人教A版（2019）高一数学必修第二册-平面向量的正交分解及坐标表示-1教案

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第二册-平面向量的正交分解及坐标表示-1教案，共7页。教案主要包含了复习回顾，课堂导入，新课讲解，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

教学基本信息
课题
平面向量的正交分解及坐标表示
学科
数学
学段：必修第二册
年级
高一
教材
书名：数学 必修第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年8月
教学设计参与人员
姓名
单位
联系方式
设计者
康晓东
北京市第二中学
实施者
康晓东
北京市第二中学
指导者
雷晓莉
庄肃钦
东城区研修中心
北京市第二中学
课件制作者
康晓东
北京市第二中学
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握平面向量的坐标表示.
2.正确理解平面向量坐标的概念，准确使用平面向量的三种表示方法.
教学重点
理解平面向量坐标的形成过程，领悟学习平面向量坐标的意义.
教学难点
会用所学知识，解决相关问题.
教学方法
启发式，以问题串的形式引入、学习新知识.
涉及到的能力
数学建模的能力；抽象的能力；数形结合的能力.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
一、复习回顾
平面向量基本定理.
二、课堂导入
问题1.平面向量基底的唯一要求就是不共线，因此平面向量有无数个基底.那么选什么样的基底能够更好的解决问题？
问题2.物理上，我们在做力的分解时，将力进行了正交分解，即，我们选择了两个互相垂直的力作为基底.这对我们研究平面向量基底的选择问题有什么启示?
回顾旧知识，理解新、旧知识的联系
新课
三、新课讲解
1.定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标表示.
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
= 3 \* GB3③坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相等向量.
= 4 \* GB3④点的坐标与向量坐标的区别和联系(表格略)
循序渐进，使学生真正理解学习向量坐标的意义，会准确使用表达向量的三种方法.
掌握知识发生发展的过程
例题
例1如图所示 O为坐标原点，A(2,3)则
的坐标为多少？
解：如图所示
因为=2i+3j
所以=(2,3)
例2如图A(2,2),B(3,4),求 的坐标.
解：由图可知=(3-2)i+(4-2)j
=i+2j
所以，的坐标(1,2).
例3如图:用基底i，j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
方法：用基底的形式表示向量，然后得出坐标.
解：a=(2,3)
b=(-2,3)
c=(-2,-2)
d=(2,-3)
四、课堂练习
1. 判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( F )
(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )
(3)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )
2. 已知=(1,2)，则下列说法正确的是( D )
A. A点的坐标是(1,2)
B. B点的坐标是(1,2)
C. 当B是坐标原点时，A点的坐标是(1,2)
D. 当A是坐标原点时，B点的坐标是(1,2)
3. 设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j，则a与b的坐标为.
4. 如图，向量a,b,c的坐标为___,___,___.
5．如图，已知边长为1的正方形中，与x轴正半轴成30°角，求点B，D的坐标和，的坐标．
解：由题知，分别是以Ox为始边30，120角的终边与单位圆的交点．
设，．由三角函数的定义，
得，，∴．
，，∴．
∴，．
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b.
四边形OABC为平行四边形.
求向量a，b的坐标.
解 作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cs45°
＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
AM＝OA·sin45°
＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2).
∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2)).
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
小结：向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.
引出猜想：当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标
有向线段所表示的向量位置与向量坐标的关系
有向线段所表示的向量的坐标的确定
向量与向量坐标的关系
向量三种表示之间的转化
向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.
在研究向量的坐标时，把所要研究的向量，平移，使它的起点与坐标原点重合，达到化繁为简的目的
总结
1. 为什么要研究平面向量的正交分解及坐标表示？
2. 怎样研究平面向量的正交分解及坐标表示？
3. 体现了用代数的方法解决几何问题的策略.
回顾知识发生发展的过程，提高学生的数学认知水平
作业
如图，用单位正交向量i ,j作为基底{i，j}，表示向量a,b,c,d ,并求出它们的坐标.
巩固