+陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）∠A是锐角，若sinA=12，则∠A＝（ ）
A．45°B．60°C．30°D．90°
2．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
3．（3分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤-94B．k≤-94且k≠0
C．k≥-94D．k≥-94且k≠0
4．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A．355B．175C．35D．45
5．（3分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
6．（3分）线段AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为4，AB＝42，则弦AB所对的圆周角度数为（ ）
A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°
7．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，线段EF垂直平分AB，交AB于点M，交AD于点O．若AB＝8，∠DOF＝67.5°，则点O到AC的距离为（ ）
A．42+4B．22+2C．22-2D．42-4
8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）正五边形的中心角的度数是 ．
10．（3分）抛物线y=23(x-1)2+c经过(-2，y1)，(0，y2)，(52，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
11．（3分）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 cm2.（结果用π表示）
12．（3分）如图，点A在双曲线y=kx(k＞0)上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴于点C．若BC＝2AC，△AOB的面积为6，则k的值为 ．
13．（3分）如图．在边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，AF、BE相交于点P，O是正方形ABCD的中心，连接OP，则OP的长度为 ．
三、解答题（共12小题，计81分.解答要写出过程）
14．（5分）计算：(-1)2024+|3tan30°-1|-13．
15．（5分）解方程2x+1+1=xx-1．
16．（5分）先化简：2x-6x÷(x-6x-9x)，再从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
17．（5分）尺规作图：求作△ABC的外接圆．
要求：保留作图痕迹，不写作法．
18．（6分）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
19．（7分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自九年级（1）班，小志、小晴来自九年级（2）班，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自相同班级的概率．
20．（7分）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
21．（7分）如图，双曲线y=mx上有两点A（2，3）、B（3，n），连接AB．
（1）求m、n的值．
（2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC，求△ABC的面积．
22．（8分）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发的一批轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．问每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．
24．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．点M在线段OB上，ME∥y轴，交BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△CEF与△BOC相似时，求点E的坐标．
25．（10分）（1）如图①，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6．点P为AB上动点，则CP长度的最小值为 ．
（2）如图②，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P为平面内一点，CP＝1，PQ⊥AB于点Q．求PQ长度最小值．
（3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形ABCD中，AB＝CD＝40米，AD＝BC＝30米，∠ABC＝90°．种植方案是：将四边形ABCD分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点E、F在AB、DC上，AE＝2DF，CQ⊥EF于点P，交AD于点Q．现决定先对△ABP区域进行种植实验，请你确定△ABP的面积是否有最小值，若有最小值，求出△ABP的面积最小值；若没有最小值，请说明理由．
2024-2025学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）∠A是锐角，若sinA=12，则∠A＝（ ）
A．45°B．60°C．30°D．90°
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：∠A是锐角，若sinA=12，则∠A＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】由AD∥BE∥CF可得ABBC=DEEF，代入可求得EF．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB＝1，BC＝3，DE＝2，
∴13=2EF，
解得EF＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
3．（3分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤-94B．k≤-94且k≠0
C．k≥-94D．k≥-94且k≠0
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥-94，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
则k的取值范围是k≥-94且k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
4．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A．355B．175C．35D．45
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC=AH2+CH2=42+32=5，
∴sin∠ACH=AHAC=45，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．（3分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
【分析】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径．
【解答】解：设圆心为O，连接OB，如图所示，
∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，
∴BD＝20cm，
∵CD＝10cm，OC＝OB，
∴OD＝OB﹣10，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得OB＝25，
即圆形工件的半径为25cm，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（3分）线段AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为4，AB＝42，则弦AB所对的圆周角度数为（ ）
