中表示中最大的数.若，则__________；若对恒成立，则实数的取值范围是__________.
三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
在中，角的对边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
18.（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率为，左顶点与上顶点的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点在椭圆上，且点不在轴上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线的方程.
19.（本小题满分15分）
已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，.
（1）求和的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和；
（3）若数列满足：，证明.
20.（本小题满分16分）
设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数
（i）当时，取得极值，求的单调区间；
（ii）若存在两个极值点，证明.
数学学科答案
一､选择题答案：
1-9CBAAD BDCD
二､填空题答案
10. 11. 12.， 13. 14. 15.，
三､解答题答案
16.【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
又，
由余弦定理，即，解得或（舍去），
所以.
【小问2详解】
由余弦定理.
【小问3详解】
由（2）可得，
所以，
，
又，
所以
17.【小问1详解】以点为坐标原点，分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
.
，设平面的一个法向量为
，
则，即，令，得，则.
又，可得，因为平面，所以平面.
【小问2详解】因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.，则点到平面的距离为.
【小问3详解】，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则.
设平面与平面的夹角为，则
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18.【详解】（1）由题意可知离心率，即可得
且，又，解得；
所以椭圆C的方程为.
（2）如下图所示：
易知，设直线的方程为，易知，设；
将直线与椭圆联立可得，
显然是方程的一个根，由韦达定理可得；
所以，即；
可得的中点坐标为，
所以直线的垂直平分线方程为，
令，解得，即；
若为等边三角形，则
即，
整理得，解得或（舍）；
的方程为：或
19.【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由已知，得，而，所以.
又因为，解得，所以.
由，可得①，
由，可得，即②，联立①②，解得，
由此可得.
所以的通项公式为的通项公式为.
【小问2详解】
由（1），
所以.
【小问3详解】
证明：由（1），.
由真分数性质，若，则，所以，
所以，
所以.
故不等式得证.
20.【小问1详解】
，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
（i），
，
时，取得极值，，解得，
，
令，得或；令，得，
的单调增区间为，单调减区间为；
（ii），
存在两个极值点，
方程，即在上有两个不等实根.
，解得，
则
所证不等式等价于，
即，
不妨设，即证，
令，
则，
在上递增，时间
1
2
3
4
5
交易量（万套）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5