青海省西宁市2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷

这是一份青海省西宁市2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
2.下列语句所措述的事件中，必然事件是( )
A. 经过红绿灯路口，遇到红灯B. 小明买1张彩票，中500万奖金
C. 13个人中至少有2人的生日在同一个月D. 十拿九稳
3.在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P(3,4)与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O上B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O外D. 无法确定
4.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+2x+a2−1=0的常数项为0，则a的值为( )
A. ±1B. 1C. −1D. 0
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法准确判断
6.若正六边形的边长为2，则其内切圆半径的大小是( )
A. 3B. 1C. 2D. 33
7.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.如图，以O为原点，原点与水流落地处所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.水流喷出的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式是y=−x2+2x+3.下列结论错误的是( )
A. 水管OA的高度为3m
B. 喷出的水流在距水管1m处达到最高
C. 喷出的水流最高是3m
D. 水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外
8.如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4，AC与MN在同一条直线上.开始时点A点M重合，△ABC沿MN所在直线匀速向右移动，当点A到达点N时停止.在此过程中，设两图形重合部分的面积为y，线段MA的长为x，则y关于x的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.方程x2−4x=0的根是______．
10.一元二次方程x2+bx+c=0的两根互为倒数，则c= ______．
11.口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是______．
12.若二次函数y=a(x+1)2+k(a≠0)的图象与x轴交于A(−4,0)，B两点，则点B的坐标是______．
13.已知(x2+y2+1)2=81，则x2+y2= ．
14.如图，AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，BE=CD=8，用⊙O的半径长为______．
15.如图，将⊙O沿弦AB折叠，AB恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则AB的长为______．
16.一个直角三角形的两条边长分别是方程x2−7x+12=0的两根，则该直角三角形的面积是______．
17.如图，AB与⊙O相切于点B，弦BC/​/OA，连结AC，若⊙O的半径为2.∠OAB=30°，则图中阴影部分的面积S= ______．
18.二次函数y=ax2−8ax(a>0)，当自变量x的值满足1≤x≤5时，其对应的函数值y的最大值为−3，则a的值是______．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
解方程：2x(x−1)=1．
20.(本小题6分)
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球、它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．
(1)从乙口袋中随机取出一个小球，上面恰好是元音字母的概率是______；
(2)从三个口袋中各随机取出一个小球，用画树状图的方法求取出的3个小球上全是辅音字母的概率，并写出所有等可能得结果．
21.(本小题6分)
元旦期间，数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，共发了210条祝福短信，问这个数学兴趣小组有多少名学生？
22.(本小题6分)
已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC=120°；请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹，不写作法，写明答案)．
(1)在图1中，已知AD=CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角；
(2)在图2中，已知AD≠CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角．
23.(本小题8分)
足球射门训练中，足球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间是二次函数关系.球员从球门正前方8米处的A点射门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.如图，现以O为原点建立平面直角坐标系．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)已知球门OB高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)．
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，AC和BD分别与⊙O相切于A，B两点，OC平分∠ACD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=9，BD=4，求⊙O的半径长．
25.(本小题8分)
如图，二次函数的图象经过点A(3,3)，B(4,0)和原点O．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为直线OA上方二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，交直线OA于点C，当S△PCO=S△CDO时，求点P的坐标．
26.(本小题10分)
综合与实践
【问题提出】
如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，DC上，且∠MAN=45°，求证：MN=BM+DN．
【思路梳理】
我们可以利用本学期学习的旋转变换，将三条线段MN，BM，DN转化到同一个三角形中.(将下列分析过程补充完整)
(1)证明：将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
∴ ______≌______，
∴∠ABE=∠D，∠EAB=∠DAN，BE=DN，AE=AN，
∵正方形ABCD，∴∠D=∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠MBE=∠ABC+∠ABE=180°，∴M，B，E三点共线，
只需再证______≌______(______)
可得MN=ME，
∵ME=BM+EB，∴MN=BM+DN．
【类比引申】
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，点M，N分别在边BC，CD上，且∠MAN=45°，则结论MN=BM+DN是否仍然成立？并说明理由；
【联想拓展】
(3)如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC边上，且∠DAE=45°，则BD，DE，EC满足的数量关系是______．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】x1=0，x2=4
10.【答案】1
11.【答案】0.3
12.【答案】(2,0)
13.【答案】8
14.【答案】5
15.【答案】2π
16.【答案】6或3 72
17.【答案】 3
18.【答案】37
19.【答案】解：2x(x−1)=1，
2x2−2x−1=0，
Δ=(−2)2−4×2×(−1)=12>0，
则x=2± 122×2，
所以x1=1+ 32,x2=1− 32．
20.【答案】13
21.【答案】解：设这个数学兴趣小组有x名学生，则每名学生需发送(x−1)条祝福短信，
根据题意得：x(x−1)=210，
整理得：x2−x−210=0，
解得：x1=15，x2=−14(不符合题意，舍去)．
答：这个数学兴趣小组有15名学生．
22.【答案】解：(1)如图1所示：∠ABD=30°或∠CBD=30°；
(2)如图2所示：∠CAE=30°．
23.【答案】解：(1)根据题意得，抛物线的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线 y=a(x−2)2+3，
把点A(8,0)代入得：36a+3=0，
解得a=−112，
∴抛物线的函数表达式为y=−112(x−2)2+3；
(2)当x=0时，y=−112×4+3=83，
∵83>2.44，
∴球不能射进球门．
24.【答案】(1)证明：作OE⊥CD于点E，
∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OEC=∠OAC=90°，
∵OC平分∠ACD，
∴∠OCE=∠OCA，
在△OCE和△OCA中，
∠OCE=∠OCA∠OEC=∠OACOC=OC，
∴△OCE≌△OCA(AAS)，
∴OE=OA，
∴点E在⊙O上，
∵OE是⊙O的半径，且CD⊥OE，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：作DF⊥AC于点F，则∠CFD=∠AFD=90°，
∵AC、BD、CD分别与⊙O相切于点A、B、E，AC=9，BD=4，
∴AC⊥AB，BD⊥AB，EC=AC=9，ED=BD=4，
∵∠BAF=∠ABD=∠AFD=90°，
∴四边形ABDF是矩形，
∴AF=BD=4，
∴CD=EC+ED=9+4=13，CF=AC−AF=9−4=5，
∴AB=DF= CD2−CF2= 132−52=12，
∴OA=12AB=12×12=6，
∴⊙O的半径长为6．
25.【答案】解：(1)∵二次函数的图象经过原点O，
∴设二次函数解析式为y=ax2+bx，
把A(3,3)、B(4,0)代入得9a+3b=316a+4b=0，
解得a=−1b=−4，
∴函数的解析式为y=−x2+4x；
(2)设直线OA的解析式为y=kx，把A(3,3)代入得：k=1，
∴直线OA的解析式为y=x；
设D(m,0)，
∴P(m,−m2+4m)，C(m,m)，
∴CD=OD=m，PD=−m2+4m，
∴PC=PD−CD=−m2+4m−m=−m2+3m，
当S△PCO=S△CDO时，即PC=CD，
当PC=CD时，则有−m2+3m=m，
解得m1=2，m2=0(舍去)，
∴P(2,4)．
26.【答案】△ADN △ABE △ANM △AEM SAS BD2+CE2=DE2