A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°
【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理逆定理求出△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，利用圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出∠ADB与∠AEB的度数．
【解答】解：如图所示，
∵OA＝OB＝4，AB＝42，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ADB=12∠AOB＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ADB＝135°，
∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
7．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，线段EF垂直平分AB，交AB于点M，交AD于点O．若AB＝8，∠DOF＝67.5°，则点O到AC的距离为（ ）
A．42+4B．22+2C．22-2D．42-4
【分析】作ON⊥AC，根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质可得MF＝4，再利用等腰直角三角形的性质求出ON即可．
【解答】解：如图，作ON⊥AC，
∵AD平分∠BAC，线段EF垂直平分AB，
∴OM＝ON，
∵∠MOA＝∠DOF＝67.5°，
∴∠MAO＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠MAF＝2∠MAO＝45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM＝MF=12AB=12×8=4，
∴ON+OF＝4，
∵OF=2ON，
∴ON+2ON＝4，
∴ON＝42-4．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
【分析】根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x=32，由抛物线经过点（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x=32，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x＜32时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x＞32时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在x=32处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）正五边形的中心角的度数是 72° ．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为360°n，则代入求解即可．
【解答】解：正五边形的中心角为：360°5=72°．
故答案为：72°．
【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
10．（3分）抛物线y=23(x-1)2+c经过(-2，y1)，(0，y2)，(52，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系为 y2＜y3＜y1 ．
【分析】根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大解答即可．
【解答】解：抛物线y=23(x-1)2+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
点（﹣2，y1）距离对称轴有3个单位长度，
点（0，y2）距离对称轴有1个单位长度，
点（52，y3）距离对称轴有1.5个单位长度，
根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大可知：y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．
11．（3分）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 3000π cm2.（结果用π表示）
【分析】利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC即可求解．
【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
=100π⋅OA2360-100π⋅OB2360
=100π×1202360-100π×602360
＝3000π（cm2），
故答案为：3000π．
【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
12．（3分）如图，点A在双曲线y=kx(k＞0)上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴于点C．若BC＝2AC，△AOB的面积为6，则k的值为 6 ．
【分析】如图，过点A作AH⊥x轴于点H．求出△AOH的面积可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H．
∵AH⊥OC，
∴OB：OH＝BC：AC＝2，
∴S△AOH=12S△AOB＝3，
∴k2=3，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，一次函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解反比例函数系数k的几何意义．
13．（3分）如图．在边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，AF、BE相交于点P，O是正方形ABCD的中心，连接OP，则OP的长度为 655 ．
【分析】设BD交AF于点H，过点O作OM⊥BE于点M，证明△BAE和△ADF全等得∠ABE＝∠DAF，进而得∠BPA＝90°，即AF⊥BE，求出BD=62，则OB=32，证明△DHF和△BAH相似，利用相似三角形的性质得BH＝3DH，AH＝3HF，进而得DH=322，BH=922，再求出AF=210，则HF=102，AH=3102，证明△BPA和△ADF相似，利用相似三角形的性质得AP=3105，BP=9105，则PH=91010，然后证明△BOM和△BHP相似，利用相似三角形的性质得OM=3105，BM=6105，则PM=3105，最后在Rt△OPM中，由勾股定理即可求出OP的长．
【解答】解：连接BD交AF于点H，过点O作OM⊥BE于点M，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，
∵AB＝AD＝6，∠BAE＝∠ADF＝90°，AB∥CD，
又∵AE＝DF＝2，
在△BAE和△ADF中，
AB=AD∠BAE=∠ADF=90°AE=DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠BPA＝180°﹣（∠ABE+∠BAF）＝90°，
即AF⊥BE，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
由勾股定理得：BD=AB2+AD2=62，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴点O在线段OB上，且OB=12BD=32，
∵AB∥CD，
∴△DHF∽△BAH，
∴DHBH=DFAB=HFAH=26=13，
∴BH＝3DH，AH＝3HF，
∴BD＝BH+DH＝4DH=62，
∴DH=322，
∴BH＝3DH=922，
在Rt△ADF中，AD＝6，DF＝2，
由勾股定理得：AF=AD2+DF2=62+22=210，
∴AF＝AH+HF＝4HF=210，
∴HF=102，
∴AH＝3HF=3102，
∵∠ABE＝∠DAF，∠BPA＝∠ADF＝90°，
∴△BPA∽△ADF，
∴APDF=BPAD=ABAF，
∴AP2=BP6=6210，
∴AP=3105，BP=9105，
