海南省2024-2025学年高三上学期学业水平诊断（二）数学试题

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一、未知
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．记等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，点P，Q在的准线上且关于轴对称，，线段与分别相交于点，且，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．的最小正周期为D．在区间上单调递增
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则（ ）
A．B．的面积为
C．的离心率为D．直线AB的斜率为
12．已知一组数据的中位数是3，则这组数据的平均数为 .
13．已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则 .
14．已知正三棱锥的三个侧面均为直角三角形，过点作一平面，点在该平面的同一侧，且到平面的距离分别为1，2，3，则 .
15．设数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长.
17．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的值.
18．如图（1），正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，点在边CD上且.将沿BE折起到图（2）中的位置，使得平面平面BCDE.
(1)证明：平面PEF；
(2)求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值；
(3)如图（2），点在线段BE上，过点的平面截四棱锥所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由）
19．定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”.
结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线.
结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点.
试根据上面的定义和结论解决下列问题：
已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于，两点.
(1)求|AB|；
(2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为M，N，证明：直线相交于一点；
(3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值.