2024年高考数学一轮知识点复习—一元函数的导数及其应用（原卷版）

这是一份2024年高考数学一轮知识点复习—一元函数的导数及其应用（原卷版），共11页。试卷主要包含了知识速览，考点速览，已知函数的单调性求参数，单变量不等式恒成立问题，双变量不等式与等式等内容，欢迎下载使用。
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
知识点2 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
知识点3 利用导数研究函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
知识点4 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
【典例1】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线是曲线在点处的切线方程，则
【典例3】（2023·云南·校联考模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为 .
【典例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数，求函数的单调区间．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性．
三、已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
四、构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
【典例1】（2023春·重庆·高二校联考期中）已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若定义域为的函数满足，则不等式的解集为 .
【典例3】（2023春·四川宜宾·高二校考期中）已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
五、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若对于，不等式恒成立，则参数a的取值范围为 ．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
六、双变量不等式与等式
一般地，已知函数，
1、不等关系
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
2、相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
（1）若，，有成立，则有；
（2）若，，有成立，则有；
（3）若，，有成立，故；
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2023春·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为 ．
易错点1 复合函数求导错误
点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1)； (2)； (3) (4)；
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求的导函数.
易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。
【典例1】（2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值
C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值
【典例2】（2022秋·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是 .
①，； ②是的极大值点；
③是的极小值点； ④是的极小值点
【典例3】（2023·全国·高三对口高考）如果函数在处有极值，则的值为 ．
易错点3 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。
【典例1】（2023·陕西西安·统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数，若在内为减函数，则实数a的取值范围是 ．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
易错点4 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
点拨：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
【典例1】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D． 原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)