∴PH＝AF﹣AP﹣HF=210-3105-102=91010，
∵OM⊥BE，AF⊥BE，
∴OM∥AF，
∴△BOM∽△BHP，
∴OM：PH＝BM：BP＝OB：BH，
∴OM：91010=BM：9105=32：322，
∴OM=3105，BM=6105，
∴PM＝BP﹣BM=9105-6105=3105，
∴PM＝OM=3105，
在Rt△OPM中，由勾股定理得：OP=OM2+PM2=2PM＝√2×3105=655．
故答案为：655．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三、解答题（共12小题，计81分.解答要写出过程）
14．（5分）计算：(-1)2024+|3tan30°-1|-13．
【分析】先根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式的性质与化简计算，再合并即可．
【解答】解：(-1)2024+|3tan30°-1|-13
＝1+|3×33-1|-33
＝1+|3-1|-33
＝1+3-1-33
=233．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
15．（5分）解方程2x+1+1=xx-1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
2（x﹣1）+x2﹣1＝x（x+1），
解得x＝3．
经检验x＝3是原方程的根，
∴原方程的解x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．
16．（5分）先化简：2x-6x÷(x-6x-9x)，再从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式=2(x-3)x÷x2-6x+9x
=2(x-3)x⋅x(x-3)2
=2x-3．
∵x≠0，x﹣3≠0，
∴x≠0且x≠3．
当x＝1时，
原式=21-3=-1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和分式有意义的条件是解题的关键．
17．（5分）尺规作图：求作△ABC的外接圆．
要求：保留作图痕迹，不写作法．
【分析】分别作BC和AC的垂直平分线．它们相交于点O，然后以O点为圆心，OC为半径作圆即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、三角形的外接圆．
18．（6分）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
【分析】（1）由题意可得△AFD≌△CED（AAS），则AF＝EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF＝CF，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG＝60°，AE＝2，则BG＝AG=3，AB=2BG=6．
【解答】解：（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE=12AE＝1，AG=3GE=3，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG=3，
∴AB=2BG=6．
【点评】本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键．
19．（7分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自九年级（1）班，小志、小晴来自九年级（2）班，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 14 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自相同班级的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到小艺同学的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两名同学均来自相同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到小艺同学的结果有1种，
∴随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为14．
故答案为：14．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两名同学均来自相同班级的结果有：（小贤，小艺），（小艺，小贤），（小志，小晴），（小晴，小志），共4种，
∴两名同学均来自相同班级的概率为412=13．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（7分）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，由锐角三角函数定义求出CF≈120（米），DF≈160（米），再证四边形BFDE是矩形，得BF＝DE，BE＝DF＝160米，则AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），然后由锐角三角函数定义求出DE≈299.60（米），即可求解．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：
由题意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，
在Rt△CDF中，sin∠CDF=CFCD=sin37°≈0.60，cs∠CDF=DFCD=cs37°≈0.80，
∴CF≈200×0.60＝120（米），DF≈200×0.80＝160（米），
∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，
∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），
在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE=tan65°≈2.14，
∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60（米），
∴BF＝DE≈299.60（米），
∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420（米），
答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．（7分）如图，双曲线y=mx上有两点A（2，3）、B（3，n），连接AB．
（1）求m、n的值．
（2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据反比例函数图象上得到坐标特征解答即可；
（2）先求出对称点C的坐标，再求出直线BC解析式得到点D坐标，继而利用S△ABC＝2S△COB求出面积即可．
【解答】解：（1）∵双曲线y=mx上有两点A（2，3）、B（3，n），
∴m＝2×3＝3n，
解得m＝6，n＝2；
（2）根据反比例函数图象的中心对称性质可知C（﹣2，﹣3），OA＝OC，如图，连接OB，
∴S△BOC＝S△AOB，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入点B（3，2），C（﹣2，﹣3）得：
3k+b=2-2k+b=-3，
解得k=1b=-1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣1，
∴D（0，﹣1）即OD＝1，
∴S△COB＝S△COD+S△BOD=12×1×2+12×1×3=52，
∴S△ABC＝2S△COB＝5．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，熟练掌握以上知识点是关键．
22．（8分）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发的一批轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．问每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
