精品解析：湖北省十堰市郧阳区第一中学2025届高三8月联合教学质量检测数学试卷

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注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数定义进行判断.
【详解】因为角的终边上有一点的坐标为，
所以，故A，B，C错误.
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.
【详解】由题意可得，即，
所以，，，即A、B、C三选项错误，D正确.
故选：D
3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于（ ）
A. 30°B. 45°
C. 30°或150°D. 45°或135°
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理求解．
【详解】由正弦定理得，，
又，即，又∵，∴或，
故选：D．
4. 已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由的范围及同角三角函数的平方关系和商数关系得出，再根据诱导公式得出，由两角差的正切公式计算即可．
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故选：A．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件结合诱导公式进行角的变换，再利用二倍角公式计算作答.
【详解】因，所以.
故选：B
6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：）
A. 20B. 27C. 32D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.
【详解】依题意得，解得，，
则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，
所以，所以，
所以.
故选：B
7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
【详解】
设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即
故选：D.
8. 已知 在(0,π)上存在唯一实数x0使 又任意的， 均有 成立，则实数ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简，根据任意的， 均有 成立求出的最大值，求出，求出，求出的范围，根据在上存在唯一实数使 求出实数的取值范围.
【详解】，其中，
因为任意的， 均有 成立，所以成立，
所以的最大值为，所以，因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为在上存在唯一实数使 ，
所以，所以，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据任意的， 均有 成立求出的最大值，求出.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ）
A. 10月测试成绩为“优秀”的学生有40人
B. 9月体育测试中学生的及格率为
C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
【答案】CD
【解析】
【分析】通过统计图一一分析选项即可.
【详解】由图易知全体学生有人，
而10月测试成绩为“优秀”的学生占，即有50人，故A错误；
9月体育测试中学生的及格及以上人数为人，占比为，即及格率为，故B错误；
由第二个图可知优秀率递增，且12月比11月增长，11月比10月增长，显然C、D正确.
故选：CD
10. 下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用一次函数、反比例函数的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，函数中，，函数值随增大而减小，A不是；
对于B，函数中，，函数值随的增大而增大，B是；
对于C，函数的图象由函数的图象左移1个单位而得，
而当时，函数的函数值随的增大而增大，
因此当时，函数的函数值随的增大而增大，C是；
对于D，当时，反比例函数的函数值随的增大而减小，D不是.
故选：BC
11. 如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（ ）
A. 当点是的中点时，四边形是平行四边形
B. 的值为常数
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定即可求解A,根据三角形全等，即可求解B，根据三角形的边角关系，角平分线以及内角和关系即可求解CD.
【详解】对于A．当点是的中点时，，，
，
，
四边形是平行四边形，故A正确；
对于B．连接，，
，，，
，
同理可证：，
，，
，
为等腰直角三角形，
，故B正确；
对于C．当时，
，
，
，
，
，
，
，故C正确；
对于D．当时，
，
，，
，
，
，故D错误，
故选：ABC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设是一个随机试验中的两个事件，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决.
【详解】，将代入可以求得，
，将，代入，求得
故答案为：.
13. 已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由三角恒等变换将函数化简，再由正弦函数的图像性质可得，代入计算，即可求解.
【详解】因为
，
当时，，
由于函数在区间内恰有3个零点，
则有，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
14. 已知函数，若，，且，则的最小值是______
【答案】8
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 为促进农村经济发展，鼓励土地承包规划管理．已知土地的使用面积与相应规划管理时间具有线性相关关系，随机调查某村20户村民，经计算得到如下一些统计量的值：
，，，．
（1）求关于的经验回归方程；
（2）调查发现，家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立．只要有一方不同意参与规划管理，则该家庭就决定不参与规划管理．若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，求其中至少2家有女士不同意参与规划管理的概率．
参考公式：对于一组数据，，⋯，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)先求出样本中心点，再结合公式计算得出回归方程即可;
(2)先应用条件概率求出概率，再应用n次独立重复实验求出概率即得.
【小问1详解】
,
所以.
【小问2详解】
家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立,
设不同意参与规划管理为事件A，设有女士不同意参与规划管理为事件B,
,
若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，设其中至少2家有女士不同意参与规划管理为事件C．
16. 为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：
（1）完成如图所示的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
（2）估计该单位员工的月平均工资；
（3）若从月工资在和内的两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差超过1000元的概率.
【答案】（1）答案见解析
（2）4300元 （3）.
【解析】
【分析】（1）求出各个组的频率，最后得到各组长方形的高，最后画出频率分布直方图；
（2）平均值等于各个小矩形的面积乘以组中值之和；
（3）分层比得到抽取的人数后结合列举法解题即可．
【小问1详解】
先求出各组的频率（从左到右）分别为：，
再根据各组长方形面积为频率，组距为10,求出各组高（从左到右）分别为：.
画出月工资频率分布直方图如图所示：
【小问2详解】
，即该单位员工月平均工资估计为4300元.
【小问3详解】
由题中频数分布表知，月工资在组的女员工有4人，分别记为，；月工资在组的女员工有2人，分别记为.现从这6人中随机选取2人，样本空间
，共15个样本点.记“这2人月工资差超过1000元”为事件，
则，共8个样本点，
故所求概率.
17. 已知函数，求：
（1）函数y=fx的图象在点处的切线方程；
（2）的单调递减区间；
（3）求的极大值和极小值．
【答案】（1）
（2），
（3）极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；
（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间；
（3）根据（2）可求极值.
【小问1详解】
由题意得：，
，又，
的图象在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由（1）知：，
当时，f′x0；
∴fx的单调递减区间为，.
【小问3详解】
根据（2）可知，当为函数的极小值点，且，
当为函数的极大值点，且，
所以的极大值为，极小值为.
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
【答案】（1）答案见解析；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数导函数，再分、、三种情况，分别求出函数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
且，
当时，恒成立，所以单调递减；
当时，令，即，解得，，
因为，所以，则，
所以当时，
当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减；
当时，此时，
所以时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时在单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）可知．
（ⅱ）由（1）在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，所以，则，
又，
又，
所以在上没有零点，
又，则，则，，
则，
所以，所以在上存在一个零点，
综上可得函数有且只有一个零点．
19. 设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
（1）若，求数列的“点”；
（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；
（3）若，数列的“点”的个数为，证明：．
【答案】（1）3，5 （2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由通项公式写出数列各项，根据数列an的“点”定义确定结论；
（2）利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，解不等式可得的范围，再对所得结果加以验证即可，
（3）先证明若，则，结论成立，再证明若存在，使得，则数列an存在“点”， 数列an的 “点” 由小到大依次为，结合关系完成证明.
【小问1详解】
因为
所以，
所以数列 an 的 “ 点” 为 3，5 ，
【小问2详解】
依题意，，
因为数列存在 “点”，
所以存在 ，使得 ，
所以，
即.
因为，所以，所以，
又随的增大而增大，
所以当时，取最大值，
所以，又，所以.
当时，有，
所以数列存在 “点”，
所以的取值范围为，
【小问3详解】
①若，则数列an不存在 “点”，即.
由得，，所以，
②若存在，使得. 下证数列an有 “点”.
证明: 若，则2是数列an的 “点”;
若，因为存在，使得，
所以设数列an中第1个小于的项为，
则，所以是数列an的第1个 “点”.
综上，数列an存在 “点”.
不妨设数列an的 “点” 由小到大依次为，
则是中第1个小于的项，
故，因为 ，
所以，所以，所以
所以
所以.
综上，，得证.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
月工资百元
男员工数
1
8
10
6
4
4
女员工数
4
2
5
4
1
1