【分析】根据单价每降低10元，每天可多售出4辆．可得单价每降低1元，每天可多售出0.4辆，那么单价每降低x元，每天可多售出0.4x辆．销售利润＝每辆轮椅的销售利润×（原销售量+增加的销售量），把得到的函数关系式整理为顶点式，进而根据每辆轮椅的利润不低于180元得到自变量的取值范围，代入到函数关系式可得最大利润．
【解答】解：设每辆轮椅降价为元，每天的销售利润为y元，
y＝（200﹣x）（60+4×x10）
＝﹣0.4x2+20x+12000．
＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250
＝﹣0.4（x﹣25）2+12250．
∵200﹣x≥180，
∴x≤20．
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）．
答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元．
【点评】本题考查二次函数的应用，得到降价后的销售量是解决本题的关键；根据取值范围得到函数的最大值是解决本题的易错点．
23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．
【分析】（1）连接OD，要证明CD为圆O的切线，只要证明∠CDO＝90°即可；
（2）连接BD，根据已知求得△ADB∽△OBC再根据相似比即可求得BC的值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵AD∥CO，
∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD．
∴∠COD＝∠COB．
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC（SAS）．
∴∠ODC＝∠OBC．
∵CB是圆O的切线且OB为半径，
∴∠CBO＝90°．
∴∠CDO＝90°．
∴OD⊥CD．
又∵CD经过半径OD的外端点D，
∴CD为圆O的切线．
（2）解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°．
在直角△ADB中，BD=AB2-AD2=122-42=82，
∵∠ADB＝∠OBC＝90°，且∠COB＝∠BAD，
∴△ADB∽△OBC．
∴ADOB=DBBC，即46=82BC．
∴BC＝122．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，常见的辅助线有：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
24．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．点M在线段OB上，ME∥y轴，交BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△CEF与△BOC相似时，求点E的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当△CEF与△BOC相似时，则△CEF为等腰直角三角形，当∠CEF为直角时，则点E、C关于抛物线对称轴对称，故点E（2，3）；当∠ECF为直角时，得到点E（m，m+3），即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标知，△BOC为等腰直角三角形，
故当△CEF与△BOC相似时，则△CEF为等腰直角三角形，
当∠CEF为直角时，
则点E、C关于抛物线对称轴对称，故点E（2，3）；
当∠ECF为直角时，如图，
过点C作CH⊥l于点H，设CH＝m，则EF＝FH＝m，
则点E（m，m+3），
将点E的坐标代入抛物线表达式得：m+3＝﹣m2+2m+3，则m＝0（舍去）或1，
即点E（1，4），
综上，E（2，3）或（1，4）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．（10分）（1）如图①，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6．点P为AB上动点，则CP长度的最小值为 32 ．
（2）如图②，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P为平面内一点，CP＝1，PQ⊥AB于点Q．求PQ长度最小值．
（3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形ABCD中，AB＝CD＝40米，AD＝BC＝30米，∠ABC＝90°．种植方案是：将四边形ABCD分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点E、F在AB、DC上，AE＝2DF，CQ⊥EF于点P，交AD于点Q．现决定先对△ABP区域进行种植实验，请你确定△ABP的面积是否有最小值，若有最小值，求出△ABP的面积最小值；若没有最小值，请说明理由．
【分析】（1）当CP⊥AB时，CP的长最小，此时AP＝PB，根据直角三角形斜边中线的性质即可解答；
（2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在⊙C上运动，过点C作CD⊥AB于D，交⊙C于M，先根据面积法可得CD=125，由垂线段最短可得PQ≥DE，即可解答；
（3）如图③，作辅助线构建矩形和相似三角形，证明△DFN∽△AEN，则AN＝2DN，根据直角三角形斜边中线的性质得：OP=12CN＝25，则点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动，结合（2）中的结论即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，
∴AB=62+62=62，
∵点P为AB上动点，
∴当CP⊥AB时，CP的长最小，此时AP＝PB，
∴CP=12AB＝32；
即PQ长度的最小值是32；
故答案为：32；
（2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在⊙C上运动，过点C作CD⊥AB于D，交⊙C于M，
∵CP+PQ≥CM+DM，CP＝CM＝1，
∴1+PQ≥1+DM，
∴PQ≥DM，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB=42+32=5，
∵S△ABC=12×3×4=12×5×CD，
∴CD=125，
∴DM=125-1=75，
∴PQ≥75，
∴PQ长度的最小值是75；
（3）△ABP的面积有最小值，
如图③，延长AD，EF交于点N，连接CN，取CN的中点为O，过点O作OH⊥AB于H，交CD于M，连接OP，过点P作PT⊥AB于T，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ADC＝∠BAD＝90°，
∴△DFN∽△AEN，∠CDN＝∠BAD＝90°，
∴DFAE=DNAN=12，
∵AE＝2DF，
∴AN＝2DN，
∴AD＝DN＝30，
在Rt△CDN中，∵CD＝40，
∴CN=302+402=50，
∵EF⊥CQ，
∴∠CPN＝90°，
∵O是CN的中点，
∴OP=12CN＝25，
∴点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动，
∵OH⊥AB，AN⊥AB，BC⊥AB，
∴OH∥AN∥BC，
∴四边形AHMD是平行四边形，
∴HM＝AD＝30，
∵OC＝ON，
∴CM＝MD，
∴OM是△CDN的中位线，
∴OM=12DN=12×30＝15，
∴OH＝15+30＝45，
由（2）同理得：PT的最小值为45﹣25＝20，
∴△ABP的面积有最小值，最小值=12×40×20＝400（米2）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了垂线段最短，平行四边形和矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂线段最短和勾股定理是解题的关键．
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
D
D
C
C
D
D
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
小贤
小艺
小志
小晴
小贤
（小贤，小艺）
（小贤，小志）
（小贤，小晴）
小艺
（小艺，小贤）
（小艺，小志）
（小艺，小晴）
小志
（小志，小贤）
（小志，小艺）
（小志，小晴）
小晴
（小晴，小贤）
（小晴，小艺）
（小晴，小志）